17 câu Trắc nghiệm Toán 7 Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác có đáp án (Vận dụng)

Đáp án B

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA

Vì M là trung điểm  BC(gt) ⇒MA=MB (tính chất trung điểm)

Xét ΔMAB và ΔMNC có:

MB=MC(cmt)AM=MN(gt)

AMB^=NMC^ (đối đỉnh)

⇒ΔMAB=ΔMNC(c−g−c)⇒NC=AB (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔACN có: AN<AC+CN (2) (bất đẳng thức tam giác)

Từ (1) (2) ⇒AN<AC+AB

Mặt khác, AN=2AM(gt)⇒2AM<AB+AC

Đáp án C

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AB

Xét ΔABE và ΔAKE có:

AE chung

AB=AK (cách dựng)

BAE^=KAE^ (vì AD là tia phân giác BAC^)

⇒ΔABE=ΔAKE(c.g.c)

⇒EB=EK (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔCEK ta có: EC−EK<KC mà EB=EK (cmt) suy ra EC−EB<KC (1)

Mặt khác KC=AC−AK=AC−AB (vì AB = AK theo cách dựng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC−EB<AC−AB

Đáp án A

Gọi giao điểm của AO và BC là D. Do O nằm trong ΔABC nên D nằm giữa B và C ⇒BC=BD+DC(*)

Xét ΔABD có: AD<AB+BD (bất đẳng thức tam giác)

Xét ΔOCD có: OC<OD+DC(2) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

OA+OD+OC<AB+BD+OD+DC⇒OA+OC<AB+BD+DC(**)

Từ (*) và (**) ta có OA+OC<AB+BC

Đáp án B

Gọi I là giao điểm của BM và AC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC<MI+IC   (1)

Cộng MB vào hai vế (1) ta được:

MC+MB<MI+IC+MB⇒MC+MB<MI+MB+IC⇒MC+MB<IB+IC(2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB<IA+AB   (3)

Cộng IC vào hai vế (3) ta được

IB+IC<IA+AB+IC⇒IB+IC<IA+IC+AB⇒IB+IC<AB+AC(4)

Từ (2) và (4) suy ra MB+MC<AB+AC

Đáp án A

ΔABC cân tại A

Trường hợp 1: AB=AC=5cm⇒BC=17−5−5=7cm

Ta có: AB+AC=5+5=10>BC=7cmAB+BC=5+7=12>AC=5cmBC+AC=7+5=12>AB=5cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2: BC=5cm⇒AB=AC=(17−5):2=6cm

Ta có: AB+AC=6+6=12>BC=5cmAB+BC=5+6=11>AC=6cmBC+AC=6+5=11>AB=6cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu ΔABC cân tại A có: AB=AC=5cm⇒BC=7cmBC=5cm⇒AB=AC=5cm

Vậy BC=7cm hoặc BC=5cm

Đáp án D

ΔABC cân tại A

Trường hợp 1: AB=AC=6cm⇒BC=20−6−6=8cm

Ta có: AB+AC=6+6=12>BC=8cmAB+BC=6+8=14>AC=6cmBC+AC=8+6=14>AB=6cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2: BC=6cm⇒AB=AC=(20−6):2=7cm

Ta có: AB+AC=7+7=14>BC=6cmAB+BC=7+6=13>AC=7cmBC+AC=6+7=13>AB=7cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu ΔABC cân tại A có: AB=AC=6cm⇒BC=8cmBC=6cm⇒AB=AC=7cm

Vậy BC = 8cm hoặc BC = 6cm

Đáp án B

Xét tam giác AED có AE+ED>AD (1) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ECD có CE+DE>CD (2) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác EBC có ED+EC>BC (3) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ABE có AE+EB>AB (4) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có:

AE+DE+CE+DE+BE+CE+AE+BE>AD+CD+BC+AB

Mà AE+EC=AC;DE+BE=BD nên 2(AC+BD)>AD+CD+BC+AB

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔMIN ta có : MN<MI+IN (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào  ta có: EF<IF+IE  (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

MN+EF<MI+IN+IF+IE⇒MN+EF<(MI+IF)+(NI+IE)⇒MN+EF<MF+NE

Đáp án A

Kéo dài BM cắt AC tại E

Xét tam giác BEC có BE<EC+BC và xét tam giác AME có MA<ME+EA (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Suy ra MA+MB<ME+MB+EA<BE+EA<EC+BC+EA mà EC+EA=AC

Vậy MA+MB<AC+BC

Đáp án C

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔAMB ta được: MA+MB>AB  (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔBMC ta được: MB+MC>BC  (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔCMA ta được: MC+MA>CA  (3)

Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:

MA+MB+MB+MC+MC+MA>AB+BC+CA⇒2(MA+MB+MC)>AB+BC+CA⇒MA+MB+MC>AB+BC+CA2

Đáp án D

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Nửa chu vi tam giác là a+b+c2

Ta có:

a<b+c⇒a+a<a+b+c⇒2a<a+b+c⇒a<a+b+c2

Tương tự ta cũng có b<a+b+c2;c<a+b+c2

Đáp án D

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Nối các đoạn thẳng MA,MB,MC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆AMB ta được: MA + MB > AB  (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆BMC ta được: MB + MC > BC   (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆CMA ta được: MC + MA > CA   (3)

Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:

MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + CA

⇒2MA+MB+MC>AB+BC+CA⇒MA+MB+MC>AB+BC+CA2

Đáp án D

Xét ΔAMB có: AM<AB−BM (bất đẳng thức tam giác)      

Xét ΔAMC có: AM<AC−CM (bất đẳng thức tam giác)

Vì M nằm giữa B và C (gt) ⇒BC=BM+MC

Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

2AM<AB+AC−(BM+MC)⇒2AM<AB+AC−BC

Đáp án D

Xét ∆AMB có: AM<AB-BM (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét ∆AMC có: AM<AC-CM (bất đẳng thức tam giác)  (2)

Vì M nằm giữa B và C (gt) ⇒BC=BM+MC

Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

AM+AM<AB+BM+AC+MC⇒2AM<AB+(MB+MC)+AC⇒2AM<AB+AC+BC

Đáp án C

Trên tia đối của tia MA ta lấy điểm A' sao cho MA=MA'

Xét ΔAMB và ΔA'MC có:

AM=A'M (cách vẽ)

MB=MC (vì M là trung điểm BC)

AMB^=A'MC^ (đối đỉnh)

⇒ΔAMB=ΔA'MC(c.g.c)

⇒AB=A'C (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔACA' có: A'C-AC<AA'<A'C+AC (bất đẳng thức tam giác)

Mà AB=A'C (cmt); AA'=2AM (theo cách vẽ) nên ta có:

AB−AC<2AM<AB+AC⇒AB−AC2<2AM<AB+AC2

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC

Xét ΔBCE vuông tại E, M là trung điểm BC nên ME=12BC

Xét ΔBCF vuông tại F, M là trung điểm BC nên MF=12BC

Do đó: ME+MF=12BC+12BC⇒ME+MF=BC  (1)

Ba điểm M,E,F nằm trên cạnh của tam giác ABC nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm M,E,F tạo thành một tam giác

Xét ΔMEF có: ME+MF>EF (bất đẳng thức tam giác)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > EF

Đáp án B

Nối đoạn thẳng AM

Xét ∆AMB có: AM<AB-BM (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét ∆AMC có: AM<AC-CM (bất đẳng thức tam giác)  (2)

Vì M nằm giữa B và C (gt) ⇒BC=BM+MC

Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

AM+AM<AB+BM+AC+MC⇒2AM<AB+(MB+MC)+AC⇒2AM<AB+AC+BC⇒AM<AB+AC+BC2

Do đó AM nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC