15 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Tính chất của phép khai phương có đáp án
15 câu hỏi
Tính:
a) \(\sqrt {1,2.270} ;\quad \sqrt {55.77.35} \).
b) \({(\sqrt 3 - \sqrt 2 )^2};\,\,\,\,\,\,(3\sqrt 2 - 1)(3\sqrt 2 + 1);\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\sqrt 6 + 2)(\sqrt 3 - \sqrt 2 )\)
c) \(\left( {\sqrt {\frac{8}{3}} - \sqrt {24} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} } \right) \cdot \sqrt 6 ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2}\)
a) \(18;\,\,\,\,\,\,385\);
b) \(5 - 2\sqrt 6 ;\,\,\,\,\,\,17;\,\,\,\,\,\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \);
c) \(2;\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6}\)
Thực hiện phép tính
a) \(\sqrt {\frac{1}{8}} \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt {125} \cdot \sqrt {\frac{1}{5}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\sqrt 2 - 1} \cdot \sqrt {\sqrt 2 + 1} \).
b) \(\sqrt {{{(\sqrt 2 - 3)}^2}} \cdot \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{{(\sqrt 3 - 3)}^2}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \).
\(c)\, - \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{{(a - b)}^2}{b^5}}}{c}} \cdot \frac{9}{4}\sqrt {\frac{{{c^3}}}{{2(a - b)}}} \sqrt {98b} \)
d) \(\left( {\sqrt 6 - 3\sqrt 3 + 5\sqrt 2 - \frac{1}{2}\sqrt 1 } \right)2\sqrt 6 \)
e) \(\left( {\sqrt {ab} + 2\sqrt {\frac{b}{a}} - \sqrt {\frac{a}{b} + \sqrt {\frac{1}{{ab}}} } } \right)\sqrt {ab} \).
g) \(\left( {\frac{{am}}{b}\sqrt {\frac{n}{m}} - \frac{{ab}}{n}\sqrt {mn} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{m}{n}} } \right){a^2}{b^2} \cdot \sqrt {\frac{n}{m}} \).
a) \(\frac{5}{2};\,\,1\,;\) b) \(11 + 6\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 + 3} \right)^2};\,\,\,\,\sqrt {3 - \sqrt 3 } \)
c) \( - \frac{{21}}{2}c(a - b){b^3}.\) d) \(12 - 18\sqrt 2 + 16\sqrt 3 \)
e) \(ab + 2b - a + 1;\) g) \({a^3}bn - {a^3}{b^3} + {a^4}\)
Rút gọn rồi tính
a) \(\sqrt {{{21,8}^2} - {{18,2}^2}} ;\) b) \(\sqrt {{{6,8}^2} - {{3,2}^2}} ;\) c) \(\sqrt {{{146,5}^2} - {{109.5}^2} + 27 \cdot 256} \)
Rút gọn biểu thức
a) \(\frac{{\sqrt {15} - \sqrt 6 }}{{\sqrt {35} - \sqrt {14} }}\); b) \(\frac{{\sqrt {10} + \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 + \sqrt {12} }}\)
c) \(\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{y + \sqrt {xy} }}\) d) \(\frac{{\sqrt a + a\sqrt b - \sqrt b - b\sqrt a }}{{ab - 1}}\)
e) \(\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\) f) \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\)
a) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }};\) b) \(\frac{{\sqrt 5 }}{2};\) c) \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }};\) d) \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt {ab - 1} }};\) e) \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}\)
f) Tách \(\sqrt {16} = 4 = \sqrt 4 + \sqrt 4 \)
\[\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right) + \left( {\sqrt 4 + \sqrt 6 + \sqrt 8 } \right) = \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]
Kết quả: \(1 + \sqrt 2 \).
Rút gọn biểu thức
a) \(\sqrt {9{{(3 - a)}^2}} \) với \(a > 3\); b) \(\sqrt {{a^2}{{(a - 2)}^2}} \) với \(a < 0\).
Chứng minh đẳng thức
a) \(\sqrt {9 - \sqrt {17} } \cdot \sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8\); b) \(\left( {\frac{1}{{5 - 2\sqrt 6 }} + \frac{2}{{5 + 2\sqrt 6 }}} \right)\left( {15 + 2\sqrt 6 } \right) = 201\)
Tìm \(x\) biết
a) \(\sqrt {9x} = 15\); b) \(\sqrt {4{x^2}} = 8\) c) \(\sqrt {4(x + 1)} = \sqrt 8 \);
d) \(\sqrt {9{{(2 - 3x)}^2}} = 6:\) e) \(\sqrt {{x^2} - 4} - \sqrt {x - 2} = 0\).
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} = 4 - \sqrt x - \sqrt y \\\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 2} \right) + \left( {\sqrt y + \frac{1}{{\sqrt y }} - 2} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} + \frac{{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt y }} = 0\\x - y = 1\end{array}\)
Cho \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\). Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (bất đẳng thức Cauchy);
b) \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \);
c) \(a + b + \frac{1}{2} \ge \sqrt a + \sqrt b \).
a) \(\frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)
b) \(a + b + c - \sqrt {ab} - \sqrt {bc} - \sqrt {ca} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)}^2}} \right] \ge 0\,;\)
c) \(a + b + \frac{1}{2} - \sqrt a - \sqrt b = {\left( {\sqrt 1 - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\).
Tính
a)\[\sqrt {2\frac{7}{{81}}} \] và \[\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {150} }};\] b) \[\left( {5\sqrt 7 + 7\sqrt 5 } \right):\sqrt {35} ;\,\] c) \[\left( {2\sqrt 8 - 3\sqrt 3 + 1} \right):\sqrt 6 .\]
a) Ta có\[\,\sqrt {2\frac{7}{{81}}} = \sqrt {\frac{{169}}{{81}}} = \frac{{\sqrt {169} }}{{\sqrt {81} }} = \frac{{13}}{9}.\] và \[\,\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {150} }} = \sqrt {\frac{6}{{150}}} = \sqrt {\frac{1}{{25}}} = \frac{1}{5}.\]
b) Ta có \[\,\left( {5\sqrt 7 + 7\sqrt 5 } \right):\sqrt {35} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{\sqrt {35} }}\,\,\,\, + \frac{{7\sqrt 5 }}{{\sqrt {35} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }}\, + \frac{7}{{\sqrt 7 }} = \sqrt 5 \, + \sqrt 7 .\]
c) Ta có \[\,\left( {2\sqrt 8 - 3\sqrt 3 + 1} \right):\sqrt 6 = \frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt 6 }} - \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{6}.\]
Tính \[\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt {4,5} + \frac{2}{5}\sqrt {50} \]
\[ = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt {\frac{9}{2}} + \frac{2}{5}\sqrt {25.2} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - \frac{9}{{2\sqrt 2 }} + 2\sqrt 2 = \frac{{1 - 9 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2\sqrt 2 }} = 0\]
Vậy \(\left( {\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt {4,5} + \frac{2}{5}\sqrt {50} } \right):\frac{4}{{15}}\sqrt {\frac{1}{8}} = 0\)
Rút gọn biểu thức
a) \(\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2};\)
b) \(\,\,\sqrt {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} ,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)
c)\(\,\frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} ,\,\,\left( {x \ne 1,y \ne 1,y > 0} \right)\).
a) \(\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2};\)
Ta có \[\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \frac{{\left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\]
\[\begin{array}{l} = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y - x\sqrt x - x\sqrt y + 2\sqrt {{x^2}y} + 2\sqrt {x{y^2}} - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{ - x\sqrt y + 2x\sqrt y + 2y\sqrt x - y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt {xy.} \end{array}\]
b)\[\,\sqrt {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\sqrt x + 1}}.\]
c)\(\,\frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\frac{{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt y - 1}}{{x - 1}}.\)
Rút gọn và tính:
a) \(A = \frac{{\sqrt {a - 2\sqrt {ab} + b} }}{{\sqrt {\sqrt a - \sqrt b } }}\) (với \(a > b > 0\)) tại \(a = 36;\,b = 25.\)
b)\(B = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x + \sqrt 3 } }}:\frac{{\sqrt {\sqrt x - \sqrt 3 } }}{{\sqrt x }}\) (với \(x > 3\)) tại \(x = 81.\)
c) \(C = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}}\,\,\,\,(x < 4)\), tại \(x = 3.\)
d) \(M = 3x - \sqrt {27} + \frac{{\sqrt {{x^3} + 3{x^2}} }}{{\sqrt {x + 3} }}\,\,\,(x \ge 0)\), tại \(x = \sqrt 3 .\)
a) Với \(a > b > 0\), ta có
\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt {a - 2\sqrt {ab} + b} }}{{\sqrt {\sqrt a - \sqrt b } }} = \sqrt {\frac{{a - 2ab + b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\sqrt a - \sqrt b }}} = \sqrt {\sqrt a - \sqrt b } \,\,\,\,\,(1)\\\end{array}\)
Ta thấy \(a = 36;\,b = 25\) thỏa mãn điều kiện.
Thay \(a = 36;\,b = 25\) vào (1) ta có \(A = \sqrt {\sqrt {36} - \sqrt {25} } = \sqrt 1 = 1\).
b) Với \(x > 3\) ta có;
\(B = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x + \sqrt 3 } }}:\frac{{\sqrt {\sqrt x - \sqrt 3 } }}{{\sqrt x }} = \sqrt {\frac{{x - 3}}{{\sqrt x + \sqrt 3 }}} :\sqrt {\frac{{\sqrt x - \sqrt 3 }}{{\sqrt x }}} \)
\( = \sqrt {\frac{{(\sqrt x - \sqrt 3 )(\sqrt x + \sqrt 3 )}}{{\sqrt x + \sqrt 3 }}.\frac{x}{{\sqrt x - \sqrt 3 }}} = \sqrt x \,\,\,(1)\)
Ta thấy \(x = 81\)thỏa mãn điều kiện.
Thay \(x = 81\) vào \(\left( 1 \right)\)ta có \(B = \sqrt {81} = 9\).
c) Với \(x < 4\) ta có
\(\begin{array}{l}C = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2}} }} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}} = \frac{{\left| {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right|}}{{\left| {4 - x} \right|}} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4 - x}} + \frac{{{x^2} - 25}}{{4 - x}} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {x^2} - 25}}{{4 - x}} = \frac{{2{x^2} - 10x}}{{4 - x}}\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)
Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện.
Thay \(x = 3\) vào (1) ta có \(C = \frac{{{{2.3}^2} - 10.3}}{{4 - 3}} = - 12\).
d) Với \(x \ge 0\) ta có
\(\begin{array}{l}M = 3x - \sqrt {27} + \frac{{\sqrt {{x^3} + 3{x^2}} }}{{\sqrt {x + 3} }} = 3x - \sqrt {27} + \sqrt {\frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} = 3x - \sqrt {27} + \sqrt {{x^2}} \\\,\,\,\,\,\, = 3x - \sqrt {27} + \left| x \right| = 3x - \sqrt {27} + x = 4x - \sqrt {27} \,\,\,(1)\end{array}\)
Ta thấy \(x = \sqrt 3 \) thỏa mãn điều kiện.
Thay \(x = \sqrt 3 \) vào (1) ta có \(M = 4\sqrt 3 - \sqrt {27} = 4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 = \sqrt 3 \).
Giải phương trình
a) \(\sqrt {\frac{{4x - 1}}{{x + 1}}} = 3\); b) \(\frac{{\sqrt {4x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 3\);
c) \(\sqrt {49x - 98} - 14\sqrt {\frac{{x - 2}}{{49}}} = 3\sqrt {x - 2} + 8\); d) \(\sqrt {25x - 25} - \frac{{15}}{2}\sqrt {\frac{{x - 1}}{9}} = 6 + \sqrt {x - 1} \).
a) ĐKXĐ: \(x < - 1\) hoặc \(x \ge \frac{1}{4}\). Ta có \(\sqrt {\frac{{4x - 1}}{{x + 1}}} = 3\) \(\begin{array}{l}\frac{{4x - 1}}{{x + 1}} = 9\\4x - 1 = 9x + 9\end{array}\) \(x = - 2\) (thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 2\). | b) ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{4}\). Ta có \(\frac{{\sqrt {4x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 3\) \(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{{4x - 1}}{{x + 1}}} = 3\\\frac{{4x - 1}}{{x + 1}} = 9\end{array}\) \(x = - 2\)(không thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình vô nghiệm. |
c) ĐKXĐ: \(x \ge 2\). Ta có \(\sqrt {49x - 98} - 14\sqrt {\frac{{x - 2}}{{49}}} = 3\sqrt {x - 2} + 8\) \(\begin{array}{l}\sqrt {49(x - 2)} - \frac{{14\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {49} }} = 3\sqrt {x - 2} + 8\\7\sqrt {x - 2} - 2\sqrt {x - 2} = 3\sqrt {x - 2} + 8\\2\sqrt {x - 2} = 8\\\sqrt {x - 2} = 4\\x - 2 = 16\\x = 18\end{array}\) Ta thấy \(x = 18\) (thỏa mãn ĐKX Đ). Vậy phương trình có nghiệm \(x = 18.\) | d) ĐKXĐ: \(x \ge 1\). Ta có \(\sqrt {25x - 25} - \frac{{15}}{2}\sqrt {\frac{{x - 1}}{9}} = 6 + \sqrt {x - 1} \) \(\sqrt {25\left( {x - 1} \right)} - \frac{{15}}{2}.\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt 9 }} = 6 + \sqrt {x - 1} \) \(\begin{array}{l}5\sqrt {x - 1} - \frac{{5\sqrt {x - 1} }}{2} = 6 + \sqrt {x - 1} \\5\sqrt {x - 1} = 12 + 2\sqrt {x - 1} \\3\sqrt {x - 1} = 12\\\sqrt {x - 1} = 4\\x - 1 = 16\\x = 17.\end{array}\) Ta thấy \(x = 17\) thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 17.\) |
a) Cho \(a > 0.\) Chứng minh \(a + \frac{1}{a} \ge 2;\)
b) Cho \(a \ge 0,\;b \ge 0.\) Chứng minh \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2};\)
c) Cho \(a,b > 0.\) Chứng minh \(\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};\)
d) Chứng minh \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) với mọi \(x.\)
a) Ta có \(a + \frac{1}{a} \ge 2\) \(\frac{{{a^2} + 1 - 2a}}{a} \ge 0\) \(\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{a} \ge 0\) (đúng với mọi \(a > 0\)). c) Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\begin{array}{l}\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }}\\a\sqrt b + b\sqrt a \le a\sqrt a + b\sqrt b \\a\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) - b\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) \le 0\end{array}\) \[\begin{array}{l}\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {a - b} \right) \le 0\\\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\end{array}\] \[ - {\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\](đúng).
| b) Với \(a \ge 0\;,\,\,b \ge 0\) ta có \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}\) \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} } \right)^2} \ge {\left( {\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}} \right)^2}\\\frac{{a + b}}{2} \ge \frac{{a + b + 2\sqrt {ab} }}{4}\end{array}\) \(\begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab} \\a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\end{array}\) \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (đúng). d) Ta có \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) \(\begin{array}{l}{x^2} + 2 \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} \\\left( {{x^2} + 1} \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} + 1 \ge 0\\{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\) |
