Trắc nghiệm Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 (có đáp án - phần 1)
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;6;2} \right)\). Vectơ \(\frac{3}{2}\overrightarrow a \) có tọa độ là
\(\left( { - 6;9;6} \right).\)
\(\left( { - 3;9;3} \right).\)
\(\left( {6;9;6} \right).\)
\(\left( { - 3;6;3} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{3}{2}\overrightarrow a \) = \(\frac{3}{2}\left( { - 2;6;2} \right) = \left( {\frac{3}{2}.\left( { - 2} \right);\frac{3}{2}.6;\frac{3}{2}.2} \right) = \left( { - 3;9;3} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(N\left( {1;0;4} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) là
\(\left( {1; - 1;3} \right).\)
\(\left( {0;2;2} \right).\)
\(\left( {2; - 2;6} \right).\)
\(\left( {1;0;3} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(MN\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\y = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\z = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(I\left( {1; - 1;3} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;3} \right)\). Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \) ?
\(\overrightarrow a = \left( {2;4;6} \right).\)
\(\overrightarrow b = \left( { - 3;6; - 9} \right).\)
\(\overrightarrow c = \left( {\frac{1}{2}; - 2;\frac{3}{2}} \right).\)
\(\overrightarrow d = \left( { - 1; - 2; - 3} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Xét các đáp án, ta thấy: \(\overrightarrow b = \left( { - 3;6; - 9} \right) = - 3\left( {1; - 2;3} \right) = - 3\overrightarrow u \).
Suy ra \(\overrightarrow u = - 3\overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow b \) cùng phương.
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;2; - 5} \right)\), \(B\left( {1;2;4} \right)\), \(C\left( {2;5; - 2} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là
\(\left( {6;9 - 3} \right).\)
\(\left( {2;3; - 1} \right).\)
\(\left( {2;3;1} \right).\)
\(\left( {6;9;3} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Gọi tọa độ điểm \(G\left( {x;y;z} \right)\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + 1 + 2}}{3} = 2\\y = \frac{{2 + 2 + 5}}{3} = 3\\z = \frac{{ - 5 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = - 1\end{array} \right.\) ⇒ \(G\left( {2;3; - 1} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {4;5;6} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là
\(\left( {5;7;9} \right).\)
\(\left( {3;7;9} \right).\)
\(\left( {5;3;9} \right).\)
\(\left( {3;5;9} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) = \(\left( {1 + 4;2 + 5;3 + 6} \right) = \left( {5;7;9} \right)\).
II. Thông hiểu
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4; - 5;6} \right)\). Vectơ \(2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v \) cùng phương với vectơ nào?
\(\overrightarrow c = \left( {4; - 10;18} \right).\)
\(\overrightarrow c = \left( { - 10;19; - 12} \right).\)
\(\overrightarrow c = \left( { - 10; - 11; - 12} \right).\)
\(\overrightarrow c = \left( { - 4; - 10;18} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2\overrightarrow u = \left( {2;4;6} \right)\), \(3\overrightarrow v = \left( {12; - 15;18} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v = \left( { - 10;19; - 12} \right).\)
Do đó chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0;2;1} \right)\) và \(B\left( {3; - 2;1} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
\(5.\)
\(3.\)
\(9.\)
\(25.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;0} \right)\).
Do đó \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 5\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {1;1;0} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) là
\(\left( {5;3; - 9} \right).\)
\(\left( {1; - 2;1} \right)\)
\(\left( { - 3; - 7; - 9} \right).\)
\(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c + \overrightarrow 0 \).
Có: \(\overrightarrow a = \left( {3;0;1} \right)\), \(2\overrightarrow c = \left( {2;2;0} \right)\), \(\overrightarrow 0 = \left( {0;0;0} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c + \overrightarrow 0 = \left( {1; - 2;1} \right)\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right)\), \(B\left( {1;2;0} \right)\), \(\left( {m;n;0} \right)\). Giá trị \(m,n\) sao cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng:
\(m = 1,n = 1.\)
\(m = 1,n = 2.\)
\(m = 2,n = 1.\)
\(m = 2,n = 2.\)
Đáp án đúng là: B
Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {m;n - 1;1} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1.k\\n - 1 = 1.k\\1 = 1.k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\m = 1\\n = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(m = 1,n = 2.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1 - 1;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0; - 1;0} \right)\). Góc giữa hai vectơ này là:
\(60^\circ.\)
\(30^\circ.\)
\(45^\circ.\)
\(90^\circ.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 1.0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\overrightarrow b \) bằng
\(12.\)
\(13.\)
\(11.\)
\(10.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\overrightarrow b \) = \( - 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 5.2\) = 11.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(G\left( {1; - 2;3} \right)\) và ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\). Biết \(G\) là trọng tâm của của tam giác \(ABC\) thì \(a + b + c\) bằng
\(3.\)
\(9.\)
\(6.\)
\(0.\)
Đáp án đúng là: C
Theo đề, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1\\\frac{{0 + b + 0}}{3} = - 2\\\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 6\\c = 9\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b + c = 6\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(M\left( {2; - 3; - 1} \right)\), \(N\left( {0;3;1} \right)\), \(P\left( {1;m - 1;2} \right)\). Với giá trị nào của \(m\) thì tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\)?
\(m = 2.\)
\(m = 3.\)
\(m = 4.\)
\(m = - 4.\)
Đáp án đúng là: C
Để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\) thì \(\overrightarrow {NP} .\overrightarrow {NM} = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \left( {1;m - 4;1} \right),\overrightarrow {NM} = \left( {2; - 6; - 2} \right)\).
Do đó, \(1.2 + \left( {m - 4} \right).\left( { - 6} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 0\) ⇒ \(m = 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1; - 2;3} \right)\), \(B\left( {0;3;1} \right)\), \(C\left( {4;2;2} \right)\). Giá trị \(\cos \left( {\widehat {BAC}} \right)\) bằng
\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}.\)
\( - \frac{9}{{\sqrt {35} }}.\)
\( - \frac{9}{{2\sqrt {35} }}.\)
\(\frac{9}{{\sqrt {35} }}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.5 + 5.4 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \)\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\), \(B\left( {1;1;3} \right)\), \(C\left( {4; - 2;3} \right)\).
Khi đó:
a) Tọa độ trung điểm \(BC\) là \(\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(3\sqrt 2 \).
c) Côsin \(\widehat {BAC}\) bằng \(\frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}\).
d) Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\). Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Đáp án đúng là: C
a) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\\y = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\z = \frac{{3 + 3}}{2} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
Vậy a đúng.
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3;0} \right)\) ⇒ \(BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2 \) suy ra b đúng.
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5; - 2} \right)\).
Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)
\( = \frac{{0.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}.\)
Vậy ý c đúng.
d) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x = 0\\ - 2 - y = - 2\\3 - z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\\z = 5\end{array} \right.\) ⇒ \(D\left( {4;0;5} \right)\).
Gọi \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\b = \frac{{3 + 1 + 0}}{3} = \frac{4}{2}\\c = \frac{{5 + 3 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\) ⇒ \(G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Tọa độ hình chiếu của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {0;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian \(Oxyz\), một đội gồm ba drone giao hàng \(A,B,C\) đang có tọa độ là \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {5;7;9} \right)\), \(C\left( {9;11;4} \right)\). Gọi \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt là khoảng cách của mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính \({d_1} + {d_2} + {d_3}\). (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
\(31.\)
\(32.\)
\(25\).
\(5\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({d_1} = AB = \sqrt {{{\left( {1 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {1 - 9} \right)}^2}} = 2\sqrt {29} \);
\({d_2} = BC = \sqrt {{{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {7 - 11} \right)}^2} + {{\left( {9 - 4} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {57} \);
\({d_3} = AC = \sqrt {{{\left( {1 - 9} \right)}^2} + {{\left( {1 - 11} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {173} \).
Vậy \({d_1} + {d_2} + {d_3} = 2\sqrt {29} + \sqrt {57} + \sqrt {173} \) ≈ 31.
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị \(a + b + 2c\) bằng
\(4.\)
\(3.\)
\(\frac{{20}}{5}\).
\(5.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \).
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;8;2} \right)\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {2^2}} = 2\sqrt {26} \).
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\), theo tính chất phân giác ta có:
\(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DA = \frac{1}{2}DC \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).
Có: \(\overrightarrow {DA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - \frac{1}{2}\left( { - 4 - x} \right)\\2 - y = - \frac{1}{2}\left( {7 - y} \right)\\ - 1 - z = - \frac{1}{2}\left( {5 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(D\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\) \( \Rightarrow a + b + 2c = 5.\)
Trong không gian \(Oxyz\). Cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tọa độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}\).
\(D\left( {8;7; - 1} \right).\)
\(\left[ \begin{array}{l}D\left( { - 8; - 7;1} \right)\\D\left( {12;1; - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left[ \begin{array}{l}D\left( {8;7; - 1} \right)\\D\left( { - 12; - 1;3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left( { - 12; - 1;3} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).d\left( {A,BC} \right)\) \( \Leftrightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).\frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}}.\)
\( \Leftrightarrow 3{S_{ABC}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).{S_{ABC}}}}{{BC}} \Leftrightarrow 3BC = AD + BC \Leftrightarrow AD = 2BC\).
Mà \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) nên \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;1} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} + 2;{y_D} - 3;{z_D} - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = - 10\\{y_D} - 3 = - 4\\{z_D} - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 12\\{y_D} = - 1\\{z_D} = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( { - 12; - 1;3} \right)\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. chiếc thứ hai mằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 m. Chọn hệ trục \(Oxyz\) với O là gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \[Oy\] hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.
Khi đó:
a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là \(\left( {2;1;0,5} \right)\).
b) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ hai là \(\left( { - 1,5; - 1;0,8} \right)\).
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng \(\sqrt {21} \) km.
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Đáp án đúng là: B
a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \(\left( {2;1;0,5} \right)\) nên ý a đúng.
b) Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(\left( { - 1; - 1,5;0,8} \right)\) nên ý b sai.
c)Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất
\(\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\) (km).
Do đó, ý c sai.
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là
\(\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1,5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0,8 - 0,5} \right)}^2}} = \sqrt {15,34} = 3,92\) (km).
Do đó, ý d đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\). Ba đỉnh \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {2;0; - 1} \right)\), \(C\left( {6;1;0} \right)\). Hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \). Giả sử đỉnh \(D\left( {a;b;c} \right)\), tìm mệnh đề đúng.
\(a + b + c = 6.\)
\(a + b + c = 5.\)
\(a + b + c = 8.\)
\(a + b + c = 7.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\);
\(\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}} = 3\sqrt 2 \).
Theo giả thiết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) và có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \) nên
\(\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow AD = \sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC\).
Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = \frac{4}{3}\\b - 2 = \frac{1}{3}\\c - 1 = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = \frac{7}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6\).
