25 câu hỏi
Tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\)
\(\frac{\pi }{6}(5\sqrt 5 - 1)\)
\(\frac{{\pi \sqrt 6 }}{2}\)
\(\frac{\pi }{6}(3\sqrt 6 - 1)\)
\(\frac{\pi }{6}(\sqrt 6 - 1)\)
Tính diện tích mặt \(S\): \(z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,z \le 3\)
\(9\pi \sqrt 2 \)
\(8\pi \sqrt 5 \)
\(9\pi \sqrt 8 \)
\(7\pi \sqrt 3 \)
Tính đạo hàm theo hướng \(\vec l = (1,2, - 2)\) của \(u = {e^x}({y^2} + z) - 2xy{z^3}\) tại \(A(0,1,2)\)
\(\frac{{ - 11}}{4}\)
\(\frac{{ - 11}}{3}\)
\(\frac{{ - 15}}{4}\)
\(\frac{{ - 15}}{2}\)
Cho \(u(x,y,z) = {x^3} + 3y{x^2} + 2y{z^2}\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A)\) với \(\vec n\) là vecto pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3,z \le 0\) tại điểm \(A(1,1, - 1)\)
\( - 6\sqrt 3 \)
\( - 6\sqrt 2 \)
\( - 2\sqrt 3 \)
\( - 2\sqrt 6 \)
Biết nhiệt độ tại điểm \((x,y,z)\) trong không gian được cho bởi hàm
\(T(x,y,z) = \frac{{80}}{{1 + {x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}\) ở đó \(T\) có đơn vị là \(^oC\) và x, y, z là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm \(A(1,1, - 2)\)
\(\left( {\frac{5}{8},\frac{5}{4},\frac{{15}}{4}} \right)\)
\(\left( {\frac{5}{8},\frac{{15}}{4},\frac{{15}}{4}} \right)\)
\(\left( {\frac{{ - 5}}{8},\frac{{ - 5}}{4},\frac{{15}}{4}} \right)\)
\(\left( {\frac{5}{8},\frac{{ - 5}}{4},\frac{{15}}{4}} \right)\)
Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {grad} z\) (đơn vị: radian) của các trường vô hướng sau \({z_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,{z_2} = x - 3y + \sqrt {3xy} \) tại \(M(3,4)\) (Chọn đáp án gần đúng nhất)
2
1
3
4
Cho \(u(x,y,z) = ln(1 + {x^2} + {e^{y - z}}),O(0,0,0),A(1, - 2,2)\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow l }}(O)\) theo hướng \(\overrightarrow {OA} \)
\(\frac{{ - 2}}{5}\)
\(\frac{{ - 2}}{3}\)
\(\frac{{ - 1}}{3}\)
\(\frac{{ - 1}}{5}\)
Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm \(u = xsinz - ycosz\) tại gốc tọa độ là lớn nhất
\(\vec l = (0,1,0)\)
\(\vec l = (0, - 1,0)\)
\(\vec l = (0, - 2,0)\)
\(\vec l = (0, - 3,0)\)
Cho điểm \(A(2, - 1,0),B(1,1,3)\). Tính đạo hàm của hàm \(u = {x^3} + 3{y^2} + {e^z} + xy{z^2}\) tại điểm \(A\) theo hướng \(\overrightarrow {AB} \)
\(\frac{{\sqrt {14} }}{3}\)
\(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
\(\frac{{ - 3\sqrt {14} }}{2}\)
\(\frac{{ - 2\sqrt {14} }}{3}\)
Tính góc giữa \(\overrightarrow {grad} u,u = \frac{x}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) tại điểm \(A(1,2,2)\) và \(B( - 3,1,0)\)
\(arccos\left( {\frac{{ - 8}}{9}} \right)\)
\(\arccos \left( {\frac{{ - 1}}{9}} \right)\)
\(arccos\left( {\frac{1}{9}} \right)\)
\(arccos\left( {\frac{{ - 7}}{9}} \right)\)
Cho \(\vec F = {x^2}yz\vec i + 3x{y^2}z\vec j + mxy{z^2}\vec k\) với \(m\) là tham số thực. Tìm \(m\) để \(\vec F\) là trường ống.
\(m = 4\)
\(m = - 4\)
\(m = 5\)
\(m = - 5\)
Xác định những điểm không phải điểm xoáy trong trường vecto
\(\vec F = ({z^2} + 2xy)\vec i + (3{x^2} - 2yz)\vec j - {z^2}\vec k\)
\((1,0,0)\)
\((0,0,1)\)
\((0,0,0)\)
\((0,1,0)\)
Biết \(\vec F = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left[ {(2{x^2}yz + yz)\vec i + (2{y^2}xz + xz)\vec j + (2{z^2}yx + xy)\vec k} \right]\) là trường thế. Tìm hàm thế vị.
\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)
\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xy + C\)
\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xy + C\)
\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)
Biết\(\vec F = (3{x^2} - 3{y^2}z)\vec i + (arctanz - 6xyz)\vec j + (\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2})\vec k\) là trường thế, tìm hàm thế vị.
\(u = x + yarctanz + 3x{y^2}z + C\)
\(u = 3x + yarctanz + 3x{y^2}z + C\)
\(u = yarctanz + 3x{y^2}z + C\)
\(u = {x^3} + yarctanz + 3x{y^2}z + C\)
Biết \(\vec F = (3{x^2} + yz)\vec i + (6{y^2} + xz)\vec j + ({z^2} + xy + {e^z})\vec k\) là trường thế, tìm hàm thế vị
\(u = {x^3} + 2{y^3} + \frac{{{z^3}}}{3} + {e^z} + xyz + C\)
\(u = {x^3} + 3{y^3} + \frac{{{z^3}}}{3} + {e^z} + xyz + C\)
\(u = {x^3} + 2{y^3} + \frac{{{z^3}}}{3} + {e^z} + xy + C\)
\(u = {x^3} + 2{y^3} + \frac{{{z^3}}}{3} + {e^{{x^2}}} + xyz + C\)
Tính thông lượng của \(\vec F = x\vec i + ({y^3} + 2z)\vec j + (3{x^2}z - x)\vec k\) qua mặt cầu \(S:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) hướng ra ngoài.
\(\frac{{54\pi }}{{15}}\)
\(\frac{{57\pi }}{{15}}\)
\(\frac{{47\pi }}{{15}}\)
\(\frac{{44\pi }}{{15}}\)
Tính thông lượng của \(\vec F = x{y^2}\vec i - z{e^x}\vec j + ({x^2}z + siny)\vec k\) qua \(S\) là mặt \(z = {x^2} + {y^2},z \le 4\), hướng ra ngoài. (Chọn kết quả gần đúng nhất)
-17
-15
-10
-14
Tính thông lượng của \(\vec F = ({x^2} - 2y + z)\vec i - ({z^2} + 2xy)\vec j + x\vec k\) qua phía trên mặt nón \(z = 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) cắt bởi hai mặt phẳng \(z = 2,z = 5\)
25
16
0
20
Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = 2{x^2}\vec i + {y^2}\vec j - {z^2}\vec k\) qua \(S\) là mặt ngoài của miền giới hạn bởi \(y = 0,y = \sqrt {1 - {z^2}} ,x = 0,x = 2\)
\(4\pi + \frac{8}{3}\)
\(3\pi + \frac{8}{3}\)
\(\pi + \frac{8}{3}\)
\(4\pi + \frac{8}{5}\)
Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua \(S\) là biên ngoài của miền \(V\): \(|x - y| \le 1,|y - z| \le 1,|z + x| \le 1\)
5
4
0
3
Cho trường vô hướng \(u = xy + yz + xz\). Tính lưu số của trường vecto grad u dọc theo đoạn thẳng nối từ \(A( - 1, - 1, - 1)\) đến \(B(2,4,1)\)
11
12
16
14
Tính lưu số của \(\vec F = {x^2}{y^3}\vec i + \vec j + z\vec k\) dọc theo đường tròn có phương trình
C: \({x^2} + {y^2} = 1,z = 0\) giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \)
\(\frac{{ - \pi }}{6}\)
\(\frac{{ - \pi }}{8}\)
\(\frac{{ - \pi }}{7}\)
\(\frac{{ - \pi }}{9}\)
Tính lưu số của \(\vec F = (y{e^{xy}} + 3y + z)\vec i + (x{e^{xy}} + y - 5z)\vec j + (1 + 2x)\vec k\) dọc theo đường cong \(L\) là giao của mặt \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và mặt \(x - y + z = 0\) hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương trục Oz.
\(3\sqrt 3 \pi \)
\(6\sqrt 3 \pi \)
\(4\sqrt 3 \pi \)
\(\sqrt 3 \pi \)
Tính lưu số của \(\vec F = ({y^2} + {z^2})\vec i + ({x^2} + {z^2})\vec j + ({x^2} + {y^2})\vec k\) dọc theo đường cong \(C\) trong đó \(C\) là giao của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và mặt nón có phương trình \(z = - \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \) với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc \(O\).
3
0
1
5
Tính thông lượng của \(\vec F = (6z - 2{y^3})\vec i + (2x - 3z)\vec j + (2{y^3} - 4x)\vec k\) qua mặt cong \(S:2{x^2} + {y^4} + 3{z^2} = 1,z \ge 0\) hướng lên trên.
3
0
2
1