Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án

Hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0⇔a+1>0⇔a>−1.

Vậy a>−1.

Đường thẳng d có hệ số góc bằng -3 nên m−1=−3⇔m=−2.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;-1) nên −1=−3.1+n⇔n=2

Vậy m=−2,n=2.

Theo giả thiết (D) đi qua hai điểm  A(5;1) và B(-1;-1) nên ta có:

1=5a+b−1=−a+b⇔6a=2b=a−1⇔a=13b=−23

Thay vào phương trình của hàm số ta được: y=13x−23.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=13x−23.

Hàm số đồng biến trên ℝ⇔a>0⇔m2−m+2017>0, với mọi m.

⇔m−122+80674>0, với mọi m (luôn đúng).

Vậy với mọi giá trị của m thì hàm số luôn đồng biến trên R.

a) Khi m = 3 để điểm A(a;-4) thuộc đường thẳng (d) thì −4=2.a+3−1⇔a=−3.

Vậy a = -3

b) Đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N thì M1−m2;0 và N0;m−1 nên SMNO=12MO.NO=12m−1.1−m2

Mà SMNO=1⇔12m−1.1−m2=1⇔m−12=4⇔m=3m=−1

Vậy m=3,m=−1.

Bảng giá trị giữa x và y:

Đồ thị hàm số đã cho có dạng như hình vẽ.

a) Vẽ đồ thị hàm số y=3x+2

Đồ thị đi qua A0;2 và B−23;0

b) Ta có SOAB=12OA.OB=122.−23=23

Vậy SOAB=23.

a) Vẽ đồ thị P:y=x2

Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

b) Gọi phương trình đường thẳng d1 có dạng: y=ax+b.

Vì d1 song song với d nên ta có: a=4b≠9⇒d1:y=4x+b

Phương trình hoành độ giao điểm của P và d1 là:

 x2=4x+b⇔x2−4x−b=0 (*)

Vì d1 tiếp xúc với P nên (*) có nghiệm kép ⇔Δ'=0⇔4+b=0⇔b=−4 (thoản mãn).

Vậy phương trình đường thẳng d1 là: y=4x−4.

Giả sử Mx0;y0 là điểm cố định thuộc đường thẳng đã cho. Ta có:

m−1x0+m−2y0=1 với mọi m  ⇔mx0+y0−x0+2y0+1=0 với mọi m

⇔x0+y0=0x0+2y0+1=0⇔y0=−1x0=1

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm M1;−1 với mọi m.

Giả sử MxM;yM là điểm cố định mà đường thẳng d1 luôn đi qua. Ta có:

yM=−mxM+m+1 với mọi m ⇔m1−xM+1−yM=0 với mọi m

⇔1−xM=01−yM=0⇔xM=1yM=1

Vậy đường thẳng d1 luôn đi qua điểm M1;1 cố định.

Giả sử Nx0;y0 là giao điểm của d1 và d2. Khi đó:

y0=−mx0+m+1y0=1mx0−1−5m⇔y0−1=m1−x0    (1)y0+1=1mx0−5    (2)

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:

y0+1y0−1=1−x0x0−5⇔y02−1=−x02+6x0−5⇔x0−32+y02=5

Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có IN=x0−32+y02=5 không đổi.

Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính 5.

Tọa độ giao điểm của d1; d2 là nghiệm của hệ: y=x+2y=−2⇔x=−4y=−2

Do đó các đường thẳng trên đồng quy ⇔d3 đi qua điểm −4;−2

⇔−2=−4k+1+k⇔3k=−2⇔k=−23

Vậy k=−23 thì các đường thẳng đã cho đồng quy.

Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(-3;-1) có phương trình là y = ax + b.

Khi đó: 2a+b=4−3a+b=−1⇔a=1b=2

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua A và B là y=x+2d.

Mà C−2;1 không thuộc đường thẳng (d) vì 1≠−2+2 hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ngoài ra, ta có thể chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng bằng cách chứng minh AB khác BC + AC hoặc BC khác AB + AC hoặc AC khác AB + BC.

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là .

Khoảng cách giữa hai điểm B và C là .

Khoảng cách giữa hai điểm A và C là 

Ta có: BC+AC=5+5>52=AB. Tương tự, ta có BC khác AB + AC và AC khác AB + BC. Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn còn lại).

Để hai đường thẳng d1,d2 cắt nhau thì m1≠1−m⇔m2≠−1 luôn thỏa mãn với mọi m.

Tọa độ giao điểm M của d1,d2 là nghiệm của hệ phương trình:

mx+y=1x−my=m+6⇔y=1−mxx−m1−mx=m+6⇔y=1−mx1+m2x=2m+6⇔x=2m+61+m2y=−m2−6m+1m2+1

Vì M thuộc đường thẳng (d) nên:

2m+61+m2+2.−m2−6m+1m2+1=8⇔2m+6−2m2−12m+2=8m2+8⇔10m2+10m=0⇔10mm+1=0⇔m=0m=−1

Vậy với m = 0 hoặc m = -1 thì hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d).

a) Vì A, B thuộc (P) nên: yA=12xA2=12−12=12;yB=12xB2=12.22=2

Vậy A−1;12,B2;2.

Gọi phương trình đường thẳng (d) là: y=ax+b. Ta có hệ phương trình:−a+b=122a+b=2⇔3a=322a+b=2⇔a=12b=1Vậy d:y=12x+1

c)  (d) cắt Oy tại điểm C(0;1) và cắt trục Ox tại điểm D(-2;0).

Ta có: OC = 1 và OD = 2. Gọi h là khoảng cách từ O tới d.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông OCD

Ta có: 1h2=1OC2+1OD2=112+122=54⇒h=255

a) Cho x = 3 thì y = 3. Suy ra (d) cắt trục Oy tại điểm B(0;3)

Cho y = 0 thì x=31−mm≠1. Suy ra (d) cắt trục Ox tại điểm A31−m;0

Ta có: OA=31−m,OB=3. Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).

⇒1h2=1OA2+1OB2=1−m29+19=m2−2m+29

Theo giả thiết, h=2⇔h2=2⇔9m2−2m+2=2⇔2m2−4m−5=0⇔m=2±142

b) Ta thấy, khoảng cách từ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất ⇔m2−2m+2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: m2−2m+2=m−12+1≥1,∀m.

Đẳng thức xảy ra ⇔m=1

Vậy hmax=3⇔m=1

Điều kiện để hai đồ thị song song là −1=m2−2m+2≠3⇔m2=1m≠1⇔m=±1m≠1⇔m=−1

Vậy m = -1 thì hai đường thẳng đã cho song song.

Ta thấy hai đường thẳng d1;d2luôn cắt nhau:

+ Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(2;0)

+ Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm Bk−32;0

+ Để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì k−32=2⇔k=7.

Vậy k=7.

Với m≠−1 hai đồ thị cắt nhau tại điểm A−2m+1;2m+1−1

Ta có: P=y2+2x−3=2m+1−12+2−2m+1−3

Đặt t=2m+1 ta được P=t−12−2t−3=t2−4t−2=t−22−6≥−6

Đẳng thức xảy ra ⇔t=2⇒2m+1=2⇔m=0

Vậy m = 0 thì biểu thức P=y2+2x−3 đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Tọa độ giao điểm M của hai đồ thị hàm số trên là nghiệm của hệ phương trình:y=2x−1y=−12x+4⇔2x−y=112x+y=4⇔x=2y=3⇒M2;3

b) N=d∩Oy⇒N0;−1;P=d'∩Oy⇒P0;4

Gọi H là hình chiếu của M trên Oy.

Ta có MH=xM=2

Diện tích tam giác SMNP=12MH.NP=12.2.5=5 (đvdt).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P)và (d):

−x2=−6x+9⇔x2−6x+9=0⇔x=3

Thay x = 3 vào phương trình đường thẳng (d) ta được y = -9.

Vậy giao điểm của hai đồ thị là M(3;-9)

Xét phương trình: x2=x+2⇔x2−x−2=0⇔x=−1x=2

Thay x = -1 và x = 2 vào phương trình y = x + 2  ta lần lượt được y = 1 và y = 4.

Vậy A−1;1,B2;4. Suy ra D−1;0,C2;0.

Tứ giác ABCD là hình thang vuông nên có diện tích là:

SABCD=AD+BC.DC2=1+4.32=152

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2+x−6=0

Δ=25>0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2; x = -3

Với x = 2 thì y = 4, suy ra A(2;4).

Với x = -3 thì y = 9, suy ra B(-3;9).

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(2;4) và B(-3;9)

b) Gọi A',B' lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.

Ta có: SΔOAB=SAA'B'B−SΔOAA'−SΔOBB'

A'B'=xB'−xA'=xA'−xB'=5,AA'=yA=4,BB'=yB=9

Ta có: SAA'B'B=AA'+BB'2.A'B'=9+42.5=652 (đvdt)

SΔOAA'=12AA'.OA'=12.4.2=4 (đvdt)

SΔOBB'=12BB'.OB'=12.9.3=272 (đvdt)

Vậy diện tích tam giác OAB là: SΔOAB=SAA'B'B−SΔOAA'−SΔOBB'=652−4−272=15 (đvdt).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x2=2m−1x−m2+3m⇔x2−2m−1x+m2−3m=0  (1)

a) Với m=3 thì phương trình (1) trở thành: x2−4x=0⇔x=0x=4

Thay x=0,x=4 lần lượt vào phương trình của parabol P:y=x2 ta được y=0,y=16.

Vậy với m = 3 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A0;0,B4;16.

b) Để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng 74 thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt x1,x2 và thỏa mãn x1.x2=74.

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

⇔Δ'>0x1+x2>0x1x2>0⇔m−12−m2−3m>02m−1>0m2−3m>0⇔m+1>0m>1mm−3>0⇔m>1m>3⇔m>3*

Ta có: x1.x2=74⇔m2−3m=74⇔4m2−12m−7=0⇔m=72tháa  m·n  *m=−12kh«ng  tháa  m·n  *

Vậy m=72 là giá trị cần tìm.

a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x2=m+2x+3⇔x2−m+2x−3=0   (1)

Ta có: a=1≠0

Xét Δ=m+22+4.3=m+22+12>0,∀m∈ℝ (vì m+22≥0,∀m∈ℝ).

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy  (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: x1+x2=m+2x1x2=−3

Để x1,x2∈ℤ mà x1x2=−3 nên x1=−1x2=3 hoặc x1=3x2=−1 hoặc x1=−3x2=1 hoặc x1=1x2=−3

Suy ra x1+x2=2x1+x2=−2⇔m+2=2m+2=−2⇔m=0m=−4

Vậy với m = 0 hoặc m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

a) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm:

x2+2mx+4m=0 có hai nghiệm phân biệt

⇔Δ'>0⇔m2−4m>0⇔mm−4>0⇔m>4m<0

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−2mx1x2=4m

+ Xét m > 4 thì x1x2=4m>0, do đó:

x1+x2=3⇔x1+x2=3⇔−2m=3⇔2m=3⇔m=32 (loại vì m > 4)

+ Xét m < 0 thì x1x2=4m<0, do đó:  x1+x2=3⇔x1−x2=3

⇔2m2−4m=3⇔4m2−16m−9=0⇔m=92lo¹i  v×  m<0  m=−12(tháa   m·n)

Vậy m=−12

Đáp số: a=−45,b=−25

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x2=−x+2⇔x2+x−2=0⇔x+2x−1=0⇔x=−2⇒y=4x=1⇒y=1

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là −2;4,1;1.

(P) đi qua điểm A(3;-3) nên ta có −3=32.a⇔a=−13

Vậy P=−13x2

a) HS tự vẽ hình.

b) Đáp số: m<2

Ta thấy hai đường thẳng d1;d2 luôn cắt nhau:

+ Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(3;0).

+ Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm B(k-2;0).

+ Để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì k−2=3⇔k=5.

Vậy k = 5.

Để hàm số bậc nhất y=m−2x+3 đồng biến trên R thì m−2>0⇔m>2.

Tọa độ I là nghiệm của hệ y=2x+5y=−4x+1⇔x=−23y=113

Do d3 đi qua điểm I nên 113=−23m+1+2m−1⇔m=4

a) Để đường thẳng dm vuông góc với đường thẳng d thì

1−mm+2.14=−1⇔4m+8+1−m=0m≠2⇔m=−3

b) Để hàm số y=1−mm+2x+1−mm+2 đồng biến thì 1−mm+2>0⇔−2<m<1

a) Ta có y = mx + 1 đi qua A(1;4) khi và chỉ khi 4 = m + 1 <=> m = 3.

Khi đó đường thẳng y = 3x + 1 đồng biến trên R.

b) Ta có x+y+3=0⇔y=−x−3, đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) khi m=−11≠−3

Vậy m=−1

Ta có A2a;0; B0;−2, để OB=2OA⇔4=4.4a2⇔a2=4⇒a=2

a) HS tự vẽ.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 12x2−14x−32=0⇔x=2x=−32

Giao điểm của (d) và (P) là A2;2,B−32;98. Vậy T=x1+x2y1+y2=2+−322+98=425

a) HS tự làm.

b) Giao điểm của (d) và (P) là A−2;2,B4;8

Gọi Mm;0 thuộc tia Oxm>0. Gọi C−2;0,D4;0 lần lượt là hình chiếu của A và B trên Ox.

Xét hai trường hợp:Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có: SAMB=SABDC−SACM−SBDMCó ABDC là hình thang, AC=2cm,BD=8cm,CD=6cm⇒SABDC=30cm2

Suy ra SAMB<30cm2 (loại)

Trường hợp 2: M thuộc tia DxM≠D⇒m>4

Ta có: SAMB=SABDC−SACM+SBDM

SABDC=30cm2SACM=12AC.CM=12.2.m+2=m+2cm2SBDM=12BD.DM=12.8.m−4=4m−4cm2⇒SAMB=30cm2⇔SACM=SBDM⇔m+2=4m−4⇔m=6

Vậy M6;0

a) Phương trình hoành độ giao điểm: x2−2m−1x+m−2=0*

Ta có: Δ=4m2−8m+9=4m−12+5≥5>0 với mọi m.

Vậy parabol luôn cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

b) Vì x1,x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=2m−1x1x2=m−2

Mặt khác y1=x12y2=x22

Ta có: x1y1+x2y2=0⇔x13+x23=0⇔x1+x2x12−x1x2+x22=0

⇔x1+x2=0x12−x1x2+x22=0⇔2m−1=0x1+x22−3x1x2=0⇔m=124m2−7m+7=0⇔m=12

Vậy m=12.

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 12x2=x+m⇔x2−2x−2m=01

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ'>0⇔1+2m>0⇔m>−12

c) Giả sử Ax1;y1,Bx2;y2, với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét có: x1+x2=2x1x2=−2m

Ta có: y1=x1+m;y2=x2+m

Theo giả thiết: AB=62⇔x1−x22+y1−y22=62⇔2x1−x22=62

⇔4+8m=36⇔m=4 (thỏa mãn).

⇔x1−x22=6⇔x12−2x1x2+x22=36⇔x1+x22−4x1x2=36

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x2=2m−1x−2m+2⇔x2−2m−1x+2m−2=0 (1)

Nhận thấy a+b+c=1+−2m−1+2m−2=0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x1=1; x2=2m−2.

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔x1≠x2⇔1≠2m−2⇔m≠32*

Để x1<32<x2 thì x2=2m−2>32⇔m>74

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra m>74.