10 bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
(x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 3;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4.
Cho A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng
\(\sqrt {\frac{6}{7}} \);
\(\frac{6}{7}\);
\(\frac{{49}}{{36}}\);
\(\frac{7}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Có \(R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 8 = 0.
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(−1; 1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y – 3z – 5 = 0.
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = \(\sqrt {14} \);
(x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14;
(x + 1)2 − (y − 1)2 − (z − 2)2 = 14;
(x + 1) + (y + 2) + (z – 1) = 14.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 - 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y – 2z – 2 = 0 là:
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 2). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz là
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 16;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 4;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 5;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).
Ta có \(\overrightarrow {HI} = \left( {3;4;0} \right)\).
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:
\(R = d\left( {I,Oz} \right) = HI = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5\).
Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
Phương trình mặt cầu (S) có tâm O, tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 là
x2 + y2 + z2 – 3x = 9;
x2 + y2 + z2 = 3;
x2 + y2 + z2 = 81;
x2 + y2 + z2 = 9.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {75} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: x2 + y2 + z2 = 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2; 1; −3) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là:
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy H(0; 1; 0).
Khi đó R = d(I, Oy) = IH = \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; −1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 16;
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = 36;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 49.
Đáp án đúng là: B
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)\\d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IA\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\\left| a \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 3\\c = 3\end{array} \right.\].
Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9.
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; 0; 1). Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với với mặt phẳng (Oxy) là
(x + 2)2 + y2 + z2 = 1;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 5;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 4;
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.
Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
