14 Bài tập Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a² < b² + c² ⇔ b² + c² – a² > 0 ⇔ cos A > 0 ⇔ Góc A là góc nhọn.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a² = b² + c² ⇔ b² + c² – a² = 0 ⇔ cos A = 0 ⇔ Góc A là góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a² > b² + c² ⇔ b² + c² – a² < 0 ⇔ cos A < 0 ⇔ Góc A là góc tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\)

Do đó góc C là góc tù.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)

\({c^2} = {8^2} + {11^2} - 2.8.11.\cos 30^\circ = 185 - 88\sqrt 3 \)\( \Rightarrow c \approx 5,71\).

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{11}^2} + {{5,71}^2} - {8^2}}}{{2.11.5,71}} \approx 0,71\).

\( \Rightarrow \widehat A \approx 44,5^\circ \).

Do đó: \(\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 105,5^\circ \).

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cách 1: Dễ thấy \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\left( {{{15}^2} = {9^2} + {{12}^2}} \right)\]

Do đó theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại C.

Cách 2: Theo định lý côsin ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 0\).

Do đó: \(\widehat C = 90^\circ \).

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)

\({b^2} = {10^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - 2.10.5\sqrt 3 .\cos 30^\circ = 25\)

⇒b = 5.

Nhận thấy \({5^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 100 = {10^2}\) hay b² + c² = a².

Theo định lý Pythagore đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Do đó:

Nếu b² + c² – a² > 0  thì cos A > 0. Do đó góc A là góc nhọn.

Nếu b² + c² – a² < 0  thì cos A < 0. Do đó góc A là góc tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}} = \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra: \(\widehat A = 60^\circ \)hoặc \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) mà \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \) (loại trường hợp \(\widehat A = 120^\circ \) do không thỏa mãn định lí tổng 3 góc trong tam giác).

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)\( \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{b}{a}\).

Lại có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) (hệ quả định lí côsin).

Để \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\)\( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\).

Do đó tam giác ABC cân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng hệ quả định lí côsinta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

Ta có: \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{{2abc}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\); \(\frac{b}{{\cos B}} = \frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\)

Để \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\)\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow a = b\)

Do đó tam giác ABC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Nửa chu vi tam giác p = \(\frac{1}{2}\)(a + b + c).

Ta có: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).

Lại có: S = p(p – a)

Suy ra: p(p – a) = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {p\left( {p - a} \right)} = \sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {p^2} - pa = {p^2} - pb - pc + bc\)

\( \Leftrightarrow p\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right] - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {a^2}} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{c^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}.2bc - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{ac > 0}\\{bc > 0}\end{array}} \right.\) (1)

a², b², c² là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0}\\{{b^2} + {c^2} - {a^2} > 0}\\{{a^2} + {c^2} - {b^2} > 0}\end{array}} \right.\) (2)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A}\\{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; b² + c² – a² > 0)

cos B > 0 (vì ac > 0; a² + c² – b² > 0); cos C > 0 (vì ab > 0; a² + b² – c² > 0).

Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 \( \Rightarrow \widehat A,\,\,\,\widehat B,\,\,\,\widehat C\) là ba góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.