15 câu Khoảng cách có đáp án

Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song, nhận thấy các phương án A, B, D đúng.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Đáp án C

Đáp án A: đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

ĐÁP ÁN A

Ta có: AA'⊥AD tại A; AA'⊥A'C' tại A’

Do đó đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là AA’.

Đáp án A

+ Ta có DB⊥ACDB⊥SA⇒DB⊥SAC⇒DB⊥SO tại O

 Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là DSO^=30°

+ Đặt DO = x ⇒ DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: ΔSAB=ΔSADc.g.c nên SB = SD ⇒ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC ⇒ DSB^=2DSO^=60° 

Tam giác SBD đều ⇒ SO = 2x 32= x3

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: SO2=AO2+SA2

hay 3x2 =  x2+ a2⇔x2= a2/ 2

⇒x =a2

+ Gọi N là trung điểm của AB ⇒DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI ⊥BM tại I và AH ⊥ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH ⊥ (SBM)

 ⇒ d(A; (SBM)) = AH ⇒ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

BM = BC2 + CM2=  a52

Trong (ABCD): SABM=SABCD−2SADM=a2−2.a24=a22

Mà SABM=12AI. BM  ⇒AI = 2a5

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

   1AH2=1AI2+1SA2⇒AH = 2a3

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = a3

Đáp án A

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A’B’C’D' cạnh 2a, O là tâm của A’B’C’D’.

Gọi N, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A’B’.

⇒MN = AA’ = 2a, OM = 1/2A’D’ = a

Lại có: AB⊥OMAB⊥MN​⇒AB⊥ON

⇒d(O, AB) = ON = OM2+MN2=2a2+a2=a5.

Đáp án D

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥BC, tam giác SBC đều nên SH ⊥BC

Mà (SBC) ⊥(ABC)

Do đó SH ⊥(ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA⇒ HK⊥SA

Ta có BC⊥SHBC⊥AH⇒BC⊥SAH⇒BC⊥HK

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a ⇒ SH = a32

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ AH = BC2=a2

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao ⇒1HK2=1SH2+1AH2 

HK = a34

Vậy d(SA; BC) = a34.

Đáp án C

+ Ta có SAB⊥ABCSAC⊥ABCSAC∩SAB=SA⇒SA⊥ABC

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒ N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SBA^=60°

⇒ SA = AB.tan60° = 2a3

AC = AB2+BC2=2a2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ→qua ba vectơ không cùng phương AB→; AC→; AS→.

IJ→=IA→+AN→+NJ→=mAB→+12AC→+pNS→=mAB→+12AC→+pNA→+AS→=mAB→+1−p2AC→+pAS→

Ta có: IJ→⊥AB→IJ→⊥NS→⇔IJ→.AB→=0IJ→.NS→=0 

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: IJ→=−613AB→+613AC→+113AS→. Suy ra

169IJ2=36AC2+36AB2+AS2−72AB→.AC→.

Thay số vào ta tính được IJ = 2a3913.

Vậy d(AB; SN) = 2a3913.

Đáp án D

+ Kẻ SH ⊥AC, H ∈ AC

Do (SAC) ⊥(ABCD) ⇒SH ⊥(ABCD)

+ BD = 2a ⇒AC = 2a

SA = AC2−SC2=2a2−a32=a;

Diện tích tam giác SAC là :  SSAC=12SA. SC= 12SH. AC 

nên : SH = SA.SCAC=a.a32a=a32

Ta có: AH = SA2−SH2=a2−a322=a2⇒AC = 4AH

Lại có: HC ∩(SAD) = A ; dC;SADdH;SAD=ACAH= 4

⇒d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

Do BC // (SAD) (BC//AD) ⇒ d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))

Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

+ Kẻ HK ⊥AD tại K, kẻ HJ ⊥ SK tại J

Ta chứng minh được HJ ⊥ (SAD) ⇒d(H; (SAD)) = HJ

⇒ d(B; (SAD)) = 4HJ

+ Tính HJ

Tam giác AHK vuông tại K có HAK^=CAD^=45°⇒ HK = AH.sin45°= a24

Mặt khác: 1HJ2=1HK2+1SH2⇒HJ = a2114

Vậy d(B; (SAD)) = 4 . a2114=2a217.

Đáp án C

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC trong tam giác ABC.

+ Ta có: AH⊥BCOA⊥BC⇒BC⊥OAH⇒OH⊥BC   ⇒ d(O; BC) = OH

+ Nửa chu vi tam giác ABC: p = 14+16+102= 20

SABC=2020−1420−1620−10=403(theo công thức Hê-rông)

Lại có SABC=1/2AH.BC  ⇒AH = 2SABCBC=80310=83.

+ Tam giác OAH vuông tại A (OA⊥AH)

⇒ OH = OA2+AH2=82+832=16.

Vậy d(O; BC) = OH = 16.

Đáp án B

Từ O kẻ OH vuông góc với SB, H ∈SB ⇒ d(O; SB) = OH.

+ Ta có AB = BC = 2a; ABC^=60°⇒ Tam giác ABC đều có BO ⊥AC

⇒BO = 2a.32=a3

AO = AC2=2a2=a

SO = SA2+AO2=4a2+a2=a5

+ Ta có BD⊥AC(hthoiABCD)BD⊥SASA⊥ABCD⇒BD⊥SAC⇒BD⊥SO

 Tam giác SOB vuông tại O

Do đó: 1OH2=1SO2+1OB2=15a2+13a2⇒OH = a.304

Vậy d(O; SB) = OH  = a304.

Đáp án C

+ Gọi M là trung điểm của B’C’

Vì ∆ABB'= ∆ACC' ( c.g.c) nên AB'= AC'

Suy ra: tam giác AB’C’ cân tại A ⇒AM⊥B’C’

Tam giác A’B’C’ cân tại A’( vì A'B' = A'C') ⇒A’M ⊥B’C’

Mà (AB’C’) ∩ (A’B’C’) = B’C’

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa 2 đường thẳng AM và A’M và chính là góc AMA’ ⇒AMA'^=60° 

Tam  giác A'B'C' cân tại A' có A'M là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác.

MA'C'^ = 12B'A'C'^= 600; A'M = A'C'. cosMA'C'^=  a2

⇒ AA’ = A’M. tan60°= a32

+ Ta có BC // (AB’C’) ⇒d(BC; (AB’C’)) = d(B; (AB’C’))

+  Vì ABB'A' là hình chữ nhật có hai đường chéo A'B và AB' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:

Suy ra: d(B; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

Do đó: d(BC; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

+ Ta chứng minh được (AA’M) ⊥(AB’C’), trong mặt phẳng (AA’M), dựng A’H ⊥ AM tại H

⇒A’H ⊥(AB’C’) ⇒d(A’; (AB’C’)) = A’H ⇒ d(BC; (AB’C’)) = A’H

+ Tính A’H

Ta có: 1A'H2=1AA'2+1A'M2 =  43a2+ 4a2=163a2⇒A’H = a34

Vậy d(BC; (AB’C’)) = a34.

Đáp án B

+ Gọi H là trung điểm của BC, AH ∩ MP = K

Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC ⇒MN // SB; NP //SC; MP //BC

⇒ MN // (SBC); NP // (SBC), mà MN, NP ⊂(MNP)

⇒ (SBC) // (MNP)

Mà K ∈ MP ⊂(MNP)

⇒d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC))

+ Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC

Theo giả thiết ta có (ABC) ⊥ (SBC)

Do đó AH ⊥ (SBC) mà K ∈ AH ⇒ KH ⊥ (SBC) ⇒ d(K; (SBC)) = KH

⇒d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC)) = KH

+ Tính KH

Ta có MH // = 1/2 AC ⇒ MH // = AP ⇒ MHPA là hình bình hành

⇒ K là trung điểm của AH  ⇒ KH = 1/2AH

Tam giác ABC đều cạnh a ⇒ AH = a34.

Do đó KH = a34.

Vậy d((MNP); (SBC)) = KH = a34.

Đáp án B

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD

Ta có: A’B = A’D (đường chéo các hình thoi bằng nhau)

  ⇒Tam giác A’BD cân tại A’ có O là trung điểm của BD ⇒ A’O ⊥ BD.

+ Hạ A’H ⊥ AC, H ∈ AC

Ta có BD⊥ACBD⊥A'O⇒BD⊥AOA'⇒ A’H ⊥ BD

Do đó:  A’H ⊥(ABCD)

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên A’H chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy.

+ Tính A’H

Áp dụng định lí cosin vào tam giác ADC có:

  AC = AD2+CD2−2.AD.CD.cos120°=a3⇒ AO = a32

Theo giả thiết, ta suy ra:  A'D= AA' = AB =  BD = a 

⇒ hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên điểm H - hình chiếu của A' lên (ABD) là tâm tam giác đều ABD.

suy ra: 

AH = 2/3 AO = a33

A’H = A'A2−AH2=a2−a23=a63

Vậy khoảng cách giữa hai đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là a63.

Đáp án B

+ Ta có:MN//BC⇒MN//SBCEM//SB⇒EM//SBC⇒MNE//SBC

⇒d((MNE); (SBC)) = d(M; (SBC))

+ Lại có: AM ∩(SBC) = B ⇒dA;SBCdM;SBC=ABMB=2⇒d(M; (SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))

⇒d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))

+ Từ A hạ AF ⊥ BC tại F, AG ⊥ SF tại G

BC⊥SABC⊥AF⇒BC⊥SAF⇒BC⊥AG mà AG ⊥ SF nên AG⊥ (SBC)

⇒ d(A;(SBC)) = AG

+ Tính AG

Do ABCD là hình thang cân, BC = 2a nên suy ra BF =  BC - AD2= 2a -a2= a2

⇒AF = BF. tan60°= a32

Tam giác SAF vuông tại A có AG là đường cao

⇒1AG2=1SA2+1AF2 = 12a2+ 43a2 = 116a2 ⇒AG =a6611

⇒d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC)) = 1/2 AG = a6622.

Đáp án C

Khẳng định (1) đúng vì khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Khẳng định (2) sai vì qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Khẳng định (3) sai vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Khẳng định (4) sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Vậy có một khẳng định đúng.

ĐÁP ÁN A