11 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Căn bậc hai có đáp án
11 câu hỏi
Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a) \({x^2} = 5\); b) \({x^2} = 2,5;\) c) \({x^2} = \sqrt 5 \).
a)
b)
c)
So sánh
a) 2 và \(1 + \sqrt 2 \); b) 1 và \(\sqrt 3 - 1\); c) \(3\sqrt {11} \) và 12; d) \( - 10\) và \( - 2\sqrt {31} \).
Tìm \(x\) không âm, biết
a) \(\sqrt x = 5\); b) \(\sqrt x = \sqrt 2 \); c) \(\sqrt x = - 2\).
Cho \(a > 0\). Chứng minh:
a) Nếu \({\rm{a}} > 1\) thì \({\rm{a}} > \sqrt {\rm{a}} \). b) Nếu a \( < 1\) thi \({\rm{a}} < \sqrt a \).
a) \(a - \sqrt a = \sqrt a (\sqrt a - 1) > 0\) nếu \(a > 1\).
b) \(a - \sqrt a = \sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) < 0\) nếu \(0 < a < 1\).
Biểu thức sau xác định với giá trị nào của \(x\)?
a) \[\sqrt { - 3x + 2} \]; b)\[\sqrt {\frac{4}{{2x + 3}}} \]; c)\[\sqrt {\frac{2}{{{x^2}}}} \];
d)\[\sqrt {x\left( {x + 2} \right)} \] e)\[\sqrt {9{x^2} - 6x + 1} \] f)\[\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{2 - x}}} \]
g)\[\sqrt {5{x^2} - 3x - 8} \] h)\[\sqrt {5{x^2} + 4x + 7} \].
a) ĐK: \[ - 3x + 2 \ge 0\] nên \[ - 3x \ge - 2\] hay \[x \le \frac{2}{3}.\]
b) ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{2x + 3}} \ge 0\\2x + 3 \ne 0\end{array} \right.\] nên \[2x + 3 > 0\] hay \[2x > - 3\], suy ra \[x > \frac{{ - 3}}{2}.\]
c) Đk: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{{x^2}}} \ge 0\\{x^2} \ne 0\end{array} \right.\] nên \[{x^2} > 0\] hay \[x \ne 0\]
d) ĐK: \[x\left( {x + 2} \right) \ge 0\]
TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ge - 2\end{array} \right.\], suy ra \[x \ge 0\].
TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x + 2 \le 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \le - 2\end{array} \right.\], suy ra \[x \le - 2\].
e) ĐK: \[9{x^2} - 6x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x.\]
f) ĐK: \[\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} \ge 0\]
TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x < 2\end{array} \right.\], suy ra \[\frac{1}{2} \le x < 2\]
TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\2 - x < 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x > 2\end{array} \right.\]. Không có giá trị \(x\) thỏa mãn.
g) ĐK: \[5{x^2} - 3x + 8 \ge 0\]
\[5{x^2} - \left( {8 - 5} \right)x + 8 \ge 0\]
\[\left( {5{x^2} - 8x} \right) + \left( {5x - 8} \right) \ge 0\]
\[\left( {5x - 8} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0\]
TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}5x - 8 \ge 0\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.\] nên \[x \ge \frac{8}{5}\].
TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}5x - 8 \le 0\\x + 1 \le 0\end{array} \right.\] nên \[x \le - 1\].
h) ĐK: \[5{x^2} + 4x + 7 \ge 0\]
\[25{x^2} + 20x + 35 \ge 0\]
\[\left( {25{x^2} + 2.5x.2 + 4} \right) + 31 \ge 0\]
\[{\left( {5x + 2} \right)^2} + 31 \ge 0,\] với mọi \[x.\]
Tính:
a) \[ - 0,8\sqrt {{{\left( { - 0,125} \right)}^2}} \]; b) \[\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^6}} \]; c)\[\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} \];
d) \[\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} \]; e) \[\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \]; f) \[\sqrt {{{\left( {0,1 - \sqrt {0,1} } \right)}^2}} \];
g)\[\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \]; h) \[\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \]; i) \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } \];
j)\[\sqrt {16 - 6\sqrt 7 } \].
a) \[ - 0,8\sqrt {{{\left( { - 0,125} \right)}^2}} = - 0,8\left| { - 0,125} \right| = - 0,8.0,125 = - 0,1.\]
b) \[\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^6}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^{3.2}}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^3}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( { - 2} \right)}^3}} \right| = {2^3} = 8.\]
c) \[\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = 2 - \sqrt 3 .\]
d) \[\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 - 3} \right| = 3 - 2\sqrt 2 .\]
e) \[\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
f) \[\sqrt {{{\left( {0,1 - \sqrt {0,1} } \right)}^2}} = \left| {0,1 - \sqrt {0,1} } \right| = \left| {\sqrt {0,1} \left( {\sqrt {0,1} - 1} \right)} \right| = \sqrt {0,1} \left( {1 - \sqrt {0,1} } \right) = \sqrt {0,1} - 1.\]
g) \[\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 .1 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| = \sqrt 3 - 1.\]
h) \[\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } = \sqrt {2 + 2.\sqrt 2 .1 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 + 1} \right| = \sqrt 2 + 1.\]
i) \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2.\sqrt 5 .2 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2.\]
j) \[\sqrt {16 - 6\sqrt 7 } = \sqrt {\left( {7 - 2.\sqrt 7 .3 + 9} \right)} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| = 3 - \sqrt 7 .\]
Rút gọn biểu thức:
a). \[2\sqrt {{x^2}} \], với \[x < 0\]; b). \[\frac{1}{2}\sqrt {{x^{10}}} \], với \[x < 0\];
c). \[\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}} \], với \[a \le 5\]; d). \[\sqrt {{{\left( {x - 10} \right)}^{10}}} \], với \[x \le 10\];
e). \[x - 4 + \sqrt {{x^2} - 8x + 16} \], với \[x < 4\]; f). \[\sqrt {{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}} \], với \[0 \le x \le y.\]
a) \[2\sqrt {{x^2}} = 2\left| x \right| = - 2x.\]
b) \[\frac{1}{2}\sqrt {{x^{10}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^{5.2}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{x^5}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\left| {{x^5}} \right| = - \frac{1}{2}{x^5}.\]
c) Ta có:
• \[a \le 5 \Rightarrow a - 5 \le 0\] • \[\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}} = \left| {a - 5} \right| = 5 - a\]
d) Ta có:
• \[x \le 10 \Rightarrow x - 10 \le 0 \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^5} \le 0 \Rightarrow {\left( {10 - x} \right)^5} \ge 0.\]
• \[\sqrt {{{\left( {x - 10} \right)}^{10}}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right| = \left| {{{\left( {10 - x} \right)}^5}} \right| = {\left( {10 - x} \right)^5}.\]
e) Ta có:
• \[x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0\]
• \[x - 4 + \sqrt {{x^2} - 8x + 16} = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = x - 4 + \left| {x - 4} \right| = x - 4 - \left( {x - 4} \right) = 0\]
f) Ta có:
• \[0 \le x \le y\] nên \[x - y \le 0\] hay \[y - x \ge 0\]
• \[\sqrt {{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left[ {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {{x^2}} - \sqrt {{y^2}} } \right]}^2}} \]
\[ = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2}} = \left| {x - y} \right| = - \left( {x - y} \right) = y - x.\]
Rút gọn biểu thức:
a)\[\,\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 9}},\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right)\];
b)\(\,\frac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}},\,\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right)\);
c) \(6 - 2x - \sqrt {9 - 6x + {x^2}} \,,\,\,\left( {x < 3} \right)\).
a)\[\,\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 9}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}.\]
b) \[\frac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 3}} = \sqrt x - 2.\]
c) \(6 - 2x - \sqrt {9 - 6x + {x^2}} = 6 - 2x - \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 6 - 2x - \left| {3 - x} \right| = 6 - 2x - 3 + x = 3 - x.\)
Tìm \(x\) biết
a) \[\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 3 - x\]; b) \[\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}} + 2x = 5\];
c) \[\sqrt {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} = \frac{1}{4} - x\]; d) \[\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \sqrt {x - 1} - 1\];
e) \[\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5\]; g) \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2\].
a) \[\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 3 - x\]
Ta có biến đổi: \[\left| {x - 3} \right| = 3 - x\]
Ta có hai trường hợp:
TH 1: Nếu \[x \ge 3\] thì \[x - 3 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)\]
TH 2: Nếu \[x < 3\] thì \[3 - x = 3 - x \Leftrightarrow 0 = 0\left( {TM} \right)\]
Vậy tất cả \[x \le 3\] đều thỏa mãn.
b). \[\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}} + 2x = 5\]
Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {5 - 2x} \right)}^2}} = 5 - 2x\] hay \[\left| {5 - 2x} \right| = 5 - 2x\]
Ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu \[x \le \frac{5}{2}\] thì \[5 - 2x = 5 - 2x\] nên \[0 = 0\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\]
TH2: Nếu \[x > \frac{5}{2}\] thì \[2x - 5 = 5 - 2x\] hay \[x = \frac{5}{2}\] (L)
Vậy tất cả \[x \le \frac{5}{2}\]đều thỏa mãn.
c) \[\sqrt {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} = \frac{1}{4} - x\]
Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{1}{4} - x\] hay \[\left| {x - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4} - x\]
Tương tự ta có: tất cả \[x \le \frac{1}{4}\]đều thỏa mãn.
d). \[\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \sqrt {x - 1} - 1\].
Điều kiện: \[x \ge 1\]
Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {x - 1} - 1 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = \sqrt {x - 1} - 1\]
Ta có hai trường hợp:
Nếu \[\sqrt {x - 1} \ge 1\] thì \[x \ge 2\] nên \[\sqrt {x - 1} - 1 = \sqrt {x - 1} - 1\] (TM)
Nếu: \[\sqrt {x - 1} < 1\] thì \[x < 2\] nên \[1 - \sqrt {x - 1} = \sqrt {x - 1} - 1\] hay \[x = 2\] (TM)
Vậy: \[x \ge 2\] đều thỏa mãn.
e) \[\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5\]
Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {1 - 6x} \right)}^2}} = 5\] hay \[\left| {1 - 6x} \right| = 5\]
Ta có hai trường hợp:
Nếu: \[x \le \frac{1}{6}\] thì \[1 - 6x = 5\] hay \[x = - \frac{2}{3}\] (TM)
Nếu: \[x > \frac{1}{6}\] thì \[6x - 1 = 5\] hay \[x = 1\] (TM)
Vậy: \[x = - \frac{2}{3}\] và \[x = 1\] là giá trị cần tìm.
g). \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2\]
Điều kiện: \[x \ge 1\]
Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} = 2\] hay \[\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| = 2\]
Ta có hai trường hợp:
TH1: \[\sqrt {x - 1} + 1 = 2\] hay \[\sqrt {x - 1} = 1\] nên \[x - 1 = 1\], suy ra \[x = 2\]
TH2: \[\sqrt {x - 1} + 1 = - 2\] hay \[\sqrt {x - 1} = - 3\] (vô lý).
Vậy: \[x = 2\] là giá trị cần tìm.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) \[{x^2} - 11\]; b) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\];
c) \[x - 5\] (với \[x > 0\]); d) \[5 - 7{x^2}\] (với \[x > 0\,).\]
e) \[3 + 4x\] (với \[x < 0\]).
a) \[{x^2} - 11 = \left( {x - \sqrt {11} } \right)\left( {x + \sqrt {11} } \right)\].
b) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}\].
c) \[x - 5 = \left( {\sqrt x + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt 5 } \right)\] (với \[x > 0\])
d) \[5 - 7{x^2} = \left( {\sqrt 5 - \sqrt {7x} } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt {7x} } \right)\] (với \[x > 0\])
e) \[3 + 4x = {\sqrt 3 ^2} - {\sqrt {4x} ^2} = \left( {\sqrt 3 - \sqrt {4x} } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt {4x} } \right)\] (với \[x < 0\])
Chứng minh đẳng thức:
a). \[9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}\];
b). \[\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = 2\];
c). \[\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 = 4\];
d).\[\sqrt {a + 4\sqrt {a - 2} + 2} + \sqrt {a - 4\sqrt {a - 2} + 2} = 4\] (với \[2 \le a \le 6\]).
a). \[9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}\]
\[VT = 5 + 2.\sqrt 5 .2 + 4 = {\sqrt 5 ^2} + 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2} = VT\]
b). Ta có biến đổi:
\[\begin{array}{l}VT = \sqrt {5 + 2.\sqrt 5 .2 + 4} - \sqrt 5 = \sqrt {{{\sqrt 5 }^2} + 2.\sqrt 5 .2 + {2^2}} - \sqrt 5 \\\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 = \left| {\sqrt 5 + 2} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 = 2 = VP\end{array}\]
c). \[VT = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\sqrt 7 }^2}} - \sqrt 7 \]
\[ = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 = \left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4 = VP\]
d). \[VT = \sqrt {a - 2 + 2.\sqrt {a - 2} 2 + 4} + \sqrt {a - 2 - 2.\sqrt {a - 2} .2 + 4} \]
\[ = \left| {\sqrt {a - 2} + 2} \right| + \left| {\sqrt {a - 2} - 2} \right| = \sqrt {a - 2} + 2 + 2 - \sqrt {a - 2} = 4 = VP\] (vì \[2 \le a \le 6\])
