10 bài tập Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có đường kính AB với A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2) là
(x – 1)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2.
Đáp án đúng là: D
Ta có tọa độ tâm I(1; 1; 1) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 2 \).
Do đó phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là
(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z – 3)2 = \(\sqrt {45} \);
(x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45;
(x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = \(\sqrt {45} \);
(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm AB ta có I(−1; 3; 3) là tâm mặt cầu.
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 1) và B(1; −1; 3). Phương trình mặt cầu có đường kính AB là
(x − 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 8;
(x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 2;
(x + 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 2;
(x + 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 8.
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB. Khi đó I(1; 0; 2).
Bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−2; 2; −3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
x2 + (y − 3)2 + (z – 1)2 = 36;
x2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 = 9;
x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9;
x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 36.
Đáp án đúng là: C
Tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB I(0; 3; −1).
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3\).
Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB có phương trình x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; −3), B(0; 3; −1). Phương trình của mặt cầu đường kính AB là:
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 6;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 24;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 24;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 6.
Đáp án đúng là: D
Tâm I(1; 1; −2) là trung điểm của AB, bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4} = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)
Phương trình mặt cầu cần lập là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(7; −2; 2) và B(1; 2; 4). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?
(x − 4)2 + y2 + (z – 3)2 = 14;
(x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = \(2\sqrt {14} \);
(x − 7)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 14;
(x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = 56.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4; 0; 3) của AB làm tâm và có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {56} }}{2}\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = 14.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; −2; 5), N(−1; 6; −3). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 6;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 6;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
Đáp án đúng là: D
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của MN I(1; 2; 1).
Bán kính mặt cầu \(R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6\).
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(6; 2; −5), N(−4; 0; 7). Viết phương trình mặt cầu đường kính MN.
(x + 5)2 + (y + 1)2 + (z − 6)2 = 62;
(x − 5)2 + (y − 1)2 + (z + 6)2 = 62;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 62;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 62.
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu có tâm là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)\).
Bán kính mặt cầu R = IM = \(\sqrt {62} \).
Phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 62.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2; 1; 0), B(2; −1; 2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là
x2 + y2 + (z − 1)2 = 24;
x2 + y2 + (z − 1)2 = \(\sqrt 6 \);
x2 + y2 + (z − 1)2 = 6;
x2 + y2 + (z − 1)2 = \(\sqrt {24} \).
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(0; 0; 1) là trung điểm của AB và mặt cầu có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 6 \).
Vậy phương trình mặt cầu là x2 + y2 + (z − 1)2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 3; −1). Mặt cầu (S) có đường kính AB có phương trình là
x2 + (y − 2)2 + z2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Tâm I là trung điểm AB I(1; 2; 0) và bán kính \(R = IA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu: (x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3.
