Tổng hợp đề thi thử THPT quốc gia môn Toán cực hay có lời giải - Đề 6

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Khoảng  cách  từ  điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 là:

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Hàm số $y=\sqrt{A}$ xác định <=> A$\ge$0

Hàm số $y={\log }_{a}B$ xác định <=> B>0

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 

Đáp án C

Phương pháp giải: Dựa vào các công thức nguyên hàm cơ bản

Lời giải: Ta có 

Đáp án C

Phương pháp giải: Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên tập xác định <=> a>1

Lời giải:

Dễ thấy  $\forall x\in R$ => Hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ đồng biến trên R

Đáp án A

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình bậc hai ẩn logx sử dụng công thức  (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Lời giải: ĐK: x > 0

Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: $10\sqrt[9]{10}$

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp

Lời giải: Thể tích khối chóp cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

Xét hàm số có  

Để phương trình F(x) = m – 1 có 3 nghiệm phân biệt 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông  ABCD , H là trọng tâm tam giác ABD

Ta có 

ABCD là hình vuông cạnh a nên 

Tam giác HDO vuông tại  O, có 

Tam giác SHD vuông tại  H, có 

Vậy thể tích cần tính  là 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chia trường hợp của biến cố, áp dụng các quy tắc đếm cơ bản tìm số phần tử của biến cố

Lời giải:

Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có  cách 

Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 6 sản phẩm lấy ra 0 có phế phẩm  nào => có  cách

TH2. 6 sản phẩm lấy ra có duy nhất 1 phế phẩm => có  cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là 

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải: Xác định độ dài đường sinh qua góc và bán kính, tính diện tích tam giác vuông bằng tích hai cạnh góc vuông

Lời giải: Ta có 

Diện tích cần tính là 

Đáp án B

Phương pháp giải:  Đặt ẩn phụ $t=\sqrt[3]{1+x^2}$ , đưa về tích phân hàm đa thức.

Lời giải:

Đặt 

và 

Khi đó 

Vậy 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựng hình, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và tính bán kính dựa vào tam giác vuông

Lời giải: Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng  a.

Gọi O là tâm tam giác  ABC, M là trung điểm của AA’

Qua O kẻ $d_1\perp \left(ABC\right)$, qua  M kẻ $d_2\perp AA\text{'}$ và $d_1\cap d_2=I$

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ  ABC.A'B'C

Tam giác  IAO vuông tại  O, có 

Mà 

Vậy diện tích cần tính là 

Đáp án A

Phương pháp giải: Tìm tập xác định, tính giới hạn của hàm số dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

Lời giải:

Vì hàm số xác định trên khoảng  $\left(-\sqrt{6};\sqrt{6}\right)$ không chứa ∞ nên không tồn tại ∞

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Xét hệ phương trình  Đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng

Đáp án C

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của $\left(P_1\right), \left(P_2\right)$ là nghiệm của phương trình:

Vậy diện tích cần tính là

Đáp án D

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân

Lời giải: Đặt 

Khi đó 

Đáp án D

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tìm số chữ số của một số vô cùng lớn

Lời giải:

Số các chữ số của số $7^{100000}$ là 

= 84509 + 1 = 84510

Đáp án B

Phương pháp giải: Sử dụng công thức lôgarit, đưa về phương trình lôgarit cùng cơ số

Lời giải: Điều kiện: x >1

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản.

Lời giải:

Chọn 3 quyển sách trong 15 quyển sách có  cách => n(Ω) = 455

Gọi X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.

Và $\overline{X}$ là biến cố 3 quyển sách được lấy ra không có quyển sách toán. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. Lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa => có  cách

TH2. Lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa => có cách

TH3. Lấy được 3 quyển lý, 0 quyển hóa => có  cách

TH4. Lấy được 0 quyển lý, 3 quyển hóa => có  cách

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{X}$ là 

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số b1 trên b1 đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

Lời giải: Ta có 

Yêu cầu bài toán 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định

Lời giải:

Ta có $y=x^3-3m{x}^2+3(2m-1)x+1$  R

Hàm số đồng biến trên R R R

Đáp án A

Phương pháp giải: Dựng chiều cao, xác định góc và độ dài đường cao của khối chóp

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB 

Và H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

Khi đó (SAB); (ABCD) = (SM;MH) = SMH = 60⁰

$△$SMH vuông tại H, có 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai.

Lời giải: Ta có

Đáp án B

Phương pháp giải: Quy đồng, đưa về dạng tích và sử dụng công thức tích thành tổng

Lời giải: Điều kiện: 

Ta có cos3x.tan4x=sin5x ó cos3x.sin4x = cos4x.sin5x

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số bậc nhất trên bậc nhất  đồng biến hoặc nghịch biến trên  các  khoảng  xác định của nó.

Lời giải:

Ta có 

Hàm số nghịch biến trên

Đáp án C

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp tính giới hạn (nhân liên hợp) của dạng vô định ∞ - ∞

Lời giải: Ta có 

Khi đó 

Chú ý và sai lầm : Học sinh có thể sử dụng MTCT cho bài toán này

Đáp án B

Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng  tay tìm số phức w

Lời giải:

Ta có 

Vậy 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng  $M{A}^2+M{B}^2$ đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

Vì  suy ra $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=(t-2;4-2t;2t)\\ \overrightarrow{BM}=(t;2-2t;2t-2)\end{array}\right.$

Khi đó 

Dễ thấy 

Vậy T_min = 10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 1 => M(2;0;5)

Đáp án B

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính chiều cao lăng trụ

Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có 

Kẻ  => MH là đoạn vuông  góc chung của BC, AA’

Mà 

Xét tam giác vuông AA’G có : 

Vậy thể tích cần tính là: 

Đáp án C

Phương pháp giải: Áp dụng công thức bài toán vay vốn trả góp, hoặc tìm từng tháng, dùng phương pháp quy  nạp và đưa về tổng của cấp số nhân

Lời giải:

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là 500(1+0,5%) - 10 triệu đồng.

Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là

[500(1+0,5%) – 10].(1+0,5%) – 10 = 500.(1+0,5%)² – 10[(1+0,5%)+1] triệu đồng

Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là

500.(1+0,5%)³ – 10[(1+0,5%)² + (1+0,5%) +1] triệu đồng

Số tiền gốc còn lại sau tháng thứ  n là

500(2+0,5%)ⁿ – 10[(1+0,5%)^n-1 + (1+0,5%)^n-2 + … + 1] triệu đồng

Đặt y = 1+0,5% = 1,005 thì ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ  n là

Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết

Vậy sau 58 tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng

Đáp án A

Phương pháp giải:

Giải phương trình f’ bằng 0, tìm nghiệm và lập bảng biến thiên xét điểm cực trị

Lời giải:

Ta có 

Dễ thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua 3 điểm  => Hàm số có 3 điểm cực trị.

Đáp án D

Phương pháp giải:

Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho

Lời giải:

Ta có

+ Đặt  và . Khi đó 

+ Đặt  và . Khi đó 

Vậy 

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải:

${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}$ = $x(x-3)+y(y-3)+xy$ (1)

(2)

Đặt

=> f(t) đồng biến trên (0;+∞)

Khi đó, 

vì 

Vậy P_max = 1 khi  và chỉ khi 

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Ta đi làm phần đối của giả thiết, tức là chọn 6 học sinh giỏi chỉ lấy từ một khối hoặc hai khối.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 15 học sinh giỏi của 3 khối có $C_{15}^6=5005$ cách

Số cách chọn 6 học sinh giỏi bằng cách chỉ lấy từ 1 khối 12 là $C_6^6=1$ 

Chọn 6 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 11 có $C_{10}^6=210$ cách, tuy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 210 – 1 = 2019 cách

Chọn 6 học sinh giỏi trong 11 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 10 có $C_{11}^6=462$ cách, uy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12  => số cách chọn là 462 – 1 = 461 cách.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 9 học sinh giỏi của 2 khối 11 và 10 có $C_9^6=84$ cách

Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5005 – 209 – 461 – 84 – 1 = 4250 cách

Đáp án B

Phương pháp giải: Chuẩn hóa thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm số, khảo sát hàm (hoặc bất đẳng thức) tìm min

Lời giải:

Thể tích của khối trụ là 

Chuẩn hóa 

Diện tích toàn phần của hình trụ là 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam giác

Lời giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(2;2;1)\\ \overrightarrow{AC}=(1;4;3)\end{array}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(2;-5;6)\right.$=> Phương trình (ABC): 2x – 5y + 6z – 10 = 0

Vì I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 

Lại có

Kết hợp với 

. Vậy S = $\frac{46}{5}$

Đáp án D

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về giải phương trình mũ (dạng đẳng cấp bậc hai)

Lời giải:

Đặt 

và 

Suy ra 

Đáp án D

Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Lời giải:

Gọi M(a;b;c) thỏa mãn đẳng thức vectơ $2\overrightarrow{MA }+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Khi đó $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ = $2\overrightarrow{N{A}^2}+\overrightarrow{N{B}^2}+\overrightarrow{N{C}^2}$ = $2{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC}\right)}^2$

= $4M{N}^2+2\overrightarrow{NM}\left(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$ + $\overrightarrow{2M{A}^2}+\overrightarrow{M{B}^2}+\overrightarrow{M{C}^2}$

= $4M{N}^2+\overrightarrow{2M{A}^2}+\overrightarrow{M{B}^2}+\overrightarrow{M{C}^2}$

Suy ra S_min ó MN_min ó N là hình chiếu của M trên(P) => MN$\perp$(P)

Phương trình đường thẳng  MN là 

Mà m$\in$mp(P) suy ra t–(1–t)+t+2+2=0 ó t = –1 => N(–1;2;1)

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác

Lời giải: TXĐ : D = R

Ta có R

Phương trình 

Hàm số có 3 điểm cực trị ó (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 

Khi đó 

Gọi ;  là ba điểm cực trị. Tam giác ABC cân tại A.

Trung điểm  H của BC là

Và

 Diện tích tam giác ABC là  

Mà  R suy ra 

Vậy S_max = 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chọn hệ số a, b, c hoặc đánh giá tích để biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

Cách 1. Ta có: 

Lại có  có 3 nghiệm thuộc khoảng 

Cách 2. Chọn  và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

Đáp án D

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến

Lời giải:

Từ giả thiết chia cả 2 vế cho x²y² ta được :  

Đặt  ta có 

Khi đó  

Ta có  mà 

nên 

Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy M_max = 16

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn

Lời giải:

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu  hình  nón.

Thể tích của khối nón là  với  l là độ dài đường sinh và l = R bán kính tấm bìa  hình tròn =>  vì chuẩn hóa R = 1

Xét hàm số  trên (0;1) có 

Ta có 

Do đó  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón