12 Bài tập Chứng minh các đẳng thức, hệ thức liên quan (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lý cô sin ta có \[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\].

\( \Rightarrow c.\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) (1)

Lại có \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)\( \Rightarrow b\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}}\) (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: \(b.\cos C + c.\cos B = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\).

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

Hướng dẫn giải

Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\) (1)

Thay \({a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\) vào (1) ta được:

\(\frac{{2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)

Suy ra \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng định lý hệ quả sin ta có \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Do đó ta có: sin²A = sinB.sinC \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = bc\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Suy ra \(\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}\); \(\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}\).

Lại có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\).

Do đó: \[\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\]

\[\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\].

Vậy \[\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Diện tích tam giác AMN là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat {MAN}\).

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\).

Do \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC}\) (hai góc trùng nhau)

Nên \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Suy ra: \(\sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\); \(\sin B = \frac{{2S}}{{ac}}\); \(\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}\).

Lại có: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\); \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

Do đó, ta có:

 sin B. cos C + sin C. cos B  

= \(\frac{{2S}}{{ac}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \frac{{2S}}{{ab}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\( = \frac{S}{{{a^2}bc}}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\)

\( = \frac{S}{{{a^2}bc}}.2{a^2} = \frac{{2S}}{{bc}} = \sin A\).

Vậy sinA = sin B. cos C + sin C. cos B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)

Suy ra: \(\sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\).

Theo hệ quả định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Do đó: \(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lí sin trong tam giác ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Suy ra a = 2R.sin A; b = 2R.sin B; c = 2R.sin C.

Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{2R.\sin A.2R.\sin B.2R.\sin C}}{{4R}}\) = \(2{R^2}.\sin A.\sin B.\sin C\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác ABC, theo định lý côsin ta có:

b² = a² + c² − 2ac.cosB;

c² = a² + b² − 2ab.cosC.

Do đó ta có:

b² – c² = (a² + c² − 2ac.cosB) – (a² + b² − 2ab.cosC)

⇔ b² – c² = c² – b² – 2ac.cosB + 2ab.cosC

⇔ 2b² – 2c² = 2a(b.cosC – c.cosB)

⇔ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Vậy b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Suy ra: \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\); \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\); \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Do đó: sin A + sin B + sin C = \(\frac{{a + b + c}}{{2R}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Do đó: \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\); \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\); \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Ta có: 2sin B – 2sin C = 2.\(\frac{b}{{2R}}\) − 2.\(\frac{c}{{2R}}\) = \(\frac{{b - c}}{R}\).

Mà b – c = \(\frac{a}{2}\) hay a = 2(b – c) nên sinA = \(\frac{a}{{2R}}\)= \(\frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{2R}} = \frac{{b - c}}{R}\).

Vậy sinA = 2sinB – 2sinC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Do đó: \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\); \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\); \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Ta có: sin B + sin C = \(\frac{b}{{2R}}\) + \(\frac{c}{{2R}}\) = \(\frac{{b + c}}{{2R}}\).

Mà b + c = 2a nên 2sin A = \(\frac{{2a}}{{2R}}\)= \(\frac{{b + c}}{{2R}}\).

Vậy 2 sin A = sin B + sin C.