Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết (Đề số 1)

Ta có phương trình tham số của: $d: \left\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y= -1+t\\ z= 3+t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là A

Ta có bán kính bằng $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{9}{\sqrt{9}}=3$

Đáp án cần chọn là D

Ta có. EG//AC (do ACGE là hình chữ nhật) 

 

 

 

 

$\Rightarrow \left(AB,EG\right)=\left(AB,AC\right)=BAC={45}^o$

Đáp án cần chọn là C

Không gian mẫu cần tính là $\Omega =6.6=36$

Đáp án cần chọn là D

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^2-1}$

= $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\left(x-1\right)}^2\left(x-2\right)}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x+1}=0$

Đáp án cần chọn là A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.

 

 

Đáp án cần chọn là D

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+2x-3}{{(1+x)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\to y=-7\\ x=1\to y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là:

$\frac{x+3}{1+3}=\frac{y+7}{1+7}\iff 2x-y-1=0$

Đáp án cần chọn là A

Ta có: $y\text{'}=3x^2-1\Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=2\Rightarrow$PTTT tại N(1;3) là

y = 2 (x - 1 ) + 3 = 2x + 1 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với tiếp tuyến ta có

$x^3-x+3$= 2x + 1 $\iff$x = -2, x = 1

Vậy tọa M (-2;-3) 

Đáp án cần chọn là B

${\log }_{\frac{1}{a}}\left(\frac{\sqrt[a]{b}}{c^2}\right)$ = $-{\log }_a\left(\frac{\sqrt[a]{b}}{c^2}\right)$

= $-\frac{1}{n}{\log }_{a}b+2{\log }_{a}c$

Đáp án cần chọn là D

Với a > 0, a $\not\equiv$1 ta có ${\log }_a\left(3x-1\right)=1$$\iff$3x - a = a 

$\iff$$x=\frac{2a}{3}$

Đáp án cần chọn là C

Dùng casio nhập ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left(1-2{\sin }^2\frac{x}{4}\right)dx=\frac{16}{15}$ $\stackrel{CALC}{\to }$

A =.....X=1 $\Rightarrow$A = 5

Đáp án cần chọn là C

z = 2 + i là nghiệm thì z = 2 - i cũng là nghiệm

Vậy ( z - 2 - i )(z - 2 + i ) = $z^2-4z+5$

$\Rightarrow$a = 4, b = 5 $\Rightarrow a^2+b^2$ = 16 + 25 = 41

Đáp án cần chọn là C

Ta có tam giác ACD vuông cân tại C và CA = CD = 2a

$\Rightarrow S_{AACD}=4a^2$. Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

$\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right); SH=a\sqrt{3}. Vay S_{SACD}=$$\frac{4a^3\sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là A

Ta có.

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp AG\\ CD\perp BG\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(ABG\right)\Rightarrow CD\perp AB$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ${90}^o$

Đáp an cần chọn là C

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong 3 hộp nên xác suất là $\frac{1}{3}$

TH1. Lấy được hộp A và lấy 1 bi xanh trong hộp A, ta được xác suất là $P_A=\frac{3}{8}$

TH2. Lấy được hộp B và lấy 1 bi xanh trong hộp B, ta được xác suất là $P_B=\frac{3}{5}$

Vậy xác suất cần tính là

$P=\frac{1}{3}\left(P_A+P_B\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{8}+\frac{3}{5}\right)=\frac{13}{40}$

Đáp án cần chọn là D

Trường hợp 1. Số đó có dạng $\overline{a_1{a}_{2}0}$ chọn $\overline{a_1{a}_2}$có $A_5^2$ cách nên có $A_5^2$ số thỏa mãn.

Trường hợp 2. Số đó có dạng $\overline{a_1{a}_{2}5}$ chọn $a_1$ có 4 cách, chọn $a_2$ có 4 cách nên có 4.4 số thỏa mãn.

Do đó có $A_5^2+4.4=36$ số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là C

$y=\frac{x^2=mx+2}{x-1}$ = $y\text{'}=\frac{\left(2x-m\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-mx+2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=\frac{x^2-2x+m-2}{{\left(x-1\right)}^2}$

Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì

$∆=1-m+2=3-m\le 0\Rightarrow m\ge 3$

Như vậy số các giá trị m thỏa mãn ĐK là

$\frac{2019-3}{3}+1=673$

Đáp án cần chọn là B

$y=x^3-3m{x}^2+3\left(m+6\right)x+1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m+6\right) \\ =3\left(x^2-2mx+m+6\right) \end{gathered}$$

Hàm số có hai cực trị

$\iff ∆=m^2-m-6>0\iff \left\{\begin{array}{l}m>3\\ m<-2\end{array}\right.$

$y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}m\right)y\text{'}+2\left(m+6-m^2\right)x+1-m\left(m+6\right)$

PTDT đi qua 2 cực trị là

$y=2\left(m+6-m^2\right)x+1-m\left(m+6\right)$

Đường thẳng này đi qua (3;5)

$$\begin{gathered} 5=6(m+6-m^2)+1+m^2+6m \\ \Rightarrow 5m^2-12m-32=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=4\\ m=\frac{-8}{5}\left(l\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m = 4

Đáp án cần chọn là A

Xét hàm số

$$\begin{gathered} y=x^4-2x^2-1\Rightarrow y\text{'}=4x^3-4x \\ =4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có BBT như sau:

 

 

 

 

 

 

 

PT $\left|x^4-2x^2-1\right|={\log }_{4}m$ có 6 nghiệm

$\iff 1<{\log }_4\left(m\right)<2\iff 4<m<16$

Vậy m có 11 giá trị nguyên.

Đáp án cần chọn là B

${\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-4\right)\ge 1$

$$\begin{gathered} \iff 4x+4y-4\ge x^2+y^2+2 \\ \iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\le 2 \end{gathered}$$

Đây là tập hợp tất cả các điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(2;2) bán kính $\mathrm{ℝ}\text{'}=\sqrt{m}$ .

Ta có $II\text{'}=\sqrt{10}$. m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho $x^2+y^2+2x-2y+2-m=0$ thì hai đường tròn nói trên tiếp xúc ngoài

$$\begin{gathered} \Rightarrow R+R\text{'}=II\text{'}\iff \sqrt{m}+\sqrt{2}=\sqrt{10} \\ \iff m={\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là B

Từ $f\left(x\right)+f\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$ cho $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2},x=\frac{-\mathrm{\pi }}{2}$ ta có

$\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\\ f\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)+f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\end{array}\right.$

Chú ý do $y=f\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ là hàm chẵn trên $\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ nên $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ = $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-f\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-\sin \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \Rightarrow f\left(x\right)=\sin \left(x\right) \end{gathered}$$

Vậy ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$ = ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(x\right)=1$

Đáp án cần chọn là B

 

 

 

 

 

$\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3}{4}\sqrt{16-x^2}$

Đường thằng x = k chia elip thành hai phần (H) và (K) khi đó

$$\begin{gathered} V_H=\mathrm{\pi }{\int }_{-4}^{\mathrm{k}}\frac{3}{14}\left(16-{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{dx} \\ =\frac{1}{4}\mathrm{\pi }{\left(48\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3\right)}_{-4}^{\mathrm{k}} \\ =\frac{1}{4}\mathrm{\pi }\left(48\mathrm{k}-{\mathrm{k}}^3+128\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{V_H}{V_K}=\frac{48k-k^3+128}{128-48k+k^3}=\frac{5}{27} \\ \Rightarrow \frac{48k-k^3+128}{256}=\frac{5}{32} \\ \Rightarrow k^3-48k-88=0 \end{gathered}$$

với k nguyên âm k = -2

Đáp án cần chọn là C

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\ln 2}\left(x+\frac{1}{2e^x+1}\right)dx={\int }_0^{\ln 2}xdx+{\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{2e^x+1}dx \\ ={\frac{x^2}{2}}_0^{\ln 2}+{\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{\left(2e^x+1\right)e^x}d{e}^x \end{gathered}$$

= $$\begin{gathered} \frac{1}{2}{\ln }^{2}2+{\int }_0^{\ln 2}\left(\frac{1}{e^x}-\frac{2}{\left(2e^x+1\right)}\right)d{e}^x \\ =\frac{1}{2}{\ln }^{2}2+{\left(\ln e^x-\ln \left(2e^x+1\right)\right)}_0^{\ln 2} \\ =\frac{1}{2}{\ln }^{2}2+\ln 2-\ln \frac{5}{3} \end{gathered}$$

Vậy a + b + c = 2

Đáp án cần chọn là A 

$\left(2+i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}+1-2i$ 

$\iff \left(2\left|z\right|-1\right)+\left(\left|z\right|+2\right)i=\frac{\sqrt{10}}{{\left|z\right|}^2}\overline{z}$

Bình phương modun của số thức bên trái và bên phải bằng nhau ta có:

$\iff \left(2\left|z\right|-1\right)+\left(\left|z\right|+2\right)i=\frac{\sqrt{10}}{{\left|z\right|}^2}\overline{z}$

= $\frac{10}{{\left|z\right|}^2}\iff 5{\left|z\right|}^2+5=\frac{10}{{\left|z\right|}^2}\Rightarrow \left|z\right|=1$

Đặt w = x + yi $\Rightarrow$w = (3 - 4i )z+2i

$\iff$(x + 1 ) + ( y - 2 )i = ( 3 - 4i )z

$\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25$

Vậy I ( -1;2 ), R = 5

Đáp án cần chọn là C

 

 

 

 

 

 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz. Có O = A, AB = Ox, AC = Oy, AD = Oz, AD = $2\alpha \tan \left({60}^o\right)=2a\sqrt{3}$, $NH=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)BC=\frac{1}{6}BC=\frac{1}{2}NC$

Từ M kẻ MH song song với AC ta có MH = a; CP = 2MH = 2a $\Rightarrow$AP = 4a

PT của mặt phẳng (BCD) là $\frac{x}{2a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{2\sqrt{3}a}=1$. Vậy khoảng cách từ P ( 0;4a;0 ) đến (BCD) là:

$\frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{12a^2}}}}=a\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$

Đáp án cần chọn là A

 

 

 

 

 

 

 

Chọn hệ trục Oxy trong đó A = O, Ox = AC. Hình thang thỏa mãn bài toán có $AC\perp CD$, góc đáy bằng ${60}^O$, $AC=AD.\sin \left({60}^o\right)=a\sqrt{3}\Rightarrow D\left(a\sqrt{3};a\right)$. PT đường thẳng  AD là $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$

Vậy thể tích cần tính

$V=\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{a}\sqrt{3}}\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2\mathrm{dx}={\frac{\mathrm{\pi }}{9}{\mathrm{x}}^3}_0^{\mathrm{a}\sqrt{3}}=$$\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là B

$∆$ giao với $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=2-t\end{array}\right.$

là A ( 2 + t; 1 - t; 2 - t )

với $d_2\left\{\begin{array}{l}x=3+t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=5\end{array}\right.$

là B ( 3 + t'; 2 + t'; 5 )

Khi đó AB ( 1 + t' - t; 1 + t' + t; 3 + t )

Ta có:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\perp u_1\left(1;-1;-1\right)\\ \overrightarrow{AB}\perp u_2\left(1;1;0\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1+t\text{'}-t-1-t\text{'}-t-3-t=0\\ 1+t\text{'}-t+1+t\text{'}+t=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t\text{'}=-1\end{array}\right. \\ \Rightarrow A\left(1;2;3\right),\overrightarrow{AB}\left(1;-1;2\right) \end{gathered}$$

Vậy PT $∆$ là : $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\text{'}\text{'}\\ y=2-t\text{'}\text{'}\\ z=3+2t\text{'}\text{'}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là A

Do AB( 2;2;-2 ) $\perp$(P): 2x - y - z + 3 = 0  nên mặt cầu (S) cần xác định có tâm là trung điểm I( 3;3;1 ) của AB và bán kính

$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+2^2+{(-2)}^2}=\sqrt{3}$

Vậy PT (S): ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

Đáp án cần chọn là A

Đường thẳng d đi qua A ( 1;-1;2 ) có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ do d song song (P): 2x - y - z + 3 = 0 nên $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ $\perp$n ( 2;-1;1 )

$\iff \overrightarrow{u}.n=0$ $\iff$2a = b + c

Đến đây ta kiểm tra chỉ có đáp án A là đường thẳng có véc tơ chỉ phương thỏa mãn (1) nên ta chọn đáp án A

Đáp án cần chọn là A

$\tan \left(\frac{A}{2}\right)$, $\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ , $\tan \left(\frac{C}{2}\right)$ lập thành cấp số cộng

2$\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ = $\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ + $\tan \left(\frac{C}{2}\right)$ 

$$\begin{gathered} \iff 2\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{B}{2}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{B}{2}}\right)}=\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{A}{2}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{A}{2}}\right)}+\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{C}{2}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{C}{2}}\right)} \\ \Rightarrow 2\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{B}{2}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{B}{2}}\right)}=\frac{\cos \left({\displaystyle \frac{B}{2}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{A}{2}}\right).\cos \left({\displaystyle \frac{C}{2}}\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{B}{2}\right)\left(\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)+\cos \left(\frac{A-C}{2}\right)\right) \\ ={\cos }^2\left(\frac{B}{2}\right) \\ \iff \sin \left(\frac{B}{2}\right)\left(\sin \left(\frac{B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A-C}{2}\right)\right) \\ -{\sin }^2\left(\frac{B}{2}\right) \\ ={\cos }^2\left(\frac{B}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{B}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(\frac{B+A-C}{2}\right)+\sin \left(\frac{B-A+C}{2}\right) \\ =2\cos \left(B\right) \\ \iff \cos \left(C\right)+\cos \left(A\right)=2\cos \left(B\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là C

Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( -1;2 )

$y=\frac{2x-1}{x+1}$ $\Rightarrow y\text{'}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2} \Rightarrow$PTTT tại $M\left(x_0,y_0\right)$ là

$\left(d\right) y=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}$

Giao của (d) với TCD x = -1 là $A\left(-1;\frac{2x_0-4}{x_0-1}\right)$, Giao của (d) với TCD $B\left(2x_0+1;2\right)$

$A{B}^2+I{B}^2=40$ $\iff {\left(2-\frac{2x_0-4}{x_0-1}\right)}^2+{\left(-2x_0-2\right)}^2=40$

$\iff \frac{36}{{\left(x_0+1\right)}^2}+4{\left(x_0+1\right)}^2=40$

$$\begin{gathered} {\left(x_0+1\right)}^4-10{\left(x_0+1\right)}^2+9=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x_0+1\right)}^2=1\\ {\left(x_0+1\right)}^2=9\end{array}\right. \\ \Rightarrow x_0=2\left(x_0>0\right)\Rightarrow y_0=-1 \\ \Rightarrow x_0{y}_0=2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là D

Ta có

$$\begin{gathered} S_1={\int }_0^k{e}^x\sin \left(xdx\right); S_2={\int }_k^{\mathrm{\pi }}{e}^x\sin \left(xdx\right) \\ S=S_1+S_2={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{e}^x\sin \left(xdx\right) \end{gathered}$$

$\left(2S_1+2S_2-1\right)={\left(2S_1-1\right)}^2$

 $$\begin{gathered} \iff S_2=2{S_1}^2-2S_1+1-S=0 \\ \iff 2{\left({\int }_0^k{e}^x\sin \left(xdx\right)\right)}^2 \\ -2{\int }_0^k{e}^x\sin \left(xdx\right)+1-{\int }_0^k{e}^x\sin \left(xdx\right)=0 \end{gathered}$$

Tính toán trực tiếp qua các đáp án ta thấy PT trên đúng với k = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Đáp án cần chọn là B