12 Bài tập Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x² – 3x + m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 3)}}{{2.1}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 3)}^2} - 4.1.m)}}{{4.1}} = \frac{{ - 9 + 4m}}{4} = \frac{{ - 9}}{4} + m\)

 Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 9}}{4} + m\) tại \(x = \frac{3}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 khi và chỉ khi \(\frac{{ - 9}}{4} + m = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{57}}{4}\)

Vậy \(m = \frac{{57}}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x² + 6x – m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({6^2} - 4.( - 1).\left( { - m} \right))}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 36 + 4m}}{{ - 4}} = 9 - m\)

 Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 9 – m tại \(x = \frac{3}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi và chỉ khi 9 – m = 6 hay m = 3.

Vậy m = –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –2x² + 4x – 3m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 2)}} = 1\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({4^2} - 4.( - 2).( - 3m))}}{{4.( - 2)}} = \frac{{ - 16 + 24m}}{{ - 8}} = 2 - 3m\)

 Ta có, a = –2 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 – 3m tại x = 1

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi 2 – 3m = 10 hay m = –\(\frac{8}{3}\)

Vậy m = –\(\frac{8}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = 4x² – x + 2m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.4}} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 1)}^2} - 4.4.2m)}}{{4.4}} = \frac{{ - 1 + 32m}}{{16}} = \frac{{ - 1}}{{16}} + 2m\)

 Ta có, a = 4 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m\) tại \(x = \frac{1}{8}\).

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi \(\frac{{ - 1}}{{16}} + 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{{32}}\)

Vậy \(m = \frac{{17}}{{32}}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Mà \(\frac{{17}}{{32}}\) là một số hữu tỉ dương nên đáp án A đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = –x² – 5x + 10m có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5)}}{{2.( - 1)}} = \frac{{ - 5}}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 5)}^2} - 4.( - 1).10m)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 25 - 40m}}{{ - 4}} = \frac{{25}}{4} + 10m\)

 Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{25}}{4} + 10m\) tại \(x = \frac{{ - 5}}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi và chỉ khi \(\frac{{25}}{4} + 10m = 5 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{8}\)

Vậy \(m = - \frac{1}{8}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số y = x² – mx + 10 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - m)}}{{2.1}} = \frac{m}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - m)}^2} - 4.1.10)}}{{4.1}} = \frac{{ - {m^2} + 40}}{4} = \frac{{ - {m^2}}}{4} + 10\)

 Ta có, a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - {m^2}}}{4} + 10\) tại \(x = \frac{m}{2}\)

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi

\(\frac{{ - {m^2}}}{4} + 10 = 2 \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2}}}{4} = - 8 \Leftrightarrow {m^2} = 32 \Leftrightarrow m = \pm 4\sqrt 2 \)

Vậy \(m = \pm 4\sqrt 2 \) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số y = –x² – 2mx + 5 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2m)}}{{2.( - 1)}} = - m\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 2m)}^2} - 4.( - 1).5)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 4{m^2} - 20}}{{ - 4}} = {m^2} + 5\)

 Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là \({m^2} + 5\) tại \(x = - m\)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi

\({m^2} + 5 = 10 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 \)

Vậy \(m = \pm \sqrt 5 \) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = x² – mx + m có: a = 1 > 0 nên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –x² – 2mx + 3 có: a = –1 < 0 nên hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –x² – 2x + 3 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 1)}} = - 1\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 2)}^2} - 4.( - 1).3)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 16}}{{ - 4}} = 4\)

Ta có: a = –1< 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = –1.

Xét hàm số y = x² – 5m + 2 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5m)}}{{2.1}} = \frac{{5m}}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 5m)}^2} - 4.1.2)}}{{4.1}} = \frac{{ - 25{m^2} + 8}}{4} = \frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2\)

Ta có: a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Để giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 2x + 3 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 5m + 2 thì:

\(\frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2 = 4 \Leftrightarrow \frac{{ - 25{m^2}}}{4} = 2 \Leftrightarrow {m^2} = - \frac{8}{{25}}\) (vô lí do m² ≥ 0 với mọi số thực m).

Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.