Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có đáp án - phần 1)
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y = x3 – 3x.
y = −x3 + 3x.
y = −x4 + 2x2.
y = x4 − 2x2.
Đáp án đúng là: A
Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại C, D.
Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 nên chỉ có A phù hợp.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây?
\(y = {x^3} - 3x - 1\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
\(y = {x^4} + {x^2} + 1\).
Đáp án đúng là: C
Đồ thị đã cho là của hàm số nhất biến (bậc một trên bậc một) nên ta loại A, D.
Tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = 1\), tiệm cận ngang của đồ thị là \(y = 1\). Loại B.
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = - {x^4} + x + 1\).
\(y = {x^3} + 3x + 1\).
Đáp án đúng là: B
Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại A, C.
Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 nên chỉ có B phù hợp.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 1\) là
\(C(1;\,\,2).\)
\(O(0\,;\,\,0).\)
\(A(0;\,\,1).\)
\(B(1;\,\,1).\)
Đáp án đúng là: C
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có hoành độ là 0.
Thay x = 0 vào hàm số ta được y = 0.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là O(0; 0).
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau
\(C(1;\,\,2).\)
\(O(0\,;\,\,0).\)
\(A(0;\,\,1).\)
\(B(1;\,\,1).\)
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số nhận \(B(1;\,\,1)\) giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
II. Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có bảng biến thiên sau:
Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số y = f(x)?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
+) Khi x → +∞ thì y → +∞. Loại C và D.
+) Tọa độ các điểm cực trị là (−1; 2) và (1; −2) nên đáp án A là phù hợp.
Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau?
y = −x3 + 3x2 + 9x – 2.
\(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x - \frac{2}{3}\) .
y = x3 − 3x2 − 9x – 2.
\(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x + \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên và các phương án lựa chọn, ta thấy:
Đây là dạng hàm số bậc 3 có hệ số a > 0. Loại A và D.
Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 1) nên loại C.
Biết rằng hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị là một trong các dạng dưới đây:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đồ thị (I) xảy ra khi a < 0 và f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị (II) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị (III) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Đồ thị (IV) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 có có nghiệm kép.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đồ thị (III) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x - 3}}{{x - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 1\).
Suy ra loại đáp án A.
Nhìn vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = 3 > 0\). Loại đáp án B.
\(y = \frac{{ - x - 3}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = 4 > 0\). Loại đáp án D.
\(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = - 2 < 0\). </>
Chọn đáp án C.
Hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\) có bảng biến thiên nào dưới đây. Chọn đáp án đúng?
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = 1\) tiệm cận ngang \(y = 3\).
Cho hàm số \[y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(b < a < 0\).
\(a < b < 0\).
\(b > a\)và \(a < 0\).
\(a < 0 < b\).
Đáp án đúng là: A
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \[y = \frac{a}{1} = - 1 \Rightarrow a = - 1\].
Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là \(\left( {0\,;\,b} \right) \equiv \left( {0\,;\, - 2} \right) \Rightarrow b = - 2\).
Vậy \(b < a < 0\).
Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{ - x - 4}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{ - x - 4}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x + 4}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x + 4}}\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −4.
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (−10; 24) và (2; 0) nên thay tọa độ 2 điểm vào các hàm số ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Bảng biến thiên sau là của đồ thị hàm số nào
\(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - x}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 và hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
+) Xét hàm số\(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}\) có \(y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{x - 2}}\) có:
\(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\). Chọn.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x}}{{x - 2}}\) có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\) có:
\(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Loại.
Đồ thị hàm số ở hình sau là của hàm số nào
\(y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{ - {x^2}}}{{x + 1}}\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và đi qua O(0; 0) và (−2; 4).
Thay tọa độ O(0; 0) và (−2; 4) vào các hàm số ta thấy đáp án D thảo mãn.
Đồ thị hàm số ở hình sau là của hàm số nào.
\(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{ - x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{ - x + 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận xiên là y = x + 2.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{4}{{x - 1}}\).
Đồ thị hàm số này có tiệm cận xiên là y = x + 1. Loại.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}\).
Đồ thị hàm số này nhận y = x + 2 làm tiệm cận xiên. Chọn.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{ - x + 1}}\)\( = - x + 1 + \frac{2}{{ - x + 1}}\).
Đồ thị hàm số này nhận y = −x + 1 làm tiệm cận xiên. Loại.
+) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{ - x + 1}} = - x - 1 + \frac{4}{{ - x + 1}}\).
Đồ thị hàm số này nhận y = −x + 1 làm tiệm cận xiên. Loại.
III. Vận dụng
Cho hàm số \[y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m\] với \(m\) là tham số. Giả sử tồn tại giá trị nào đó của tham số \(m\) thì đồ thị hàm đi qua gốc tọa độ, khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm.
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên 1 – m = 0 m = 1.
Với m = 1 hàm số có dạng: y = x3 + 4x2 .
Phương trình x3 + 4x2 = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Do đó đáp án D sai.
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.
a < 0, b < 0, c > 0, d
a > 0, b < 0, c < 0, d > 0.
a < 0, b > 0, c < 0, d < 0.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào dạng đồ thị ta có a < 0, d < 0.
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên a, c trái dấu suy ra c > 0.
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hoành độ dương nên \( - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b > 0\).
Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như trong hình bên dưới. Biết rằng \[a\] là số thực dương, hỏi trong các số \[b,\,\,c,\,\,d\] có tất cả bao nhiêu số dương?
\[1\].
\[2\].
\[0\].
\[3\].
Đáp án đúng là: B
Tiệm cận ngang của đồ thị nằm phía trên Ox nên \[y = \frac{a}{c} > 0\] mà \[a > 0 \Rightarrow c > 0\].
Tiệm cận đứng của đồ thị nằm bên trái Oy nên \[x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow \frac{d}{c} > 0\] mà \[c > 0 \Rightarrow d > 0\].</>
Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là \[\left( {0\,;\,\frac{b}{d}} \right)\] nằm dưới O nên \[\frac{b}{d} < 0\] mà \[d > 0 \Rightarrow b < 0\].
Vậy \[b < 0,\,\,c > 0,\,\,d > 0\].</>
Xác định \(a,\,b,\,c\) để hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
\(a = 2,\,\,b = - 1,\,c = 1.\)
\(a = 2,\,\,b = 1,\,c = 1.\)
\(a = 2,\,\,b = 2,\,c = - 1.\)
\(a = 2,\,\,b = 1,\,c = - 1.\)
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\)và đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) (1).
Đồ thị hàm số \(y = \,\frac{{a\,x - 1}}{{x + b}}\) có tiệm cận đứng \(x = - b\), tiệm cận ngang \(y = a\)và đi qua điểm \(\left( {0;\frac{{ - 1}}{c}} \right)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: \(a = 2,\,\,b = 1,\,c = - 1;\)
Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng 1 là
M(0; 1), M(2; 3).
M(2; 1).
\(M\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\).
\(M\left( {3;\frac{5}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) với \(a \ne 1\).
Tiệm cận đứng của (C) là x = 1.
Ta có \(\left| {a - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 2\end{array} \right.\). Vậy M(0; 1), M(2; 3).
