100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao (P2)

Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là  .

 Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là  .

 Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là:

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là:

Chọn D.

Bước 1: Xếp 3 bi đỏ khác nhau vào hộp có 7 ô trống có $A_7^3$ cách.

Bước 2: Xếp 3 bi xanh giống nhau  vào 4 ô trống còn lại,có $C_4^3$  cách.

Theo quy tắc nhân  ta có  $A_7^3. C_4^3= 840$ cách.

Chọn C.

Vì 3 bi đỏ đứng cạnh nhau gọi nhóm 3 bi đỏ là X, và 3 bi xanh đứng cạnh nhau nên gọi nhóm 3 bi xanh là Y.

Vì xếp vào hộp có 7 ô, có 3 viên bi đỏ chiếm 3 vị trí và 3 viên bi xanh chiếm 3 vị trí, còn lại 1 vị trí trống.

Bước 1: Ta xem chỉ có 3 vị trí để xếp X và Y, có  $A_3^2$  cách.

Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 3! cách xếp 3 viên bi đỏ khác nhau, còn 3 viên bi xanh chỉ 1 cách xếp vì chúng giống nhau.

Theo quy tắc nhân có  $A_3^2.3!=36$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Chọn D.

        ·     Gọi nhóm I là nhóm ghế của 4 bạn nam, số cách xếp là 4!,

              tương tự với 2 bạn nữ là nhóm II với số cách xếp là 2!.

        ·       Rõ ràng khi xếp 6 bạn này vào hàng 9 ghế thì ta còn 3 ghế trống.

              Chia 9 hàng ghế này thành 5 phần có thứ tự, trong đó 2 phần bất kì nào dành cho nhóm I và nhóm II thì 3 phần còn lại sẽ là 3 chiếc ghế trống.

        *Số cách xếp 2 nhóm vào 9 hàng ghế sao cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau là:

         Coi nhóm I, nhóm II và 1 ghế trống ở giữa 2 nhóm này là 1 nhóm đại diện, số nhóm đại diện là 2!.

           Lúc này 9 ghế hàng ngang thì còn lại 2 ghế trống.

          Tương tự chia 9 hàng ghế làm 3 phần với ý tưởng khi nhóm đại diện rơi vào 1 phần nào đó thì 2 phần còn lại sẽ là ghế trống, khi đó số cách xếp nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau và giữa 2 nhóm có đúng 1 ghế trống là:

Vậy số cách xếp cần tìm là: 

chọn B.

Gọi số cần lập là 

Vì a khác 1  nên a có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a ta có:  cách chọn b;c;d.

Vậy có  số .

chọn A.

Từ các số 1;2; 3; 4; 5; 6 ta lập được 6! số có 6 chữ số khác nhau.

Gọi x  là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt y=12 khi đó x  có dạng   với a;b;c;d;e đôi một khác nhau và thuộc tập {y;3;4;5;6} nên có 5!=120 số.

Khi hoán vị hai số 1;2 ta được một số khác nên có 120.2=240 số

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: 6!-240=480 số.

Chọn B.

Xét tập B={ 1;4;5;6;7;8} có 6 phần tử, ta có B không chứa số 3.

X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi X \ {2} là một tập con của B 

 Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng  2⁶ = 64

Chọn  A.

Chú ý : Cho tập hợp A có n phần tử, thì tập A có $2^n$ tập con. 

Xét số    được lập từ các chữ số thuộc tập A.

Vì x lẻ nên e ∈ {1; 3; 5; 7} , suy ra có 4 cách chọn e.

Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập A \ {e} nên có  $A_7^4= 840$ cách

Suy ra, có  4.840=3360 số lẻ gồm năm chữ số khác nhau.

+ Ta tính số các số có 5 chữ số khác nhau được tạo ra từ tập A.

Gọi số đó là $\overline{123xy}$

Có 5 cách chọn x và 4 cách chọn y.

Nên có :  4. 5 = 20 số bắt đầu bằng 123

* Vậy số các số có 5 chữ số  thỏa yêu cầu bài toán là :3360- 20=3340  số.

Chọn A.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng  .

TH1: Nếu a=1 khi đó có  cách chọn 4 chữ số xếp vào b;c;d;e.

TH2: Nếu a khác 1  , khi đó:

 Có 6 cách chọn a.

Có 2 cách xếp chữ số 1 vào số cần tạo ở vị trí b hoặc c.

Các chữ số còn lại trong số cần tạo có   cách chọn.

Như vậy trường hợp này có  số.

Vậy có tất cả  840+1440=2280 số.

chọn A.

 Gọi   là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có : Chọn một số khác 0 xếp vào vị trí a₁ có 9 cách;

Chọn một số xếp vào vị trí a₂  có 10 cách;

Chọn một số xếp vào vị trí a₃ có 10 cách ;

Chọn một số xếp vào vị trí a₄  có 10 cách.

Vậy có 9.10.10.10=9000  số.

 Chọn D.

Đặt x=23. Số các số cần lập có dạng  với a;b;c;d ∈{1;x;4;5;6;7}  có   số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Xét các số tự nhiên có bảy chữ số được lập từ {1;2;2;2;3;4;5;6;7}.

Ta thấy có   số như vậy.

Tuy nhiên khi hoán vị vị trí của ba số 2 cho nhau thì số thu được không thay đổi.

Vậy có  số thỏa yêu cầu bài toán.

chọn B.

Có hai phương án xây dựng đề kiểm tra như sau:

·       Phương án 1: Đề gồm 1 câu hỏi dễ và 2 câu hỏi khó

Số cách chọn 1 câu hỏi dễ từ 6 câu hỏi dễ là  $C_6^1$ , số cách chọn 2 câu hỏi khó từ 4 câu hỏi khó là  $C_4^2$.

 Theo quy tắc nhân, số cách tạo đề kiểm tra của phương án này là $C_6^1.C_4^2=36$

·       Phương án 2: Đề gồm 2 câu hỏi dễ và 1 câu hỏi khó.

Số cách chọn 2 câu hỏi dễ từ 6 câu hỏi dễ là $C_6^2$  , số cách chọn 1 câu hỏi khó từ 4 câu hỏi khó là $C_4^1$  .

Theo quy tắc nhân, số cách tạo đề kiểm tra của phương án này là $C_6^2.C_4^1=60$

Vậy theo quy tắc cộng thì số đề kiểm tra có thể lập được là :   36 + 60 = 96.

Chọn D.

Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$cách.

 sau khi chọn 2 nam thì còn lại 13 bạn nam. Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

+) chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_{13}^2$ cách.

+) chọn 2 nữ và 1 nam có  $13.C_5^2$ cách.

+) chọn 3 nữ có $C_5^3$  cách.

Vậy có  $A_{15}^2(5.C_{13}^2+13.C_5^2+C_5^3)=111300$ cách.

Chọn D.

+ Số cách chọn 6 học sinh bất kỳ từ 18 học sinh là.  $C_{18}^6=18564$

+ Tiếp theo ta đếm số cách chọn ra 6 học sinh từ các học sinh trên mà không có đủ cả ba khối. Khi đó có ba phương án như dưới đây.

Phương án 1: 6 học sinh được chọn thuộc vào khối 10 hoặc 11, số cách chọn là $C_{13}^6=1716$

Phương án 2: 6 học sinh được chọn thuộc vào cả hai khối 10 và 12, số cách chọn là $C_{12}^6-C_7^6=917$

Phương án 3: 6 học sinh được chọn thuộc vào cả hai khối 11 và 12, số cách chọn là $C_{11}^6-C_6^6=461$

Vậy số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh là: 

18564 – (1716 + 917 + 461) = 15470.

chọn D.

Lớp đó , có 7 nữ và 26 nam.

Số cách chia lớp thành 3 tổ thỏa yêu cầu có 3 trường hợp

* TH1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam có $C_7^3{C}_{26}^7$  cách chọn 

            Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam  ( lúc này còn 4 nữ và 19 nam )có  $C_4^2{C}_{19}^9$ cách chọn

            Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam ( lúc này còn 2 nữ a và 10 nam) có $C_2^2{C}_{10}^{10}$ cách chọn

Vậy có  $C_7^3{C}_{26}^7{C}_4^2{C}_{19}^9$ cách chia thành 3 tổ trong TH này

* TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, 

tương tự tính được $C_7^2{C}_{26}^8{C}_5^3{C}_{18}^8$  cách chia.

* TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, 

   tương tự tính được  $C_7^2{C}_{26}^8{C}_5^2{C}_{18}^9$ cách chia.

Vậy có tất cả   $C_7^3{C}_{26}^7{C}_4^2{C}_{19}^9+C_7^2{C}_{26}^8{C}_5^3{C}_{18}^8+C_7^2{C}_{26}^8{C}_5^2{C}_{18}^9$cách chia.

Chọn  D.

Bước 1: Chọn 2 người trong 6 người còn lại, có $C_6^2$  cách chọn, để tao thành nhóm X thỏa điều kiện AabB đứng kề nhau với a và b là người vừa chọn.

Bước 2: Xếp X và 4 người còn lại (bỏ 4 người A, a, b, B) có 5! cách xếp.

Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 2 có 2! cách xếp hai người A và B, có 2! cách xếp hai người a và b.

Theo quy tắc nhân có  $C_6^2.5!.2!.2!=7200$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Chọn C.

Vì giữa 3 bạn nữ có 2 vị trí trống, để xếp thỏa yêu cầu phải có dạng  $\overline{AaBbC}$ . Trong đó A, B, C là 3 bạn nữ, a, b là 2 bạn nam.

Bước 1: Chọn 2 bạn nam trong 3 bạn nam, có $C_5^2$  cách.

Bước 2: Gọi nhóm $\overline{AaBbC}$  là X. Xếp X và 3 bạn nam còn lại thành 1 hàng ngang có 4! cách.

Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 2! cách xếp các bạn nam trong X và 3! cách xếp các bạn nữ trong X.

Theo quy tắc nhân có  $C_4^2.4!.3!.2!=2880$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Chọn  C.

+ Ta đếm số cách bầu ban thường vụ bất kỳ:

Bước 1: Bầu bí thư và phó bí thư, có  $A_{12}^2$ cách.

Bước 2: Bầu 3 ủy viên từ 10 người còn lại, có  $C_{10}^3$cách.

Theo quy tắc nhân thì số bầu ban thường vụ bất kỳ là : $A_{12}^2.C_{10}^3=15840$

+ Tiếp theo ta đếm số cách bầu ban thường vụ mà không có nữ nào (ban thường vụ toàn nam).

Bước 1: Bầu bí thư và phó bí thư, có $A_7^2$  cách.

Bước 2: Bầu 3 ủy viên từ 5 nam còn lại, có $C_5^3$  cách.

Theo quy tắc nhân, số cách bầu ban thường vụ toàn nam sẽ là: $A_7^2.C_5^3=420$

Vậy số cách bầu ban thường vụ mà có ít nhất một nữ là: 15840 – 420 = 15420.

Chọn B.

Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.

  1. Chọn 3 nam từ 6 nam. Có  cách.

  2. Chọn 2 nữ từ 5 nữ. Có  cách.

3. Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.

Từ đó ta có số cách xếp là  

Chọn C.

TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy An nhưng không có cô Bình.

Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy An)  rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Bình)

Có  $C_6^2.C_4^2=60$

  TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Bình nhưng không có thầy An.

Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy An) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Bình)

Có  $C_6^3.C_4^1=80$

 Vậy, có 60+80=140 cách lập hội đồng coi thi.       

Chọn A.

Các trường hợp xảy ra theo yêu cầu đề:

Trường hơp 1: 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ, có:  cách.

Trường hợp 2: 2 xanh,1 vàng, 3 đỏ, có:  cách.

Vậy có :  cách.

Chọn D.

Sử dụng phương pháp gián tiếp:

Lấy ra 9 viên bi trong 15 viên bi bất kỳ, có   $C_{15}^9$cách.

Trường hợp 1: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và đỏ, có $C_{11}^9$  cách.

Trường hợp 2: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và vàng, có $C_9^9$  cách.

Trường hợp 3: lấy ra 9 viên bi chỉ có màu đỏ và vàng, có $C_{10}^9$  cách.

Vậy có : $C_{15}^9-(C_{11}^9+C_9^9+C_{10}^9)=4984$cách.

Chọn C.

TH1: 4 học sinh được trọn thuộc một lớp:

Thuộc lớp A: Có $C_5^4$ cách chọn

Thuộc lớp B: Có $C_4^4$ cách chọn

Trong trường hợp này có: $C_5^4+C_4^4=6$ cách chọn.

TH2: 4 học sinh thuộc hai lớp:

Thuộc lớp A và B: có $C_9^4-\left(C_5^4+C_4^4\right)=120$ cách chọn

Thuộc lớp B và C: có $C_7^4-C_4^4=34$ cách chọn
Thuộc lớp A và C: có $C_8^4-C_5^4=65$ cách chọn

Trong trường hợp này có: 120 + 34 + 65 = 219 cách chọn

Vậy có 219 + 6 = 225 cách chọn đội thanh niên xung kích thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Chọn A.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là  cách.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là  cách.

Lấy 1 người trong đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 3 người ở đơn vị B, ta được 3 cách.

Lấy 1 người trong 2 người còn lại ở đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 2 người còn lại ở đơn vị B, ta được 2 cách.

Vậy có   cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Chọn A.