Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề số 2)

Đáp án B

Bán kính của mặt cầu là

$R=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi .\frac{3}{4}=3\pi$

Đáp án B

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong 9 quả cầu có $C_9^1$cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right)=9$

Gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu được đánh số là chẳn”

Trong 9 quả cầu đánh số, có các số chẵn là $2;4;6;8$ suy ra $n\left(A\right)=4.$Vậy $P\left(A\right)=\frac{4}{9}$

Đáp án D

Điều kiện $x>0$

$$\begin{gathered} PT\iff {\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+6=0\iff \left({\log }_{2}x-2\right)\left({\log }_{2}x-3\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{2}x=2\\ {\log }_{2}x=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Tổng các nghiệm là $4+8=12$

Đáp án A

Ta có:

$\sin x-\cos x\ne 0\iff \tan x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$

Đáp án A

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(\frac{a^2\sqrt[3]{a^2}\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[15]{a^7}}\right)={\log }_a\left(\frac{a^2.a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{7}{15}}}\right)={\log }_a\left(\frac{a^{2+\frac{2}{3}+\frac{4}{5}}}{a^{\frac{7}{15}}}\right) \\ ={\log }_a\left(\frac{a^{\frac{52}{15}}}{a^{\frac{7}{15}}}\right)={\log }_a\left(a^{\frac{52}{15}-\frac{7}{15}}\right)={\log }_a\left(a^3\right)=3 \end{gathered}$$

Đáp án D

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x-x^2}{e^x}\ge 0\iff 2x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 2$

Đáp án D

Ta có: ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k\Rightarrow$ số hạng tổng quát là $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Đáp án A

Phương trình

 $$\begin{gathered} \iff \left(\cos x-1\right)\left(\cos x-3\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\cos x=1\\ \cos x=3\left(L\right)\end{array}\right.\iff x=k2\pi \end{gathered}$$

Đáp án A

Xác suất cần tính là $P\left(A\right)=\frac{1}{5}.\frac{2}{7}=\frac{2}{35}$

Đáp án D

Tập xác định $ℝ\backslash \left\{1\right\}$. Ta có $y\text{'}=-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}<0$ với mọi $x\in R\backslash \left\{1\right\}$

 

Đáp án C

Xét khai triển ${\left(x-2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{10-k}{\left(-2\right)}^k=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(-2\right)}^k.x^{10-k}$

Hệ số của $x^7$ ứng với

$x^{10-k}=x^7\iff 10-k=7\iff k=3$.

Vậy hệ số cần tìm là $C_{10}^3.{\left(-2\right)}^3=-960$

 

 

Đáp án A

Gọi chiều cao của lăng trụ là h.

Để ý rằng lăng trụ đều thì đã là lăng trị đứng nên ta có $S_{tp}=2a^2+4ah=8a^2\iff h=\frac{3a}{2}$

Thể tích khối lăng trụ là $V=a^{2}h=\frac{3a^3}{2}$

 

Đáp án B

Nếu $\lim u_n=a,\lim v_n=b$ thì $\lim \left(u_n,v_n\right)=ab$

Đáp án B

$a^{\frac{19}{5}}<a^{\frac{15}{7}}$ vì mũ không là số nguyên nên $a>0$. Mặt khác $\frac{19}{5}>\frac{15}{7}$ nên $a<1\Rightarrow 0<a<1$

${\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)>{\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)$ để có nghĩa thì $1\ne b>0$ và $\sqrt{2}+\sqrt{7}>\sqrt{2}+\sqrt{5}$ nên $b>1$

Đáp án C

Chọn An là người đứng đầu, 4 bạn còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại nên có $4!=24$ cách

Đáp án D

Ta có

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4x=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=3\Rightarrow A\left(0;3\right)\\ x=\pm 1\Rightarrow y=2\Rightarrow B\left(1;2\right),C\left(-1;2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-2;0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BC=2\\ BC:y=2\Rightarrow d\left(A;BC\right)=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.d\left(A;BC\right)=1 \end{gathered}$$

Đáp án A

Hiển nhiên thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $\left(MNP\right)$ là một tam giác

Đáp án D

PT 

$$\begin{gathered} \iff \left(\sin 4x-\cos 4x\right)\left(\sin 4x+4\cos 4x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin 4x=\cos 4x\\ \sin 4x=-4\cos 4x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\tan 4x=1\\ \tan 4x=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

+) Với PT

 $$\begin{gathered} \tan 4x=1\Rightarrow 4x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\stackrel{0<x<\frac{\pi }{2}}{\to }x=\frac{\pi }{16};x=\frac{5\pi }{16} \end{gathered}$$

+) Với PT $\tan 4x=-4\Rightarrow$PT có thêm 2 nghiệm nữa thuộc $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Đáp án C

Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều $\left\{4;3\right\}$

Đáp án C

Phân tích $v_{n+1}+k=2\left(u_n+k\right)\Rightarrow k=5\Rightarrow u_{n+1}+5=2\left(u_n+5\right)$

Đặt 

$$\begin{gathered} v_n=u_n+5\Rightarrow v_{n+1}=2v_n\left(CSN\right) \\ \Rightarrow v_n=v_1{q}^{n-1}=\left(u_1+5\right){.2}^{n-1}={6.2}^{n-1} \end{gathered}$$

$\Rightarrow u_n+5={6.2}^{n-1}\Rightarrow u_{2018}={6.2}^{2017}-5$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \lim \left[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right] \\ =\lim \left[\frac{1.3}{2^2}.\frac{2.4}{3^2}.\frac{3.5}{4^2}\mathrm{...}\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n^2}\right] \\ =\lim \frac{1}{2}.\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Đáp án B                     

Gọi $B\left(t;0;0\right)$ ta có: 

$A{B}^2={\left(t-2\right)}^2+9=25\iff {\left(t-2\right)}^2=16\iff \left[\begin{array}{l}t=6\\ t=-2\end{array}\right.$

Đáp án D

$\int \left(4x^3-\frac{2}{x}\right)dx=x^4-2\ln \left|x\right|+C$

 

Đáp án D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow y\left(0\right)=b>0$

Đồ thị hàm số có TCN nằm phía trên trục $Ox\Rightarrow y=a>0$

Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến$\Rightarrow y\text{'}=\frac{a-b}{{\left(x+1\right)}^2}<0\iff a<b$

 

Đáp án D

Cạnh của bát diện đều là $x=2a\to S=8.\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=8a^2\sqrt{3}$

Đáp án B

Xét hàm số $f\left(n\right)=n-\sqrt{n^2-1}$với $n\ge 1$

$\Rightarrow f\text{'}\left(n\right)=1-\frac{n}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{\sqrt{n^2-1}-n}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2}}{\sqrt{n^2-1}}<0$

$\Rightarrow f\left(n\right)$ nghịch biến trên $\left[1;+\infty \right)\Rightarrow \left(a_n\right)$ là dãy số giảm

Đáp án D

Ta có $y^2=xz$ và

$$\begin{gathered} {\log }_{a}x+{\log }_{\sqrt[3]{a}}=2{\log }_{\sqrt{2}}y\iff {\log }_{a}x+{\log }_a{z}^3={\log }_a{y}^4 \\ \Rightarrow x{z}^3=y^4-x^2{z}^2\Rightarrow x=z\Rightarrow x=y=z \end{gathered}$$

Đáp án C

Phương trình 

$$\begin{gathered} \left(\sin x-1\right)\left({\cos }^{2}x-\cos x+m\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=1\\ m=\cos x-{\cos }^{2}x\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(1\right)\\ m=\cos x-{\cos }^{2}x\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ nên

$0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 2\pi \iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

Để phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right]\iff \left(2\right)$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;2\pi \right]$

Đặt $t=\cos x\in \left[-1;1\right]$, khi đó $\left(2\right)\iff t^2-t+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $-1<t_1;t_2<1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(t_1+1\right)\left(t_2+1\right)>0\\ \left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1{t}_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1{t}_2-\left(t_1+t_2\right)+1>0\\ -4m-1<0\end{array}\right.\iff 0<m<\frac{1}{4}$

Vậy $m\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$

Đáp án C

Gọi $5x$ là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất

Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức $f\left(x\right)=\left(50-5x\right)\left(50x+40\right)-30\left(50x+40\right)$

Ta có 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left(20-5x\right)\left(50x+40\right)=50\left(4-x\right)\left(3x+4\right) \\ =50\left(16+16x-5x^2\right)\Rightarrow \max f\left(x\right)=f\left(\frac{16}{10}\right) \end{gathered}$$

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là $50-5x=50-5.\frac{16}{10}=42$ nghìn đồng

Đáp án D

Gọi $B\text{'},C\text{'}$ lần ượt là hai điểm thuộc SB, SC sao cho $SB\text{'}=SC\text{'}=2$

Xét tứ diện $S.AB\text{'}C\text{'}$ có $\left\{\begin{array}{l}\stackrel{⏜}{ASB\text{'}}=\stackrel{⏜}{B\text{'}SC\text{'}}=\stackrel{⏜}{C\text{'}SA}=60°\\ SA=SB\text{'}=SC\text{'}=2\end{array}\right.\Rightarrow S.AB\text{'}C\text{'}$ là tứ diện đều cạnh 2

Khi đó $V_{S.AB\text{'}C\text{'}}=\frac{S{A}^3\sqrt{2}}{12}=\frac{2^3\sqrt{2}}{12}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

mà  $\frac{V_{S.AB\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{6}=\frac{2}{9}$.

Vậy $V_{S.ABC}=3\sqrt{2}$

Đáp án B

Xét hàm số 

$y=\frac{2\cot x+1}{\cot x+m}\stackrel{t=\cot x}{\to }y=\frac{2t+1}{t+m}\Rightarrow y_t^{\text{'}}=t\text{'}.\frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}$

Để hàm số đã cho đồng biến trên 

$\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\iff y_t^{\text{'}}>0,\forall x\in \left(0;1\right)\iff t\text{'}.\frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}>0,\forall x\in \left(0;1\right)$

Mà 

$$\begin{gathered} t\text{'}<0,\forall x\in \left(0;1\right)\Rightarrow \frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}<0;\forall x\in \left(0;1\right) \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m-1<0\\ t=-m\notin \left(0;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{2}\\ \left[\begin{array}{l}-m\ge 1\\ -m\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ 0\le m<\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-\sqrt{x+2}\right)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}{\left(x^2-4\right)\left(x+\sqrt{x+2}\right)} \\ =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-4\right)\left(x+\sqrt{x+2}\right)} \end{gathered}$$

$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+1}{\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{3}{16}$

Và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=2^2+2a+3b=2a+3b+4$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}2a+3b+4=\frac{3}{16}\\ 2a+3b+4=2a+b-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{179}{32}\\ b=-5\end{array}\right.$

Vậy $I=a+b=\frac{179}{32}-5=\frac{19}{32}$