Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2\).

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) y = −5x – 3.

Gọi M(x₀; y₀) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\).

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆₁: x – 1 = 0 và ∆₂: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₁: x – 1 = 0 là d₁ = |x₀ – 1|.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₂: y – 2 = 0 là

\({d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).

Suy ra \[{d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5\] .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x² + 2) = 0 Û x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = 3x² + 2bx + c.

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 2 \right) = - 20\\y'\left( { - 1} \right) = 0\\y\left( { - 1} \right) = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b + 2c + d = - 28\\ - 2b + c = - 3\\b - c + d = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - 9\\d = 2\end{array} \right.\).

Khi đó P = b – 2c + d = −3 – 2‧(−9) + 2 = 17.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thay x = 0 vào lần lượt các phương trình thì chỉ có phương án C có \(y = - \frac{1}{2} < 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ các điểm trên vào hàm số ta thấy điểm \(\left( {2; - \frac{4}{3}} \right)\) thỏa mãn đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2024}}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{{2023}}{{x - 1}}\).

Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = 1.

Đồ thị (C) có đường tiệm cận xiên là y = x – 1.

Đồ thị (C) có 2 trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường tiệm cận.

Thay x = 2 vào hàm số ta được y = 2024.

Do đó (C) đi qua điểm M(2; 2024).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định D = ℝ.

b) Đúng. Thay x = 0 vào hàm số ta được y = 2.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (0; 2).

c) Sai. Có y' = 3x² – 3; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 1.

d) Đúng. Có y' = 0 Û x = 1 (vì x Î [0; 2]).

Có y(0) = 2; y(1) = 0; y(2) = 4.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Ta có y' = x² + 3x + 2.

b) Đúng. y' > 0 Û x² + 3x + 2 > 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).

Vậy y' > 0 khi x Î (−∞; −2) È (−1; +∞).

c) Đúng. Bảng biến thiên

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2\).

b) Sai. Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

c) Đúng. Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) Û y = −5x – 3.

d) Sai. Gọi M(x₀; y₀) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\).

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆₁: x – 1 = 0 và ∆₂: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₁: x – 1 = 0 là d₁ = |x₀ – 1|.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₂: y – 2 = 0 là

\({d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).

Suy ra \[{d_1} \cdot {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| \cdot \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5\] .

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ\{−1}.

b) Đúng. \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\).

c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = + \infty \).

Suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\).

Suy ra y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Đúng. Đồ thị hàm số giao với Ox tại \(\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), giao với Oy tại (0; −2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

b) Sai. Có y' < 0 Û x² – 2x – 3 < 0 Û −1 < x < 3. Vậy y' < 0 khi x Î (−1; 3).

c) Đúng. Có y' = 0 Û x² – 2x – 3 = 0 Û x = 3 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

d) Đúng. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 1) và (1; 3).

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (−1; −5) và đạt cực tiểu tại (3; 3).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận xiên là y = x – 2.

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox và giao với trục Oy tại (0; −6).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là (1; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,2

Có \(y = \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = 2x + 3 + \frac{{10}}{{x - 1}}\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{10}}{{x - 1}} = 0\).

Suy ra y = 2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = - \infty \).

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x + 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;5} \right)\).

Do đó c = 1; d = 5. Vậy \(\frac{c}{d} = 0,2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có y' = 6x² – 8x – 14; y' = 0 Û 6x² – 8x – 14 = 0 Û \(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{7}{3}\).

Có y' < 0 \( \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{7}{3}\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{7}{3}} \right)\).

Từ đó a = −1; \(b = \frac{7}{3}\). Do đó 3b – 5a \( = 3 \cdot \frac{7}{3} - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 12\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Có y' = 3x² – 12x + 9; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

Suy ra a = 1; b = 3.

Vậy S = 2‧1 + 3 = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Gọi điểm M(x₀; y₀) thuộc đồ thị (C) có hoành độ và tung độ đều nguyên với x₀ ≠ 2.

Ta có \({y_0} = \frac{{ - {x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}} = \frac{{ - \left( {{x_0} - 2} \right) - 1}}{{{x_0} - 2}} = - 1 - \frac{1}{{{x_0} - 2}}\).

Vì y₀ nguyên nên x₀ – 2 Î Ư(1) = {−1; 1}.

Do đó x₀ – 2 = −1 Þ x₀ = 1 Þ y₀ = 0.

x₀ – 2 = 1 Þ x₀ = 3 Þ y₀ = −2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = x + 1\)Û 2x + 4 = x² – 1

Û x² – 2x – 5 = 0 Û \(x = 1 + \sqrt 6 \) hoặc \(x = 1 - \sqrt 6 \).

Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN là \(\frac{{1 + \sqrt 6 + 1 - \sqrt 6 }}{2} = 1\).