12 Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: y = –x² + 4x + 3 có a = –1, b = 4, c = 3.

Ta có:

a = –1 < 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{4^2} - 4.( - 1).3} \right]}}{{4.( - 1)}} = 7\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 1)}} = 2\)

Vậy hàm số y = –x² + 4x + 3 có giá trị lớn nhất là 7 tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: y = x² + 2x – 4 có a = 1, b = 2, c = – 4.

Ta có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{2^2} - 4.1.( - 4)} \right]}}{{4.1}} = - 5\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.1}} = - 1\)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 4 có giá trị nhỏ nhất là –5 tại x = – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số: y = –3x² – 2x + 3 có a = –3, b = –2, c = 3.

Ta có:

a = –3 < 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 2)}^2} - 4.( - 3).3} \right]}}{{4.( - 3)}} = \frac{{10}}{3}\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 3)}} = - \frac{1}{3}\)

Vậy hàm số y = –3x² – 2x + 3 có giá trị lớn nhất là \(\frac{{10}}{3}\) tại x = \( - \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = –2x² – 12x có a = –2, b = –12, c = 0.

Ta có:

a = –2 < 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 12)}^2} - 4.( - 2).0} \right]}}{{4.( - 2)}} = 18\).

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 12)}}{{2.( - 2)}} = - 3\).

Vậy hàm số y = –2x² – 12x có giá trị lớn nhất là 18 tại x = – 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số: y = x² – 5x + 10 có a = 1, b = –5, c = 10

Ta có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 5)}^2} - 4.1.10} \right]}}{{4.1}} = \frac{{15}}{4}\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5)}}{{2.1}} = \frac{5}{2}\)

Vậy hàm số y = x² – 5x + 10 có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{15}}{4}\) tại x = \(\frac{5}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số: y = 5x² – x – 4 có a = 5, b = – 1, c = – 4

Ta có:

a = 5 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 1)}^2} - 4.5.( - 4)} \right]}}{{4.5}} = - \frac{{81}}{{20}}\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.5}} = \frac{1}{{10}}\)

Vậy hàm số y = 5x² – x – 4 có giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{{81}}{{20}}\) tại x = \(\frac{1}{{10}}\).

Mà \( - \frac{{81}}{{20}}\) là một số hữu tỉ âm, do đó đáp án A đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = 4x² – 24x + 3 có a = 4, b = –24, c = 3

Ta có:

a = 4 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 24)}^2} - 4.4.3} \right]}}{{4.4}} = - 33\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 24)}}{{2.4}} = 3\)

Vậy hàm số y = 4x² – 24x + 3 có giá trị nhỏ nhất là –33 tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = x² – 10x + 9 có a = 1, b = –10, c = 9

Ta có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 10)}^2} - 4.1.9} \right]}}{{4.1}} = - 16\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 10)}}{{2.1}} = 5\)

Vậy hàm số y = x² – 10x + 9 có giá trị nhỏ nhất là –16 tại x = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số: y = –x² + 6x + 5 có a = –1, b = 6, c = 5

Ta có:

a = –1 < 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{6^2} - 4.( - 1).5} \right]}}{{4.( - 1)}} = 14\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3\)

Vậy hàm số y = –x² + 6x + 5 có giá trị lớn nhất là 14 tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số: y = –x² + 3x + 5 có a = –1, b = 3, c = 5

Ta có:

a = –1 < 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{3^2} - 4.( - 1).5} \right]}}{{4.( - 1)}} = \frac{{29}}{4}\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 3}}{{2.( - 1)}} = \frac{3}{2}\)

Vậy hàm số y = –x² + 3x + 5 có giá trị lớn nhất là \(\frac{{29}}{4}\) tại x = \(\frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = x² – x – 3 có a = 1, b = –1, c = –3

Ta có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 1)}^2} - 4.1.( - 3)} \right]}}{{4.1}} = - \frac{{13}}{4}\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.1}} = \frac{1}{2}\)

Vậy hàm số y = x² – x – 3 có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 13}}{4}\) tại x = \(\frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Loại ngay đáp án B và D vì hệ số a < 0 nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số: y = x² – 2x + 4 có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 2)}^2} - 4.1.4} \right]}}{{4.1}} = 3\)

Do đó, hàm số y = x² – 2x + 4 có giá trị nhỏ nhất là 3.

Xét hàm số: y = x² + 2x – 2 có:

a = 1 > 0

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{2^2} - 4.1.( - 2)} \right]}}{{4.1}} = - 3\)

Do đó, hàm số y = x² + 2x – 2 có giá trị nhỏ nhất là –3.

Ta có: |3| = |–3| = 3.