10 bài tập Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau có lời giải
10 câu hỏi
Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài (O). Từ điểm I kẻ hai dây cung AB và CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D). Tích IA.IB bằng
ID.CD.
IC.CB.
IC.CD.
IC.ID.
Đáp án đúng là: D
Ta có tứ giác ABDC nội tiếp nên
\[\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = 180^\circ \].
Mà \[\widehat {BAC} + \widehat {CAI} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)
Do đó, \[\widehat {CAI} = \widehat {CDB}\].
Xét ∆IDB và ∆IAC, có:
\[\widehat {CAI} = \widehat {CDB}\] (cmt)
\[\widehat {AIC} = \widehat {BID}\]
Do đó, ∆IDB ᔕ ∆IAC (g.g)
Suy ra \[\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{IB}}{{IC}}\] nên IA.IB = IC.ID.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC và cắt (O) ở D và E. Khi đó AB2 bằng:
AD.AE.
AD.AC.
AE.BE.
AD.BD.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆ADC và ∆ACE, có:
\[\widehat {EAC}\] chung (gt)
\[\widehat {AEC} = \widehat {ACD}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)
Suy ra \[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AE}}\] hay AC2 = AD.AE.
Mà ta có AB = AC nên AB2 = AC2 = AD.AE.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Khi đó DE.DA bằng
DC2.
DB2.
DB.DC.
AB.AC.
Đáp án đúng là: D
Xét ∆ADC và ∆ACE, có:
\[\widehat {EAC}\] chung (gt)
\[\widehat {AEC} = \widehat {ACD}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)
Suy ra \[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AE}}\] hay AC2 = AD.AE.
Mà ta có AB = AC nên AB2 = AC2 = AD.AE = AB.AC.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Hệ thức nào sau đây là đúng?
EH.EC = EA.EB.
EH.EC = AE2.
EH.EC = AE.AF.
EH.EC = AH2.
Đáp án đúng là: A
Xét hai tam giác vuông ∆EBH và ∆ECA, có:
\[\widehat {EBH} = \widehat {ECA}\] (cùng phụ với \[\widehat {BAC}\])
Do đó, ∆EBH ᔕ ∆ECA (g.g)
Suy ra \[\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{EH}}{{EA}}\] suy ra EB.EA = EC.EH.
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó
AH = 2OM.
AH = 3OM.
AH = 2HM.
AH = 2FM.
Đáp án đúng là: A
Ta có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó, AH ⊥ BC (1)
Lại có M là trung điểm của BC nên OM ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM ∕∕ AH.
Mà O là trung điểm của AF nên OM là đường trung bình của tam giác AHF.
Suy ra AH = 2OM.
Tính DA.DC bằng
DH2.
DH.DB.
HE.HC.
HC2.
Đáp án đúng là: B
Xét hai tam giác vuông ∆HDC và ∆ADB có
\[\widehat {EBH} = \widehat {ECA}\] (cùng phụ với \[\widehat {BAC}\]).
Do đó, ∆HDC ᔕ ∆ADB (g.g)
Suy ra \[\frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{DC}}{{DB}}\] hay HD.DB = DA.DC.
Cho tam giác ABC đường cao AH và nội tiếp trong đường tròn (O), đường kính AD. Khi đó tích AB.AC bằng
AH.HD.
AH.AD.
AH.HB.
AH2.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆HBA và ∆CDA, có:
\[\widehat {BHA} = \widehat {DCA} = 90^\circ \]
\[\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)
Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\] hay AB.AC = AH.AD.
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 3 cm đường cao AH và nội tiếp trong đường tròn tâm (O), đường kính AD. Khi đó tích AH.AD bằng
15 cm2.
8 cm2.
12 cm2.
30 cm2.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆HBA và ∆CDA, có:
\[\widehat {BHA} = \widehat {DCA} = 90^\circ \]
\[\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)
Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\] hay AB.AC = AH.AD.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tích AH.AB bằng
4AO2.
AD.BD.
BD2.
AD2.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
∆ABC vuông tại C, có HC là đường cao.
Ta có ∆HAC ᔕ ∆CAB (g.g)
Do đó, ta được \[\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] hay AH.AB = AC2.
Mà AB là đường trung trực của CD nên AC = AD.
Do đó, AH.AB = AD2.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D ∈ BC; E ∈AC; F ∈ AB) cắt nhau tại H. Khi đó, ta có:
BH.BE = BC.BD.
CH.CF = CD.CB.
A, B đều đúng.
A, B đều sai.
Đáp án đúng là: C
Do AD, BE là các đường cao nên
\[\widehat {HDC} = \widehat {HEC} = 90^\circ \].
Vì ∆HDC vuông tại D nên ba điểm H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HD.
∆HEC vuông tại E nên ba điểm H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HE.
Suy ra H, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
Các góc \[\widehat {HCD},\widehat {HED}\] cùng chắn cung HD nên \[\widehat {HCD} = \widehat {HED}\] (1).
Xét hai tam giác ∆BDE và ∆BHC, có:
\[\widehat {HCD} = \widehat {HED}\] và \[\widehat {EBC}\] chung.
Do đó, ∆BDE ᔕ ∆BHC.
Từ đó ta nhận được \[\frac{{BD}}{{BH}} = \frac{{BE}}{{BC}}\] suy ra BH.BE = BC.BD.
Chứng minh tương tự ta có CH.CF = CD.CB.
Suy ra CH.CF = CD.CB.
Do đó, chọn đáp án C.
