15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án
15 câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính độ dài CB→+AB→.
13
213
23
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra MA→+MC→=0→.
⇔−AM→−CM→=0→
⇔−AM→+CM→=0→
⇔AM→+CM→=0→
Ta có CB→+AB→=CM→+MB→+AM→+MB→=AM→+CM→+2MB→=0→+2MB→=2MB→.
Vì M là trung điểm AC nên AM = AC2 = 2.
Tam giác ABM vuông tại A: BM2=AB2+AM2 (Định lý Pytago)
⇔BM2=32+22=13
⇒BM=13
Ta suy ra CB→+AB→=2MB→=2.MB=213.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho a→≠0→ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM→=3a→ và ON→=−4a→. Tìm MN→.
MN→=7a→
MN→=5a→
MN→=-7a→
MN→=-5a→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có MN→=ON→−OM→=−4a→−3a→=−7a→.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
AG→=12AE→+12AF→
AG→=13AE→+13AF→
AG→=32AE→+32AF→
AG→=23AE→+23AF→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có AG→=23AD→.
Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra 2AD→=AB→+AC→.
Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.
Suy ra AC→=2AE→ và AB→=2AF→.
Khi đó ta có AG→=23AD→=13AB→+AC→=132AF→+2AE→=23AE→+23AF→.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu AB→=−3AC→ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
BC→=−4AC→
BC→=−2AC→
BC→=2AC→
BC→=4AC→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Từ đẳng thức AB→=−3AC→, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Vì k = – 3 < 0 nên AB→ và AC→ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
Ta có AB→=−3AC→, suy ra AB→=−3AC→, do đó AB = 3AC.
Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.
Mà BC→, AC→ cùng hướng.
Do đó ta suy ra BC→=4AC→.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?
AB→+AD→=AC→
OA→=12BA→+CB→
OA→+OB→=OC→+OD→
OA→+OB→=DA→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có AB→+AD→=AC→ ⇒ A đúng.
Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.
Ta suy ra OA=12CA.
Mà OA→, CA→ cùng hướng.
Do đó OA→=12CA→=12CB→+BA→⇒ B đúng.
Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có OA→+OB→=2OI→ và OC→+OD→=2OJ→.
Mà OI→, OJ→ là hai vectơ đối nhau.
Do đó 2OI→≠2OJ→.
Suy ra OA→+OB→≠OC→+OD→ ⇒ C sai.
Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra OI→=12DA→.
Ta có OA→+OB→=2OI→=2.12DA→=DA→ ⇒ D đúng.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA→+MB→+2MC→=0→.
M là trung điểm BC;
M là trung điểm IC;
M là trung điểm IA;
M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có MA→+MB→+2MC→=0→⇔2MI→+2MC→=0→⇔2MI→+MC→=0→⇔MI→+MC→=0→.
Do đó ta suy ra M là trung điểm IC.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa mãn 4AM→=AB→+AD→+AC→. Xác định vị trí điểm M.
M là trung điểm AC;
Điểm M trùng với điểm C;
M là trung điểm AB;
M là trung điểm AD.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo quy tắc hình bình hành, ta có AB→+AD→=AC→.
Ta có 4AM→=AB→+AD→+AC→
⇔4AM→=2AC→
⇔AM→=12AC→
Suy ra M là trung điểm AC.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài AB→+AC→.
AB→+AC→=a3
AB→+AC→=a32
AB→+AC→=2a
Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm BC. Ta suy ra BH = BC2=a2.
Vì H là trung điểm BC nên ta có AB→+AC→=2AH→.
Do đó AB→+AC→=2AH→=2AH.
Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến.
Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC.
Tam giác ABH vuông tại H: AH2=AB2−BH2 (Định lý Pytago)
⇔AH2=a2−a24=3a24
⇒AH=a32.
Suy ra AB→+AC→=2AH=2.a32=a3.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn OA→+OB→−2OC→=OA→−OB→. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC cân tại C;
Tam giác ABC vuông tại C;
Tam giác ABC cân tại B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm AB. Ta suy ra CA→+CB→=2CI→.
Ta có OA→+OB→−2OC→=OA→−OB→
⇔OA→−OC→+OB→−OC→=BA→
⇔CA→+CB→=BA
⇔2CI→=AB
⇔ 2.CI = AB
⇔CI=12AB
Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Cho v→=MA→+MB→−2MC→. Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD→=v→.
D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;
D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;
D là trọng tâm của tam giác ABC;
D là trực tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có v→=MA→+MB→−2MC→=MA→−MC→+MB→−MC→=CA→+CB→=2CI→ (với I là trung điểm AB).
Do đó v→ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi đó CD→=v→=2CI→.
Suy ra I là trung điểm CD.
Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó AC→=xCP→ thì giá trị của x là:
−43
−23
−32
-53
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Kẻ MK // BP (K ∈ AC). Do M là trung điểm BC nên ta suy ra K là trung điểm CP (1).
Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2).
Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC.
Do đó AP = 12CP.
Ta có AC = AP + CP.
Suy ra AC = 32CP.
Vì AC→, CP→ ngược hướng với nhau.
Nên AC→=−32CP→.
Do đó x = −32.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của u→=214OA→−52OB→ là:
a1404
a3214
a5204
a5414
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựng điểm M, N sao cho OM→=214OA→ và ON→=52OB→. Khi đó ta có:
u→=214OA→−52OB→=OM→−ON→=NM→=MN.
Từ dữ kiện OM→=214OA→.
Ta suy ra OM→ cùng phương với OA→.
Vì OM→, OA→ có cùng điểm đầu là O.
Nên giá của OM→, OA→ trùng nhau.
Do đó ta có OM ≡ OA.
Tương tự ta có ON ≡ OB.
Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).
Do đó OM ⊥ ON.
Ta có OM→=214OA→⇔OM→=214OA→⇔OM=214OA=21a4.
Tương tự, ta có ON→=52OB→⇔ON→=52OB→⇔ON=52OB=5a2.
Tam giác OMN vuông tại O: MN2=OM2+ON2 (Định lý Pytago)
⇔MN2=441a216+25a24=541a216
⇒MN=a5414.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn AG→ theo hai vectơ AB→,AC→.
AG→=13AB→+AC→
AG→=16AB→+AC→
AG→=16AB→−AC→
AG→=13AB→−AC→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra 2AI→=AB→+AC→
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên AG=23AI.
Mà AG→, AI→ cùng hướng.
Do đó AG→=23AI→.
Suy ra AG→=13AB→+AC→.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó AC→+BD→ bằng
MN→
2MN→
3MN→
-2MN→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì M là trung điểm AB nên MA→+MB→=0→⇔−AM→+BM→=0→⇔AM→+BM→=0→.
Vì N là trung điểm CD nên NC→+ND→=0→.
Theo quy tắc ba điểm, ta có AC→+BD→=AM→+MN→+NC→+BM→+MN→+ND→
Suy ra AC→+BD→=AM→+BM→+NC→+ND→+2MN→=0→+0→+2MN→=2MN→
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
MA→+MB→+MC→+MD→=MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=2MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=3MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Vì O là trung điểm AC và M là điểm tùy ý nên MA→+MC→=2MO→ (1).
Vì O là trung điểm BD và M là điểm tùy ý nên MB→+MD→=2MO→ (2).
Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→.
Vậy ta chọn đáp án D.
