Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Đồ thị của hàm số y = x3 – 3x + 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
0;
1;
2;
−2.
Đáp án đúng là: C
Gọi M(x0; y0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
Ta có x0 = 0 y0 = 2.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 và trục hoành là
3;
0;
2;
1.
Đáp án đúng là: A
Tập xác định: ℝ.
Ta có: y' = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1); y' = 0 x = ± 1.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Cho hàm số y = (x – 3)(x2 + 2) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(C) cắt trục hoành tại hai điểm;
(C) cắt trục hoành tại một điểm;
(C) không cắt trục hoành;
(C) cắt trục hoành tại ba điểm.
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:
(x – 3)(x2 + 2) = 0 x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.
Đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?
|
|
|
|
Hình 1 | Hình 2 | Hình 3 | Hình 4 |
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Đáp án đúng là: B
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = - \infty \) nên loại C và D.
Đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2 đi qua (−1; 4) nên chọn B.
Hàm số y = −x3 + 3x2 – 1 là đồ thị nào sau đây?
|
|
|
|
Hình 1 | Hình 2 | Hình 3 | Hình 4 |
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Đáp án đúng là: A
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = + \infty \) suy ra loại đáp án B.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1). Chọn A.
Hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có đồ thị là hình nào sau đây?
|
|
|
|
Hình 1 | Hình 2 | Hình 3 | Hình 4 |
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Đáp án đúng là: A
Ta có y' = 3x2 + 6x; y' = 0 x = 0 hoặc x = −2.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).
Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?
|
|
|
|
|
| Hình 1 | Hình 2 | Hình 3 | Hình 4 |
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Đáp án đúng là: A
Có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
Đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Chọn đáp án đúng.
Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1};
Hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó;
Đường thẳng y = x + 3 là đường tiệm cận xiên của (C);
Điểm I(−1; −1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x + 1 ≠ 0 x ≠ −1.
Vậy tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1}.
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D\).
Vậy hàm số f(x) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
Và: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\].
Suy ra: đường thẳng y = x + 2 là đường tiệm cận xiên của (C).
Đồ thị hàm số nhận x = −1 là tiệm cận đứng.
Do đó điểm I(−1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\]. Mệnh đề nào sau đây sai?
Tâm đối xứng là I(1; 3);
Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1;
Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x + 3;
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 6).
Đáp án đúng là: A
Ta có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là đường thẳng x = 1, y = x + 3 do đó tâm đối xứng là I(1; 4).
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Chọn đáp án đúng.
Đồ thị hàm số (C) nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang;
Đồ thị hàm số (C) nhận I(2; 3) là tâm đối xứng;
Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Oy có phương trình y = −5x – 3;
Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới 2 đường tiệm cận của nó luôn bằng 3.
Đáp án đúng là: C
Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2\).
Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).
Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).
Ta có \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) y = −5x – 3.
Gọi M(x0; y0) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\).
Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆1: x – 1 = 0 và ∆2: y – 2 = 0.
Khoảng cách từ M(x0; y0) tới ∆1: x – 1 = 0 là d1 = |x0 – 1|.
Khoảng cách từ M(x0; y0) tới ∆2: y – 2 = 0 là
\({d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).
Suy ra \[{d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5\] .
Cho hàm số y = (x – 3)(x2 + 2) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(C) cắt trục hoành tại hai điểm.
(C) cắt trục hoành tại một điểm.
(C) không cắt trục hoành.
(C) cắt trục hoành tại ba điểm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:
(x – 3)(x2 + 2) = 0 Û x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.
Biết đồ thị hàm số y = x3 + bx2 + cx + d đi qua điểm (2; −20) và có điểm cực đại (−1; 7). Tính giá trị của biểu thức P = b – 2c + d.
17.
−17.
5.
−5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có y' = 3x2 + 2bx + c.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 2 \right) = - 20\\y'\left( { - 1} \right) = 0\\y\left( { - 1} \right) = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b + 2c + d = - 28\\ - 2b + c = - 3\\b - c + d = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - 9\\d = 2\end{array} \right.\).
Khi đó P = b – 2c + d = −3 – 2‧(−9) + 2 = 17.
Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 4}}\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 5}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Thay x = 0 vào lần lượt các phương trình thì chỉ có phương án C có \(y = - \frac{1}{2} < 0\).
(0; 3).
\(\left( {2; - \frac{4}{3}} \right)\).
\(\left( {2;\frac{4}{3}} \right)\).
(2; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ các điểm trên vào hàm số ta thấy điểm \(\left( {2; - \frac{4}{3}} \right)\) thỏa mãn đồ thị hàm số.
Tiệm cận xiên của (C) là đường thẳng y = x + 1.
Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng x = 1.
(C) có 2 trục đối xứng.
Đồ thị hàm số (C) đi qua điểm A(2; 2024).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2024}}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{{2023}}{{x - 1}}\).
Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = 1.
Đồ thị (C) có đường tiệm cận xiên là y = x – 1.
Đồ thị (C) có 2 trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường tiệm cận.
Thay x = 2 vào hàm số ta được y = 2024.
Do đó (C) đi qua điểm M(2; 2024).
Cho hàm số y = x3 – 3x + 2.
Tập xác định của hàm số là (0; +∞).
Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (0; 2).
Hàm số đạt cực trị tại x = 0.
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Tập xác định D = ℝ.
b) Đúng. Thay x = 0 vào hàm số ta được y = 2.
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (0; 2).
c) Sai. Có y' = 3x2 – 3; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.
Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 1.
d) Đúng. Có y' = 0 Û x = 1 (vì x Î [0; 2]).
Có y(0) = 2; y(1) = 0; y(2) = 4.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] bằng 4.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x - 1\).
Hàm số có đạo hàm là y' = x2 + 3x + 4.
y' > 0 khi x Î (−∞; −2) È (−1; +∞).
Hàm số có bảng biến thiên là
Hàm số có đồ thị là
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Ta có y' = x2 + 3x + 2.
b) Đúng. y' > 0 Û x2 + 3x + 2 > 0 Û\(\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).
Vậy y' > 0 khi x Î (−∞; −2) È (−1; +∞).
c) Đúng. Bảng biến thiên
d) Sai. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; −1).
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C).
Đồ thị hàm số (C) nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số (C) nhận I(2; 3) là tâm đối xứng.
Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Oy có phương trình y = −5x – 3.
Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới 2 đường tiệm cận của nó luôn bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2\).
b) Sai. Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).
c) Đúng. Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).
Ta có \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) Û y = −5x – 3.
d) Sai. Gọi M(x0; y0) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\).
Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆1: x – 1 = 0 và ∆2: y – 2 = 0.
Khoảng cách từ M(x0; y0) tới ∆1: x – 1 = 0 là d1 = |x0 – 1|.
Khoảng cách từ M(x0; y0) tới ∆2: y – 2 = 0 là
\({d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).
Suy ra \[{d_1} \cdot {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| \cdot \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5\] .
Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ\{1}.
Hàm số đã cho có đạo hàm là \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\).
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.
Đồ thị hàm số (C)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ\{−1}.
b) Đúng. \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\).
c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = + \infty \).
Suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\).
Suy ra y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
d) Đúng. Đồ thị hàm số giao với Ox tại \(\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), giao với Oy tại (0; −2).
Hàm số có đạo hàm là \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
y' < 0 khi x Î (−1; 1).
Hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số có đồ thị là
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
b) Sai. Có y' < 0 Û x2 – 2x – 3 < 0 Û −1 < x < 3. Vậy y' < 0 khi x Î (−1; 3).
c) Đúng. Có y' = 0 Û x2 – 2x – 3 = 0 Û x = 3 hoặc x = −1.
Bảng biến thiên
d) Đúng. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 1) và (1; 3).
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (−1; −5) và đạt cực tiểu tại (3; 3).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận xiên là y = x – 2.
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox và giao với trục Oy tại (0; −6).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là (1; −1).
Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}}\) có tâm đối xứng là điểm I(c; d). Tính tỉ số \(\frac{c}{d}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,2
Có \(y = \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = 2x + 3 + \frac{{10}}{{x - 1}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{10}}{{x - 1}} = 0\).
Suy ra y = 2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = - \infty \).
Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x + 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;5} \right)\).
Do đó c = 1; d = 5. Vậy \(\frac{c}{d} = 0,2\).
Cho hàm số y = 2x3 – 4x2 – 14x + 2025 nghịch biến trên khoảng (a; b) với a; b là số hữu tỷ. Tính giá trị của 3b – 5a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Có y' = 6x2 – 8x – 14; y' = 0 Û 6x2 – 8x – 14 = 0 Û\(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{7}{3}\).
Có y' < 0 \( \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{7}{3}\).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{7}{3}} \right)\).
Từ đó a = −1; \(b = \frac{7}{3}\). Do đó 3b – 5a\( = 3 \cdot \frac{7}{3} - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 12\).
Biết hàm số f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Tính giá trị của biểu thức S = 2a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Có y' = 3x2 – 12x + 9; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.
Suy ra a = 1; b = 3.
Vậy S = 2‧1 + 3 = 5.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị là (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ và tung độ đều nguyên?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Gọi điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị (C) có hoành độ và tung độ đều nguyên với x0 ≠ 2.
Ta có \({y_0} = \frac{{ - {x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}} = \frac{{ - \left( {{x_0} - 2} \right) - 1}}{{{x_0} - 2}} = - 1 - \frac{1}{{{x_0} - 2}}\).
Vì y0 nguyên nên x0 – 2 Î Ư(1) = {−1; 1}.
Do đó x0 – 2 = −1 Þ x0 = 1 Þ y0 = 0.
x0 – 2 = 1 Þ x0 = 3 Þ y0 = −2.
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong \(y = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\). Hoành độ trung điểm của đoạn thẳng MN là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = x + 1\)Û 2x + 4 = x2 – 1
Û x2 – 2x – 5 = 0 Û\(x = 1 + \sqrt 6 \) hoặc \(x = 1 - \sqrt 6 \).
Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN là \(\frac{{1 + \sqrt 6 + 1 - \sqrt 6 }}{2} = 1\).
