Trắc nghiệm Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 7 }}{{\sqrt 7 .\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {27} }}{7}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\sqrt {96} = \sqrt {16 \cdot 6} = \sqrt {16} \cdot \sqrt 6 = 4\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[3\sqrt {11} = \sqrt {{3^2}.11} = \sqrt {9.11} = \sqrt {99} \].

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sqrt {{A^2}B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \left| A \right|\sqrt B = - A\sqrt B \) (do \(A < 0\)).

Đáp án đúng là: C

Với hai số \(a,b\) không âm thì \(a\sqrt b = \sqrt {{a^2}b} \) nên khẳng định C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sqrt {200\sqrt 3 - 100} \)

\( = \sqrt {100.2\sqrt 3 - 100} \)

\( = \sqrt {100.\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)} \)

\( = \sqrt {100} .\sqrt {2\sqrt 3 - 1} \)

\( = 10\sqrt {2\sqrt 3 - 1} \).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\frac{{x + \sqrt 5 }}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {x + \sqrt 5 } \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \cdot \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {x + \sqrt 5 } \right)}}{x}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\sqrt {128{a^4}{b^4}} - 5{b^2}\)

\( = \sqrt {2.64{a^4}{b^4}} - 5{b^2}\)

\( = \sqrt {2.{{\left( {8{a^2}{b^2}} \right)}^2}} - 5{b^2}\)

\( = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {8{a^2}{b^2}} \right)}^2}} - 5{b^2}\)

\( = \sqrt 2 .8{a^2}{b^2} - 5{b^2}\)

\( = {b^2}\left( {8\sqrt 2 {a^2} - 5} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(3\sqrt 5 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)

\( = 3\sqrt 5 - \sqrt {{1^2} - 2.1.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \)

\( = 3\sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

\( = 3\sqrt 5 - \left| {1 - \sqrt 5 } \right|\)

\( = 3\sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)

\( = 2\sqrt 5 + 1\).

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 4\).

Ta có \(\frac{1}{{2 + \sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{2 - \sqrt x - \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

\( = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\)\( = - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}\).

a) Sai.

Với mọi \(x \ge 0\), ta có điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là:

• \(x + 2\sqrt x - 3 \ne 0\) hay \(\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng) và \(\sqrt x - 1 \ne 0\).

Do đó \(x \ne 1\).

• \(\sqrt x - 1 \ne 0\) suy ra \(x \ne 1\).

• \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng với \(x \ge 0\)).

Vậy điều kiện xác định của \(A\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

b) Đúng.

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\), ta có:

\(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\)

\( = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

c) Đúng.

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x  + 3\) là Ư(19).

d) Sai.

Mà Ư(19)\( = \left\{ {1;\,\,19;\,\, - 1;\,\, - 19} \right\}\).

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Suy ra \(\sqrt x + 3\) = 19 hay \(x = 256\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 256\) thì \(A\) nhận giá trị nguyên.

a) Đúng.

Diện tích hình chữ nhật \({S_1} = \sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = 6\sqrt 6 .\)

b) Đúng.

Diện tích hình thang \({S_2} = \frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2}\).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn bài toán trên là: \({S_1} = {S_2}\)

Hay \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6 \)

Suy ra \(\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h = 12\sqrt 6 \)

Do đó, \(h = \frac{{12\sqrt 6 }}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)}}\)

            \(h = \frac{{12\sqrt 6 \left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)\left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}\)

           \(h = \frac{{12\sqrt 6 .\sqrt {24} - 12\sqrt 6 .\sqrt {12} }}{{{{\left( {\sqrt {24} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {12} } \right)}^2}}}\)

            \(h = \frac{{12\sqrt {6.24} - 12\sqrt {6.12} }}{{12}}\)

            \(h = \sqrt {144} - \sqrt {72} \)

            \(h = 12 - 6\sqrt 2 \).

a) Sai.

Với mọi \(a \ge 0\), ta có:

• \(a - 16 \ne 0\) nên \(a \ne 16.\)

• \(\sqrt a + 4 \ne 0\) (luôn đúng)

• \(\sqrt a - 4 \ne 0\) nên \(\sqrt a \ne 4\) suy ra \(a \ne 16.\)

Vậy điều kiện xác định của \(C\) là \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\).

b) Đúng.

Với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\), ta có:

\(C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}\)

   \[ = \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a  + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]

Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\) có \[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.\]

c) Đúng.

Ta có \[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} < \frac{{\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 4}}\] với mọi \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16\).

Do đó, \(C < 1\) với mọi x thuộc tập xác định.

b) Đúng.

Ta có: \(a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}\).

Thay vào \[C,\] ta được:

\[C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5 \].

Vậy giá trị của \(C = 9 - 4\sqrt 5 \) tại \(a = 9 - 4\sqrt 5 .\)

a) Đúng.

Với mọi \[a \ge 0\], ta có:

• \[a - \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\], do đó \[a \ne 0\] và \[a \ne 1.\]

• \[a + \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\], do đó \[a \ne 0\].

• \[a - 1 \ne 0\] suy ra \[a \ne 1.\]

Do đó, điều kiện xác định của \[T\] là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].

b) Đúng.

Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:

\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

c) Sai.

Vì biểu thức \[T\] có điều kiện xác định là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], tức là tại \[a = 1\] thì biểu thức \[T\] không có giá trị.

d) Đúng.

Thay \[a = 3\] (thỏa mãn điều kiện) vào \[T\], ta được: \[T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.\]

a) Đúng.

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\), ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

\( = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x  - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 25}}{{x - 9}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\).

b) Đúng.

Ta có: \(P = \frac{B}{A} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)

                      \( = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\).

c) Sai.

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}\).

Để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{8}{{\sqrt x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(8).

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\).

Do đó, \(\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;\,\,8\} \)

Với \(\sqrt x + 3 = 4\) thì \(x = 1\) (thỏa mãn).

Với \(\sqrt x + 3 = 8\) thì \(x = 25\) (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.

d) Đúng.

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn) vào \(P\) được \(P = \frac{{\sqrt {25} - 5}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 5}}{{5 + 3}} = \frac{0}{8} = 0\).

Đáp án: 27

Với \(x = 2\), ta có:

\(5\sqrt {3x} - \sqrt {12x} + \sqrt {75x} - 15\)

\( = 5\sqrt {3.2} - \sqrt {12.2} + \sqrt {75.2} - 15\)

\( = 5\sqrt 6 - \sqrt {24} + \sqrt {150} - 15\)

\( = 5\sqrt 6 - \sqrt {4.6} + \sqrt {25.6} - 15\)

\( = 5\sqrt 6 - \sqrt 4 .\sqrt 6 + \sqrt {25} .\sqrt 6 - 15\)

\( = 5\sqrt 6 - 2.\sqrt 6 + 5.\sqrt 6 - 15\)

\( = \sqrt 6 .\left( {5 - 2 + 5} \right) - 15\)

\( = 8\sqrt 6 - 15\)\( = 8\sqrt {3.2} - 15\)

Suy ra \[a = 8,\,\,b = 3,\,\,c = 15\].

Vậy \(S = a + b + c = 9 + 3 + 15 = 27\).

Đáp án: 0

Với \(x > 0,\,\,x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).

Với \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} > 0\)

Lại có: \(A = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 3}} < 1\).

Do đó \(0 < A < 1\).

Vậy \(x > 0,\,\,x \ne 9\) không tồn tại giá trị của \(x\) để \(A\) nhận giá trị là số nguyên.

Đáp án: 4

\(D = \left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\)

   \[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

 \[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{ - 1}} - \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

   \[ = \left[ { - \left( {\sqrt {44} - \sqrt {22} + \sqrt {22} - \sqrt {11} } \right) - \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 + \sqrt {63} - \sqrt {21} }}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

\[ = \left[ { - \sqrt {44} + \sqrt {11} - \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 9 - 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

\[ = \left[ { - 2\sqrt {11} + \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

\[ = \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

\[ = - \left( {\sqrt {11} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\]

\[ = - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}} \right]\]

\[ = - \left( { - 4} \right) = 4\].

Đáp án: −0,4

Ta có: \(P = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

             \( = \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

             \( = \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

            \( = \frac{{4\sqrt {xy} - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

            \( = \frac{{4\sqrt {xy} - x - 2\sqrt {xy} - y}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

            \( = \frac{{ - \left( {x + 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

            \( = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

             \( = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

Với \(\frac{x}{y} = \frac{4}{9}\) suy ra \(y = \frac{{9x}}{4}\).

Do đó, \(P = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\frac{5}{2}\sqrt x }} = - \frac{2}{5} = - 0,4\).

Đáp án: 3

Với \(x > 0\), ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)  \[\]

     \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).

Với \(x > 0\), \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)

Vì \(x > 0\), áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay \(A \ge 3\).

Vậy GTNN của \(A = 3\) khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay \(x = 1\).