Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

A

Theo định nghĩa: trong không gian, góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

A

Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

D

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD. Suy ra MN // CD.

Ta có MN // CD và BC ^ CD nên MN ^ BC.

B

Do (BD, A'C') = (BD, AC) = 90°. (Vì BD, AC là hai đường chéo của hình thoi).

C

Do I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC Þ IJ // AC.

Mà AC ^ BD (vì BD, AC là hai đường chéo của hình thoi).

Suy ra IJ ^ BD.

A

Do SA ^ BC Þ SA ^ AD nên tam giác SAD vuông tại A.

Vì BC // AD nên góc giữa BC với SD chính là góc giữa AD với SD.

Vì tam giác SAD vuông cân tại A nên \(\widehat {SAD} = 45^\circ \).

A

Ta có AB // CD nên (AB, SC) = (CD, SC) = \(\widehat {SCD}\).

Gọi M là trung điểm của CD. Tam giác SCM vuông tại M và có \(SC = a\sqrt 2 \), CM = a nên là tam giác vuông cân tại M nên \(\widehat {SCD} = 45^\circ \). Vậy (AB, SC) = 45°.

C

Ta có IJ // SB và CD // AB nên (IJ, CD) = (SB, AB) = \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a).

D

Ta có BD // B'D' nên (AC, B'D') = (AC, BD).

Gọi O = AC Ç BD.

Vì \(\widehat {CAD} = 40^\circ \)Þ\(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = 50^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 80^\circ \).

Vậy (AC, BD) = 80°.

C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).

Theo đề có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông cân tại A và H là trung điểm của BC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB ta có MN // AB và HN // SC.

Do đó góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN.

Xét tam giác MNH ta có \(MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HN = \frac{{SC}}{2} = \frac{a}{2};MH = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}\).

Do đó DMNH là tam giác đều Þ\(\widehat {MNH} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(SBD\) có \(MN\)là đường trung bình, suy ra \(MN//BD\). (1)

Mặt khác: \(AC \bot BD\)(hai đường chéo trong hình thoi).\((2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC \bot MN\) hay \((MN,AC) = 90^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

Vì \(CD//AB\) (hai cạnh đối trong hình thoi) nên \((CD,SA) = (AB,SA) = 90^\circ \).

Vậy \(SA \bot CD\).

Vì \(BC//AD\) (hai cạnh đối trong hình thoi) nên \((SD,BC) = (SD,AD)\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}}}&{ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 }\\{ \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ .}&{}\\{ \Rightarrow \,\,\,\,\,(SD,BC)}&{ = (SD,AD)}\\{}&{ = \widehat {SDA} = 60^\circ .}\end{array}\]

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác \(ABCD\), A'B'BA, B'C'CB đều là hình thoi.

\(AC \bot BD\) mà \(AC//A'C' \Rightarrow A'C' \bot BD\).

\(A'B \bot AB'\) mà \(AB'//DC' \Rightarrow A'B \bot DC'\).

\(BC' \bot B'C\) mà \(B'C//A'D \Rightarrow BC' \bot A'D\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Vì DSAB vuông cân tại S và SA = a nên SB = a và \(AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2}} = a\sqrt 2 \).

b) Vì DABC vuông cân tại C và AB = \(a\sqrt 2 \) nên AC = CB = a.

Xét DSBC có SB = BC = a và \(\widehat {BSC} = 60^\circ \) nên suy ra \(\Delta SBC\) đều.

c) MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB.

Do đó (AB, CM) = (MN, CM).

d) Ta có DSCA và DSCB là các tam giác đều cạnh a nên \(CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Có \(MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMN ta có \(\cos \widehat {CMN} = \frac{{M{C^2} + M{N^2} - C{N^2}}}{{2MC.MN}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

\( \Rightarrow \cos \left( {AB,CM} \right) = \cos \left( {MN,CM} \right) = \left| {\cos \widehat {CMN}} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có: \(BC'//AD'\) nên \(\left( {AD',B'C} \right) = \left( {BC',B'C} \right) = 90^\circ \).

Ta có: \(BC'//AD'\) nên \(\left( {AD',DC'} \right) = \left( {BC',DC'} \right) = \widehat {BC'D}\)

Ta có: \(\Delta BC'D\) đều nên \(\widehat {BC'D} = 60^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

Vì AB // DC nên (SA, DC) = (SA, AB) = 60° (do tam giác SAB đều).

Do đó sin(SA, DC) = sin60° ≈ 0,87.

Trả lời: 0,87.

Theo giả thiết A'B'C'D' là hình thoi nên (A'C', BD) = (A'C', B'D') = 90°.

Trả lời: 90.

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}&{ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a.}\end{array}\)

Xét tam giác \(SAC\), ta có:

\(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\left( {{\rm{do }}{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2} = {{(2a)}^2}} \right)\)

Suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\).

Vậy \((MN,SC) = (SA,SC) = 90^\circ \).

Trả lời: 90.

Gọi P là trung điểm của CD.

Ta có MP // AC và NP // BD.

Mà AC ^ BD nên MP ^ NP hay tam giác MNP vuông tại P.

Lại có \(MP = \frac{1}{2}AC = 3;NP = \frac{1}{2}BD = 4\).

Suy ra \(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Trả lời: 5.

Ta có (MN, MO) = \(\widehat {NMO}\).

Vì MN là đường trung bình của DSAB nên \(MN = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\).

MO là đường trung bình của DABD nên \(MO = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\).

NO là đường trung bình của DSBD nên \(NO = \frac{{SD}}{2} = \frac{a}{2}\).

Suy ra DMON là tam giác đều nên \(\alpha = \widehat {NMO} = 60^\circ \). Do đó \(\cos \alpha = 0,5\).

Trả lời: 0,5.