14 Bài tập Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) (có lời giải)
14 câu hỏi
Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C = 2sin Bcos A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Theo định lí sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\).
Từ đó ta có: sinC = 2sinBcosA
\( \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
\( \Leftrightarrow {c^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2} \Rightarrow a = b\).
Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.
Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:
Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2;
Hướng dẫn giải:
Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Từ a2 < b2 + c2 ⇔ b2 + c2 – a2 > 0 ⇔ cos A > 0 ⇔ Góc A là góc nhọn.
Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:
Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2;
Hướng dẫn giải:
Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Từ a2 = b2 + c2 ⇔ b2 + c2 – a2 = 0 ⇔ cos A = 0 ⇔ Góc A là góc vuông.
Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:
Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2.
Hướng dẫn giải:
Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Từ a2 > b2 + c2 ⇔ b2 + c2 – a2 < 0 ⇔ cos A < 0 ⇔ Góc A là góc tù.
Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\)
Do đó góc C là góc tù.
Vậy tam giác ABC là tam giác tù.
Cho tam giác có: a = 8, b = 11, \(\widehat C = 30^\circ \). Xét dạng của tam giác ABC.
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)
\({c^2} = {8^2} + {11^2} - 2.8.11.\cos 30^\circ = 185 - 88\sqrt 3 \)\( \Rightarrow c \approx 5,71\).
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{11}^2} + {{5,71}^2} - {8^2}}}{{2.11.5,71}} \approx 0,71\).
\( \Rightarrow \widehat A \approx 44,5^\circ \).
Do đó: \(\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 105,5^\circ \).
Vậy tam giác ABC là tam giác tù.
Cho tam giác ABC có a = 9; b = 12; c = 15. Xét dạng của tam giác ABC
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Cách 1: Dễ thấy \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\left( {{{15}^2} = {9^2} + {{12}^2}} \right)\]
Do đó theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại C.
Cách 2: Theo định lý côsin ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 0\).
Do đó: \(\widehat C = 90^\circ \).
Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Cho tam giác ABC có a = 10, c = 5\(\sqrt 3 \), \(\widehat B = 30^\circ \). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC vuông;
Tam giác ABC cân.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)
\({b^2} = {10^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - 2.10.5\sqrt 3 .\cos 30^\circ = 25\)
⇒b = 5.
Nhận thấy \({5^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 100 = {10^2}\) hay b2 + c2 = a2.
Theo định lý Pythagore đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Nếu b2 + c2 – a2 > 0 thì góc A nhọn;
Nếu b2 + c2 – a2 < 0 thì góc A nhọn;
Nếu b2 + c2 – a2 > 0 thì góc A tù;
Nếu b2 + c2 – a2 < 0 thì góc A vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Theo hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Do đó:
Nếu b2 + c2 – a2 > 0 thì cos A > 0. Do đó góc A là góc nhọn.
Nếu b2 + c2 – a2 < 0 thì cos A < 0. Do đó góc A là góc tù.
Cho tam giác ABC có: \(\widehat B = 60^\circ \), a = 12, R = 4\(\sqrt 3 \). Xác định dạng của tam giác?
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}} = \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat A = 60^\circ \)hoặc \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) mà \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \) (loại trường hợp \(\widehat A = 120^\circ \) do không thỏa mãn định lí tổng 3 góc trong tam giác).
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\). Khi đó:
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC cân;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)\( \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{b}{a}\).
Lại có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) (hệ quả định lí côsin).
Để \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\)\( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\).
Do đó tam giác ABC cân.
Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\). Xác định dạng của tam giác ABC.
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC cân;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Áp dụng hệ quả định lí côsinta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)
Ta có: \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{{2abc}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\); \(\frac{b}{{\cos B}} = \frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\)
Để \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\)\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow a = b\)
Do đó tam giác ABC là tam giác cân.
Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.
Tam giác ABC nhọn;
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC đều;
Tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Nửa chu vi tam giác p = \(\frac{1}{2}\)(a + b + c).
Ta có: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).
Lại có: S = p(p – a)
Suy ra: p(p – a) = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {p\left( {p - a} \right)} = \sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( \Leftrightarrow {p^2} - pa = {p^2} - pb - pc + bc\)
\( \Leftrightarrow p\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right] - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {a^2}} \right) - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{c^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}.2bc - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).
Do đó tam giác ABC vuông tại A.
Cho a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?
Tam giác ABC tù;
Tam giác ABC vuông;
Tam giác ABC vuông cân;
Tam giác ABC nhọn.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{ac > 0}\\{bc > 0}\end{array}} \right.\) (1)
a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0}\\{{b^2} + {c^2} - {a^2} > 0}\\{{a^2} + {c^2} - {b^2} > 0}\end{array}} \right.\) (2)
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A}\\{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.\)(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; b2 + c2 – a2 > 0)
cos B > 0 (vì ac > 0; a2 + c2 – b2 > 0); cos C > 0 (vì ab > 0; a2 + b2 – c2 > 0).
Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 \( \Rightarrow \widehat A,\,\,\,\widehat B,\,\,\,\widehat C\) là ba góc nhọn.
Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.
