Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 14 )

Xét $\left({\gamma }_{\alpha }\right):y=-\frac{g}{2v_0^2}\left(1+{\tan }^2\left(\alpha \right)\right)x^2+x\tan \left(\alpha \right)$ và $\left(T\right):y=-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2+\frac{v_0^2}{2g}$

$\left({\gamma }_{\alpha }\right)$ tiếp xúc $\left(T\right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\left(1\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)\left(2\right)\end{array}\right.$ 

Ta có 

$$\begin{gathered} \left(2\right) \\ \iff -\frac{g}{v_0^2}\left(1+{\tan }^2\left(\alpha \right)\right)x+\tan \left(\alpha \right)=-\frac{g}{v_0^2}x \\ \iff -\frac{g}{v_0^2}\left[{\tan }^2\left(\alpha \right)\right]x+\tan \left(\alpha \right)=0 \\ \iff x=\frac{v_0^2}{g\tan \left(\alpha \right)} \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=\frac{-1-m^2-m-1}{{\left(x-1\right)}^2}$ 

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$ khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} -m^2-m-2>0 \\ \iff m^2+m+2<0 \\ \iff {\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}<0 \\ \iff m\in \varnothing \end{gathered}$$

Đáp án D

Ta tính được $y\text{'}=\frac{2x\left(x+1\right)-\left(x^2+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-1}{{\left(x+1\right)}^2}>0$ 

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 1;2 ].

Do đó $y\left(1\right)\le y\le y\left(2\right)\iff 1\le y\le \frac{5}{3}$ 

Điều này có nghĩa là $m=1;M=\frac{5}{3}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –1

Đáp án B

Ta có a = -1 < 0 và y ' = 0$\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+2\end{array}\right.$ nên dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số ta xét các trường hợp sau để đáp ứng yêu cầu bài toán.

Hàm số chỉ có một cực trị âm $\iff \left\{\begin{array}{l}m+2\le 0\\ y\left(0\right)<0\end{array}\right.\iff -4<m\le -2$ 

Hàm số có ba cực trị và giá trị cực đại âm

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ y\left(\pm \sqrt{m+2}\right)<0\end{array}\right. \\ \iff -2<m<0 \end{gathered}$$ 

Qua hai trường hợp trên ta thu được -4 < m < 0.

Do $m\in Z$ nên $m\in \left\{-3;-2;-1\right\}$.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Ta có $y\text{'}=a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)+1$.

Do hàm số đạt cực trị tại các điểm $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3};x=\mathrm{\pi }$ nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=0\\ y\text{'}\left(\mathrm{\pi }\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+1=0\\ -a+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Do đó $a+b\sqrt{3}$ = 4

Đáp án C

Nhìn đồ thị suy ra:

a > 0

Đồ thị qua điểm A ( 0;-3 ) nên c = -3

Đồ thị có 3 cực trị nên a và b trái dấu nhau.

Do đó lựa chọn a = 1; b = -2; c = -3 như phương án C đã nêu

Đáp án C

Đường thẳng AC qua A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) nhận $\overrightarrow{AC}=\left(6;-2\right)$ làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình là: $\frac{x+2}{6}=\frac{y-3}{-2}\iff y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$ 

Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-y-1=0\\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Để ý rằng $AC\perp BD$ và I là trung điểm AC.

Khi đó ABCD là hình thoi thì I ( 1;2 ) là trung điểm của BD.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: $\frac{2x+1}{2x-m}=3x-1\iff 6x^2-\left(3m+4\right)x+m-1=0$ 

Do $∆={\left(3m+4\right)}^2-4.6\left(m-1\right)$=$9m^2+24>0,\forall m$ nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B và D.

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3m+4}{12}$

Đáp án A

Để I là trung điểm của BD thì $\frac{3m+4}{12}=1\iff m=\frac{8}{3}$

Đáp án A

Vì x - 1 thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất phương trình đúng với $x\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=x-6^{1-x}$ với $x\in \left[0;1\right]$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=1+6^{1-x}\ln \left(6\right)>0\forall x\in \left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left[0;1\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(1\right)=0\forall x\in \left[0;1\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)<0\forall x\in \left[0;1\right]$ 

Hơn nữa $e{x}^2-\mathrm{\pi x}+2018>0,\forall \mathrm{x}\in \left[0;1\right]$.

Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình: $\left(m-1\right)6^x-\frac{2}{6^x+2m+1}\le 0$ với $x\in \left[0;1\right]$.

Đặt $t=6^x$ thì $t\in \left[1;6\right]$. Bất phương trình thành

$$\begin{gathered} \left(m-1\right)t-\frac{2}{t}+2m+1\le 0 \\ \iff m\le \frac{t^2-t+2}{t^2+2t} \\ \iff m\le \underset{t\in \left[1;6\right]}{min}g\left(t\right) \end{gathered}$$  

(với $g\left(t\right)=\frac{t^2-t+2}{t^2+2t},t\in \left[1;6\right]$).

Ta có

 $$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=\frac{3t^2-4t-4}{\left(t^2+2t^2\right)} \\ g\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{2}{3}\\ t=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được: $\underset{t\in \left[1;6\right]}{min}g\left(t\right)=\frac{1}{2}$

Vậy $m\le \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án B

Phương trình tiếp tuyến  có dạng:

$y=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0-2}{x_0+1}$ ( $x_0\ne -1$ là hoành độ tiếp điểm)

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và A,B lần lượt là giao điểm của $∆$ với hai tiệm cận.

Ta có I ( -1;1 ), A $\left(-1;\frac{x_0-5}{x_0+1}\right)$, B $\left(2x_0+1;1\right)$

Suy ra 

$$\begin{gathered} IA=\frac{6}{\left|x_0+1\right|};IB=2\left|x_0+1\right| \\ r=\frac{IA.IB}{IA+IB+AB} \\ =\frac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}}\le \frac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}} \\ =\frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi và ch khi

$$\begin{gathered} IA=IB\iff \frac{6}{\left|x_0+1\right|}=2\left|x_0+1\right| \\ \iff x_0^2+2x_0-2=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1-\sqrt{3}\\ x_0=-1+\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $y=x+2-2\sqrt{3};y=x+2+\sqrt{3}$

Đáp án D

Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là  (km/h).

Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300 km là $t=\frac{300}{v-6}$.

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là $E\left(v\right)=c{v}^3.\frac{300}{v-6}$=$300c.\frac{v^3}{v-6}\left(J\right),v>6$ 

Ta có

$$\begin{gathered} E\text{'}\left(v\right)=600c{v}^2\frac{v-9}{{\left(v-6\right)}^2} \\ E\text{'}=0\iff v=9 \end{gathered}$$

(do v > 6 ).

Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận 9 km/h chính là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất

Đáp án B

Với mọi 0 < k ta có

$$\begin{gathered} a^2+b^2=14ab \\ \Rightarrow {\left(a+b\right)}^2=16ab \\ \Rightarrow {\log }_k{\left(a+b\right)}^2={\log }_k\left(16ab\right) \\ \Rightarrow 2{\log }_k{\left(a+b\right)}^2={\log }_k\left(16\right)+{\log }_{k}a+{\log }_{k}b \end{gathered}$$ 

Thử từng cơ số của k ta thấy đáp án D cho ra kết quả không chính xác

Đáp án D

Ta có $P={\log }_a^2\left(b\right)+16{\log }_b\left(a\right)$

Đặt $t={\log }_a\left(b\right)$

Xét hàm số 

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=t^2+\frac{16}{t} \\ f\text{'}\left(t\right)=2t-\frac{16}{t^2}=0 \\ \iff t=2 \end{gathered}$$

Với t = 2 ta có ${\log }_{a}b=2\Rightarrow a^2=b$. Thay $b=a^2$ vào k ta được $k={\log }_a\sqrt[3]{ab}={\log }_a\sqrt[3]{a.a^2}=1$

Đáp án A

Số thóc ở ô thứ n là $2^{n-1}$ hạt.

Tổng số thóc ở các ô là $S=\underset{1}{\overset{64}{\sum 2^n}}=1+2+2^n+..+2^{61}=2^{64}-1$ hạt.

Lưu ý rằng số các chữ số của một số chính là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn loga của số đó.

Sử dụng máy tính ta tính được$\log \left(2^{64}-1\right)\approx 19,26591972$ 

Do đó số thóc là một số có 20 chữ số.

Đáp án B

Ta có

 $$\begin{gathered} y\text{'}=-\frac{1}{x^2}+\frac{\ln \left(x\right)\text{'}x-\ln \left(x\right)x\text{'}}{x^2} \\ =-\frac{1}{x^2}+\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2} \\ =-\frac{\ln \left(x\right)}{x^2} \end{gathered}$$

Đáp án A

Sử dụng chức năng CALC trong máy tính Casio và nhập từ giá trị ta thấy x = 1 thỏa.

Bất phương trình tương đương với $3.3^{2x}-10.3^x+3\le 0$

Đặt $t=3^x>0$ Bất phương trình trở thành $3t^2-10t+3\le 0\iff \frac{1}{3}\le t\le 3$.

Với $\frac{1}{3}\le t\le 3$, ta được $\frac{1}{3}\le 3^x\le 3\iff -1\le x\le 1$            

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = [ -1;1 ] 

Vậy b - a = 2

Đáp án C

Ta có: 

$$\begin{gathered} {\log }_8\left(75\right)=\frac{1}{3}{\log }_2\left(15.5\right)=\frac{1}{3}\left({\log }_{2}15+{\log }_{2}5\right) \\ =\frac{1}{3}\left({\log }_{2}15+{\log }_{2}5-1\right) \\ =\frac{1}{3}\left({\log }_{2}15+{\log }_{2}10-1\right) \\ =\frac{1}{3}\left({\log }_{2}15+\frac{1}{{\log }_{10}\left(2\right)}-1\right) \\ =\frac{1}{3}\left(a+\frac{1}{b}-1\right) \\ =\frac{ab-b+1}{3b} \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: ${\log }_2\left({\log }_3\left({\log }_4\left(x\right)\right)\right)$$={\log }_3\left({\log }_4\left({\log }_2\left(x\right)\right)\right)$=${\log }_4\left({\log }_2\left({\log }_3\left(z\right)\right)\right)=0$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=4^x\\ y=2^4\\ z=3^2\end{array}\right.$

Khi đó $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt{z}=9$

Đáp án A

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in R$

$$\begin{gathered} \iff \left(a+d\right)\cos \left(x\right)+cx\cos \left(x\right) \\ +\left(c-b\right)\sin \left(x\right)-ax\sin \left(x\right) \\ =\cos \left(x\right),\forall x\in R \\ \iff \left\{\begin{array}{l}c+d=0\\ c=1\\ c-b=0\\ a=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=d=0\\ b=c=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án B

Xét mệnh đề (I).Ta có

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(2x\right).f\left(\sin x\right)dx \\ =2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(x\right).f\left(\sin x\right)d\left(\sin x\right) \end{gathered}$$

Đặt t = sin(x)

Đổi cận x = 0$\Rightarrow$t = 0 và $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow t=1$.

Khi đó

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(2x\right).f\left(\sin x\right)dx \\ =2{\int }_0^{1}tf\left(t\right)dt=2{\int }_0^{1}xf\left(x\right)dx \end{gathered}$$ 

Do đó mệnh đề (I) đúng.

* Xét mệnh đề (II). Đổi biến $t=e^x$, suy ra mệnh đề (II) đúng.

* Xét mệnh đề (III). Đổi biến $t=x^2$ , suy ra mệnh đề (III) đúng

Đáp án D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}x\left(f\text{'}\left(x\right)-2\right)dx=f\left(x\right) \\ \Rightarrow {\int }_0^{1}xf\text{'}\left(x\right)dx={\int }_0^{1}2xdx+f\left(1\right) \\ \Rightarrow {\int }_0^{1}xd\left(f\left(x\right)\right)={x^2}_0^1+f\left(1\right)=1+f\left(1\right) \\ \Rightarrow xf{\left(x\right)}_0^1-{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=1+f\left(1\right) \\ \Rightarrow {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=-1 \end{gathered}$$

Đáp án A

Gọi S(x) là diện tích thiết diện đã cho thì $S\left(x\right)={\left(2\sqrt{\sin \left(x\right)}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\sin \left(x\right)$ 

Thể tích vật thể là $V={\int }_0^{\mathrm{\pi }}S\left(x\right)dx={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sqrt{3}\sin \left(x\right)dx=2\sqrt{3}$