Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án

Điều kiện: x≥0y≥01+xy≠0⇔x≥0y≥0Với x≥0,  y≥0 ta có: M=xy−y−yx+x1+xy=xy−yx+x−y1+xy=xyx−y+x−y1+xy=x−y1+xy1+xy=x−yVậy M=x−y với x≥0,  y≥0

Điều kiện: x≥0x−1≠0x−1≠0x+1≠0⇔x≥0x≠1 

Với x≥0,  x≠1 ta có: N=1x−1−xx−1x+1.x+1=x+1−xx−1x+1.x+1=1x−1x+1.x+1=1x−1

Vậy N=1x−1 với x≥0,  x≠1.

Điều kiện: x≥0x−9≠0x+3≠0⇔x≥0x≠9 

Với x≥0,  x≠9 ta có:

P=x+1(x +3)(x -3)−1x+3x−3=x+1x+3x−3−x−3x+3x−3x−3=x+1−x−3x+3x−3.x−3=4x+3

Vậy P=4x+3 với x≥0,  x≠9.

Để Q có nghĩa, điều kiện là: x≥0x−x−2≠0x−2≠0x+1≠0⇔x≥0x≠2⇔x≥0x≠4 

Với điều kiện trên ta có: 

Q=x−1x−x−2−xx+1+2x−1x−2=x−11x+1x−2−xx+1+2x−1x−2=x−11−xx−2+2x−1x+1x+1x−2=x−11−x−2x+2x+x−1x+1x−2=x+4x−12x+1x−2=x−2x+6x+1x−2=x+6x+1

Vậy Q=x+6x+1 với x≥0 và x≠4.

Thay x = 9 vào A ta được: A=9+19−1=3+13−1=42=2 

Vậy A = 2 khi x = 9.

Với x≥0,  x≠4 ta có:

A=2x−3x−2x−2=2x−4x+x−2x−2=2xx−2+x−2x−2=x−22x+1x−2=2x+1

Khi x=4−23=32−2.3.1+12=3−12 

⇒x=3−1, thay vào A ta được:

A=2x+1=23−12+1=23−1+1=23−1 

Vậy x=4−23 thì A=23−1.

Ta thấy x=4−23 có thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A.

a) Với x≥0,  x≠1 ta có:

B=2+xx−1x+1x−1+2−xx+1x+1x−1=x+x−2+−x+x+2x−1=2xx−1

Vậy B=2xx−1 với x≥0,  x≠1.

b) Ta có: x=17+122=9+2.3.22+8=3+222=3+22 (thỏa mãn điều kiện x≥0,  x≠1).

x=3+22=2+2.2.1+1=2+12=2+1 

Thay x=2+1 vào B ta được: B=22+13+22−1=22+121+2=1 

Vậy x=17+122 thì B = 1.

Với x≠1;  x≥0 ta có:

C=x3+1x+1x−1−x−1x+1=x3+1x+1x−1−x+1x−1x+1=x+1x−x+1x+1x−1−x+1x−1x+1=x−x+1x−1−x−1=x−x+1−x−12x−1=x−x+1−x−2x+1x−1=xx−1

Vậy C=xx−1 với x≠1;  x≥0.

Suy ra C−1=x−x−1x−1=1x−1

Ta có x=2020+22019 (thỏa mãn điều kiện x≠1,  x≥0).

Có x=2019+22019+1=20192+2.2019.1+12=2019+12⇒x=2019+1

Thay vào biểu thức C - 1 ta được : C−1=12019+1−1=12019

Vậy C−1=12019 khi x=2020+22019.

Với x > 0 và x≠1ta có:

VT=xx−1−1x−x=xx−1−1xx−1=xx−1xx−1=x−1xx−1=x−1x+1xx−1=x+1x

Vậy với với x > 0 và x≠1 thì xx−1−1x−x=x+1x.

Với x > 0 và x≠4ta có:

P=x+1x−2−2x−4.x−1+x−4x=x+1x+2x−4−2x−4.x−1xx+x−4x=x+2x+x+2−2x−4.x−x+x−4x=x+3xx−4.x−4x=xx+3x=x+3

Vậy P=x+3 với mọi x>0,  x≠4.

a) Với a>0,  a≠1 ta có:

P=1a−1+3a+5aa−1−a−1.(a+2a+1)−4a4a=1a−1+3a+5a−1a−1.a−2a+14a=a−1+3a+5a−1a−1.a−124a=4a+4a−1a−1.a−124a=4a+4a−1.a−14a=4a+1a+1a−1.a−14a=1a

b) Ta có: Q=a−a+1P=a−a+1a

Xét Q−1=a−a+1a−1=a−a+1−aa=a−2a+1a=a−12a 

Vì a−12>0 và a>0,  ∀a>0,  a≠1 nên Q−1>0⇒Q>1 

Vậy Q > 1 với mọi a>0,  a≠1.

Với x≥0,  x≠1 ta có:

B=x−1x−2−x+2x+1:3x+1=x−1x+1−x+2x−2x−2x+1.x+13=x−1−x+4x−2x+1.x+13=3x−2x+1.x+13=1x−2⇒P=18A.B=18x−1x+2=18−54x+2

Vì x≥0⇒x+2≥2⇒54x+2≤542=27 nên P=18−54x+2≥18−27=−9

Hay P≥−9,  ∀x≥0 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 

Vậy minP = -9 khi x = 0.

Với x≥0,  x≠1 ta có:

A=11−x+x+2xx−1+xx+x+1:x−13=−x+x+1+x+2+xx−1x−1x+x+1.3x−1=3x−12x−12x+x+1=3x+x+1

Vậy A=3x+x+1 với x≥0,  x≠1

A đạt giá trị lớn nhất ⇔x+x+1 đạt giá trị nhỏ nhất

Vì x≥0 nên x+x+1≥1⇒A=3x+x+1≤3 

Đẳng thức xảy ra <=> x = 0. Vậy maxA = 3 khi x = 0.

Ta thấy A có dạng A=mpx (với m là hằng số dương, p(x) là một biểu thức chứa biến x), do vậy áp dụng phương pháp 2.

Với x>0,  x≠4 ta có:

Q=x−1x+2+5x−2x−4=x−1x−2+5x−2x−4=x−3x+2+5x−2x−4=x+2xx−4=xx+2x+2x−2=xx−2

⇒PQ=x+3x=x+3x≥23  (Do bất đẳng thức Cô-si).

Đẳng thức xảy ra khi x=3x⇔x=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ là 23 khi x = 3.

Điều kiện: x≥0,  x≠9.

a) Với x≥0,  x≠9 ta có:

P=3x+2x+1−2x−33−x−33x−5(x+1)(x−3)=3x+23−x+2x−3x+1−33x−5(x+1)(x−3)=3x−9x+2x−6+2x+2x−3x−3−9x+15x+1x−3=5x−17x+6x+1x−3=5x−15x−2x+6x+1x−3=x−35x−2x+1x−3=5x−2x+1

Vậy P=5x−2x+1 với x≥0,  x≠9

.

b) Ta có P=5x−2x+1=5x+5−7x+1=5−7x+1      

Vì 7x+1>0 nên P có giá trị nhỏ nhất ⇔7x+1 lớn nhất ⇔x+1 nhỏ nhất <=> x = 0 

Khi đó minP = 5 - 7 = -2 

Vậy minP = -2 khi x = 0.

Với x≥0,  x≠14,  x≠1,  x≠4 ta có:

P=x−4x−3x+2+1:12x−3x+1=x−2x+2x−1x−2+1.x−12x−1=x+2x−1+1x−12x−1=x+2+x−12x−1=4x−1

Vậy P = 4x - 1 với x≥0,  x≠14,  x≠1,  x≠4.

b) Xét T=P+10x=4x−1+10x=2x5+10x+10x5−1

Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có: 2x5+10x≥22x5.10x=4 

Đẳng thức xảy ra ⇔2x5=10x⇔x=5 (do x≥0).

Lại có: 18x5≥18 (vì x≥5 ) nên T≥4+18−1=21 

Vậy minT = 21 khi x = 5.

a) Điều kiện: x>0,  x≠1.

A=xx−1x−x−xx+1x+x:x−2x+1x−1=x−1x+x+1xx−1−x+1x−x+1xx+1:x−12x−1x+1=x+x+1−x+x−1x.x+1x−1=2x+1x−1

Vậy A=2x+1x−1 với x>0,  x≠1.

b) A>A⇔A<0⇔2x+1x−1<0⇔x−1<0⇔x<1

Kết hợp với điều kiện ta được 0 < x < 1 thì A>A.

c) Ta có: A=2x+1x−1=2+4x−1 

Để A nguyên thì x−1∈U4 hay x−1∈−1;1;−2;2;−4;4

Ta có bảng sau:

Vậy x∈4;9;25.

Điều kiện: x>0,  x≠4,  x≠9.

a) Với x>0,  x≠4,  x≠9 ta có:

B=x+1x−2−2xx+2+5x+2(2+x)(2−x):x3−xx+22=x+1x+2−2xx−2−5x+2x−2x+2.x+22x3−x=x+2x+x+2−2x+4x−5x−2x−2x+2.x+22x3−x=−x+2xx−2.x+2x3−x=x2−xx−2.x+2x3−x=x+2x−3

Vậy B=x+2x−3 với x>0,  x≠4,  x≠9.

b) B=2⇔x+2x−3=2⇔x+2=2x−6⇔x=8⇔x=64 (thỏa mãn điều kiện)

c) B<0⇔x+2x−3<0⇔x−3<0 (vì x+2>0)

⇔x<3⇔x<9. Kết hợp với điều kiện ta được 0 < x < 9 và x≠4.

a) Với x > 0, x≠4 ta có:

P=xxx−4x−63x−6+1x+2:x−2+10−xx+2=xxx−4−63x−2+1x+2:x−4+10−xx+2=xx−2x+2−2x−2+1x+2.x+26=x−2x+2+x−2x−2x+2.x+26=−6x−2x+2.x+26=−1x−2

Vậy P=−1x−2 với x > 0, x≠4.

b) Với x>0,  x≠4 ta có Q=−x−1.P=−x−1.−1x−2=x+1x−2=1+3x−2

Để Q nguyên thì 3x−2∈ℤ ⇔x−2∈Ư4 hay x−2∈−1;1;−3;3

Ta có bảng:

Vậy x∈1;9;25 thì Q nhận giá trị nguyên.

a) Ta có: 

B=x+3x+4+5x+12x−16=x+3x−4x+4x−4+5x+12x+4x−4=x−x−12+5x+12x+4x−4=x+4xx+4x−4=xx−4

Vậy B=xx−4 với x≥0,  x≠16.

b) ta có: 

AB=m+1⇔x+3x−4:xx−4=m+1⇔x+3x=m+1⇔x+3−xm+1x=0⇔−mx+3x=0 

Để phương trình AB=m+1 có nghiệm thì phương trình −mx+3x=0 có nghiệm, tức là:

−mx+3x=0 có nghiệm ⇔x>0−mx+3=0x≠16⇔x>0x=3mx≠16⇔3m>03m≠4⇔m>0m≠34 

Vậy m>0, m≠34 thì phương trình AB=m+1 có nghiệm.

B=x−xx−1−x+1x+x:x+1x=(x−1x):x+1x=x−1x.xx+1=x−1

Với x=12+82 thay vào B ta được:

B=12+82−1=2+222−1=2+22−1=1+22

a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A=25+25+125−4=31.

b) B=x−1x−2−5x−82x−x=x−1x−2−5x−8xx−2=xx−1−5x−8xx−2

=x−x−5x+8xx−2=x−6x+8xx−2=x−2x−4xx−2=x−4x

c) Ta có: P=A.B=x+x+1x−4.x−4x=x+x+1x 

Xét P−2=x+x+1x−2=x−x+1x=x−122+34x>0, ∀x>0 

Vậy P > 0 với x>0,  x≠4,  x≠16.

a) Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A=16+316+3=197.

b) B=x+3x−2x−3x+3−1x+3.x−3x+1=x+3x−2−x−3x−3x+3.x−3x+1

=x+2x+1x−3x+3.x−3x+1=x+12x−3x+3.x−3x+1=x+1x+3

c) Ta có: P=AB=x+3x+3:x+1x+3=x+3x+1=x+1+4x+1−2 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x+1>0 và 4x+1>0 ta được:

=x+1+4x+1−2≥2x+1.4x+1−2=2⇒P≥2 

Đẳng thức xảy ra ⇔x+1=4x+1⇔x=1 (thỏa mãn)

Vậy minP = 2 khi m = 1.

a) Ta có: P=xx+3−2x+12x−9.x+5x−8=xx+3−2x+12x+3x−3.x+5x−8

=xx−3−2x−24x+3x−3.x+5x−8=x−5x−24x+3x−3.x+5x−8=x+3x−8x+3x−3.x+5x−8=x+5x−3

Vậy P=x+5x−3 với x≥0,  x≠9,  x≠64.

b) Ta có P≤1⇔x+5x−3≤1⇔x+5x−3−1≤0⇔8x−3≤0⇔x−3<0⇔x<9 

Kết hợp với điều kiện 0≤x<9 và x≠64 

Vậy với 0≤x<9 và x≠64 thì P≤1.

a) Thay x=169 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A có: A=169−1169+3=13:133=113.

Vậy A=113 khi x=169.

b) Ta có: B=1x+3+xx−1−4xx+2x−3=1x+3+xx−1−4xx+3x−1

=x−1+xx+3−4xx+3x−1=x−1x+3x−1=x+1x+3 

Vậy B=x+1x+3 với x≥0,  x≠1.

c) Ta có: A−1B=x−1x+3−1:x+1x+3=x−1−x−3x+3.x+3x+1=−4x+1

Khi đó: A−1B≤−12⇔−4x+1+12≤0⇔x−72x+1≤0⇔x−7≤0⇔0≤x≤49 

(vì 2x+1>0).

Rút gọn được biểu thức A=x+2x+1 với x≥0, x≠1.

Ta có: VT=A=x+2x+1=1+1x+1≤1+10+1=2 (vì x≥0)

Vì x≥0 nên AVP=x2017+x2018+2≥2. Do đó VT= VP = 2. Vậy x = 0.

a) Ta có: x=7+43=2+32⇒x=2+3 , thay vào A ta được: A=2+3

b) HS tự rút gọn biểu thức B.

c) BA<−1⇔x<2. Tìm x và đối chiếu với điều kiện ta được 0≤x<4.

a) Đáp số: A=xx−x+1 với x≥0, x≠4, x≠9.

DKXD: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9

P=2x−9x−5x+6−x+3x−2+2x+1x−3

=2x−9−x+3x−3+2x+1x−2x−2x−3

=2x−9−x+9+2x−3x−2x−2x−3

=x−x−2x−2x−3

=x+1x−2x−2x−3=x+1x−3

b) Ta có: x=3+22+11−62+12=1+22+3−22+12=16

Thay x = 16 vào A ta được: A=413.

c) Khi x = 0 thì A = 0 

Khi x≥0, x≠4, x≠9 ta có: A=xx−x+1=xx−1+1x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x+1x≥2⇔x+1x−1≥1⇔1x+1x−1≤1⇔A≤1 

Đẳng thức xảy ra ⇔x=1x⇔x=1 (thỏa mãn).

Vậy maxA = 1 khi x = 1.

a) a=713.

b) HS tự rút gọn biểu thức B.

c) Ta có: P=A.B=7x+8.x+8x+3=7x+3 

Để P nhận giá trị nguyên thì x+3∈U7 hay x+3∈−1;1;−7;7⇔x∈14;16.

a) Rút gọn được biểu thức P=x+12x>0, ∀x>0, x≠1.

b) Ta có x=22+3=22−32+32−3=4−23=3−12⇒x=3−1 

Do đó P=3−1+123−1=33−1=33+12 

c) Điều kiện: x≥4.

Ta có: Px=6x−3−x−4 

⇔x+12x.x=6x−3−x−4⇔x+2x+1−6x+3+x−4=0⇔x−4x+4+x−4=0⇔x−22+x−4=0⇔x−22=0x−4=0⇔x=4