Tổng hợp đề thi thử thpt quốc gia môn Toán (Đề số 1)

Đáp án C

Phương pháp:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị tìm tọa độ giao điểm A và B.

+) Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}.$

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $x^3-3x^2+2x-1=x^2-3x+1$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.\Rightarrow A\left(2;-1\right)\\ \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.\Rightarrow B\left(1;-1\right)\end{array}\right.$

Khi đó độ dài đoạn thẳng AB là: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(-1+1\right)}^2}=1.$

Đáp án B

Phương pháp:

Chuyển hàm $f\left(x\right)$ về dạng $f\left(x\right)=\left|x-1\right|=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}$. Sau đó áp dụng các công thức tính đạo hàm, hàm số liên tục, tìm GTLN, GTNN của hàm số và kết luận.

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h$ .Trong đó h là chiều cao của hình trụ, r là bán kính đáy.

Cách giải: Ta có: chiều cao h của khối trụ là AD hoặc BC nên $h=2$

Bán kính đáy là $r=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$

Khi đó ta có thể tích khối trụ cần tìm là $V=\pi r^{2}h=\pi .\frac{1}{4}.2=\frac{\pi }{2}$

Đáp án B

Phương pháp: $$\begin{gathered} {\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right) \\ \iff f\left(x\right)=g\left(x\right)\left(0<a\ne 1;f\left(x\right)g\left(x\right)>0\right) \end{gathered}$$

Cách giải: Điều kiện: $x>\frac{-3}{13}$

${\log }_{2017}\left(13x+3\right)={\log }_{2017}16$

$\iff 13x+3=16$

$\iff x=1\left(tm\right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$

Đáp án A

Phương pháp: Giải phương trình lượng giác sau đó kết hợp vào điều kiện của đầu bài để tìm ra nghiệm thỏa mãn.

Cách giải:

${\cos }^{2}x-\cos x=0$

$\iff \cos x\left(\cos x-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=2k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+) Với: $$\begin{gathered} x=\frac{\pi }{2}+k\pi : \\ 0<x<\pi \iff 0<\frac{\pi }{2}+k\pi <\pi \\ \iff -\frac{\pi }{2}<k2\pi <\frac{\pi }{2}\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=0$ khi đó ta có  $x=\frac{\pi }{2}$

+) Với: $$\begin{gathered} x=2k\pi : \\ 0<x<\pi \iff 0<2k\pi <\pi \\ \iff 0<k<\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị k nào thỏa mãn.

Đáp án D

Phương pháp: Biểu thức ${\log }_{a}b$ có nghĩa khi $0<a\ne 1;b>0$

Cách giải: Biểu thức $B={\log }_3\left(2-a\right)$ có nghĩa khi $2-a>0\iff a<2$

Sai lầm và chú ý: Ở bài toán này ta chỉ cần chú ý đến điều kiện có nghĩa của hàm số logarit và giải bất phương trình để tìm x.

Đáp án C

Phương pháp: Cách giải phương trình ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b\left(0<a\ne 1;f\left(x\right)>0\right)$

Cách giải: Điều kiện: $x\left(5-x\right)>0\iff 0<x<5$

$$\begin{gathered} {\log }_6\left[x\left(5-x\right)\right]=1\iff x\left(5-x\right)=6 \\ \iff x^2-5x+6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy $S=\left\{2;3\right\}$

Đáp án B

Phương pháp:

Giải từng phương trình ra và kết luận phương trình vô nghiệm.

Chú ý tập giá trị của hàm sin và hàm $cos:-1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1$

Cách giải: Xét đáp án B ta có $\sin x+3=0\iff \sin x=-3.$ Phương trình vô nghiệm

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_d.h$: h là chiều cao của khối chóp, S là diện tích đáy.

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Đáp án C

Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát: ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k.a^{n-k}.b^k$. Đối với bài toán này ta áp dụng công thức ${\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{.1}^{n-k}.x^k$. Sau đó dựa vào khai triền bài toán cho $P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_2{x}^{12}$ ta tìm được hệ số $a_8$ (đi theo $x^8$)

Vậy Hệ số cần tìm là $$\begin{gathered} a_8=C_8^8+C_9^8+C_{10}^8+C_{11}^8+C_{12}^8 \\ =1+9+45+165+495=715 \end{gathered}$$

Đáp án A

Phương pháp: Quy tác tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta có 2 quy tắc sau:

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2:

Bước 1: Tìm $f\text{'}\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,x_3\mathrm{...}$ và những điểm tại đó đạo hàm không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu của $f\text{'}\left(x\right)=0$. Nếu $f\text{'}\left(x\right)=0$ đổi dấu khi x qua điểm $x_i$ thì hàm số đạt cực trị tại điểm

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

Bước 1: Tìm $f\text{'}\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,x_3\mathrm{...}$ 

Bước 3: Tính $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Với mỗi nghiệm $x_i\left(i=1,2,3\right)$ ta xét:

 

+) Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i$

+) Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x\right) >0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i$

 

Cách giải: Thực hiện tìm cực trị theo quy tắc 2:

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1\Rightarrow y\text{'}=x^2-2x+1; \\ y\text{'}=0\iff {\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1; \end{gathered}$$

$y\text{'}\text{'}=2x-2\Rightarrow y\text{'}\text{'}\left(1\right)=0$

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Sai lầm và chú ý: Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_i\right)=0$thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_i$

 

Đáp án A

Phương pháp:

- Định nghĩa dãy số giảm: Dãy $\left(u_n\right)$được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

- Có thể giải bài toán bằng cách xét các hàm số ở từng đáp án trên tập ${\mathbb{N}}^{*}$ (Dãy số cũng là một hàm số).

- Hàm số nào nghịch biến trên ${\mathbb{N}}^{*}$thì dãy số đó là dãy số giảm.

Đáp án D

Phương pháp:

Đáp án D

Phương pháp:

Cách tìm cực trị của hàm số đa thức:

- Tính y'

- Tìm các nghiệm của y' = 0.

- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm làm cho y' = 0 và so sánh, rút ra kết luận.

Cách giải:

Ta có: $$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4x=0\iff 4x\left(x^2-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=-3\\ x=1\Rightarrow y=-4\\ x=-1\Rightarrow y=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đó suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ và $y_{CT}=-4$

Đáp án A

Phương pháp:

Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh $SM\perp \left(ABC\right)$ bằng cách sử dụng tính chất của trục đường tròn đáy.

Cách giải: Gọi M là trung điểm của AB.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại C nên $MA=MB=MC.$.

Mà $SA=SB=SC$ nên SM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra $SM\perp \left(ABC\right).$

Vậy $H\equiv M$ là trung điểm của AB.

Chú ý khi giải: Cần tránh nhầm lẫn với trường hợp chóp tam giác đều: HS dễ nhầm lẫn khi nghĩ rằng $SA=SB=SC$ thì hình chiếu vuông góc của S sẽ là trọng tâm tam giác dẫn đến chọn nhầm đáp án B.

Đáp án D

Phương pháp:

Chú ý khi giải: Khi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón, HS thường nhầm công thức $S_{xq}=\pi Rh$dẫn đến tính nhầm tỉ số thể tích bằng 2 và chọn đáp án A là sai.

 

Đáp án D

Phương pháp:

- Gọi H là trực tâm tam giác, chứng minh $SH\perp \left(ABC\right)$ bằng cách sử dụng định lý: “Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”.

- Tính độ dài SH bằng cách sử dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Cách giải: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Ta sẽ chứng minh SH là đường cao của hình chóp.

Gọi E, D lần lượt là hình chiếu của B,A lên AC,BC.

Chú ý khi giải: Từ nay về sau, các em có thể ghi nhớ hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong hình chóp S.ABC mà có SA, SB, SC đôi một vuông góc, đó là $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}$

 

Đáp án C

Phương pháp:

- Sử dụng dáng điệu các hàm số, sự tương giao đồ thị để loại trừ đáp án.

- Đồ thị hàm số y=f(x) xác định trên D, luôn nằm dưới trục hoành khi và chỉ khi $f\left(x\right)<0,\forall x\in D$

Đáp án D

Đáp án C

Chú ý và sai lầm: Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không phải số nghiệm t.

Đáp án A

Phương pháp:1

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa là: tồn tại số m, M sao cho $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Chú ý: Nếu $\lim u_n=\pm \infty$ thì ta kết luận ngay dãy không bị chặn.

Cách giải:

Đáp án A: $$\begin{gathered} 0<u_n=\frac{2n+1}{n+1} \\ =\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1} \\ =2-\frac{1}{n+1}<2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$nên $\left(u_n\right)$là dãy bị chặn.

Đáp án B, C, D: $\lim u_n=+\infty$nên các dãy số này đều không là dãy bị chặn.

Đáp án C

Phương pháp:

Quan sát bảng biến thiên, tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi rút ra kết luận.

Cách giải: Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;2)nên loại B, D.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (2;-2)nên thay x = 2 vào hi hàm số A và C ta được:

Đáp án A: $y=2^3-3.2+2=4\ne -2$nên loại A.

Đáp án C: $y=2^3-{3.2}^2+2=-2$nên đáp án C đúng.

Chú ý khi giải: Có nhiều cách làm cho bài toán này, HS cũng có thể xét từng hàm số, lập bảng biến thiên và đối chiếu kết quả nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn. Cần chú ý sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải bài toán nhanh nhất.

Đáp án C

Đáp án A

Phương pháp : Hình chóp và lăng trụ có cùng chiều cao và diện tích đáy thì $V_C=\frac{1}{3}{V}_{LT}.$

Cách giải: Dễ thấy mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành 2 phần là khối đa diện A’B’C’BC và chóp A’.ABC.

$\Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}BC}+V_{A\text{'}ABC}$

Mà: $$\begin{gathered} V_{A\text{'}ABC}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}} \\ \Rightarrow V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}BC}+\frac{2}{3}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}} \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án B

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt $2^x=t\left(t>0\right)$, đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải: Đặt $2^x=t\left(t>0\right)$khi đó phương trình trở thành $t^2-2mt+m+2=0\left(*\right)$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Khi  đó: $\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-m-2>0\\ 2m>0\\ m+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-1\end{array}\right.\\ m>0\\ m>-2\end{array}\right.\Rightarrow m>2$

Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh sau khi đặt ẩn phụ thì quên mất điều kiện t > 0, dẫn đến việc chỉ đi tìm điều kiện đề phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án A

Phương pháp:

Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ $V=\pi r^{2}h$

Đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng phương pháp thể và khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos bằng cách chia cả 2 vế phương trình cho ${\cos }^{2}x$.

Đáp án C

Phương pháp: Lập hàm số chi phí theo một ẩn sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

Cách giải: Gọi a là chiều dài cạnh đáy hình vuông của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp chữ nhật ta có $a^{2}b=8\left(a,b>0\right)\Rightarrow ab=\frac{8}{a}$

Diện tích đáy hình hộp là $a^2$ và diện tích xung quanh là 4ab nên chi phí để làm thùng tôn là $$\begin{gathered} 100a^2+50.4ab=100a^2+200ab=100a^2=100.\frac{8}{a} \\ =100a^2+\frac{1600}{a}=100\left(a^2+\frac{16}{a}\right) \end{gathered}$$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có $a^2+\frac{16}{a}=a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\ge 3\sqrt[3]{a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}=3.4=12$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a^2+\frac{8}{a}\iff a=2.$

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi và chỉ khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m.

Đáp án A

Phương pháp giải: Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác và công thức lượng giác xác định độ lớn của góc cần tính thông qua khoảng cách. Khảo sát hàm số tìm min – max

Lời giải: Với bài toán này, ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. Điều này xảy ra khi tan BOC lớn nhất.

Đặt OA = x(m) với x > 0. Ta có:

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dùng định lí Thalet, định lý Menelaus và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp theo tham số k.

Khảo sát hàm số chứa biến k để tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và $I=SO\cap AM.$

Ba điểm M,A,I thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: $\frac{SM}{MC}.\frac{CA}{AO}.\frac{OI}{IS}=1\Rightarrow \frac{OI}{SI}=1=\frac{k}{2}.$

Đáp án B

Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị

Lời giải:

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dùng định lí Thalet và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp cần tìm

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai để xét nghiệm của bất phương trình bậc hai chứa tham số

Đáp án C

Dựa vào phương trình đạo hàm bằng 0. Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó kết luận tính đơn điệu cũng như điểm cực trị của hàm số

Đáp án C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất.

Đáp án A

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn

Lời giải: