Tổng hợp đề thi thử THPT quốc gia môn Toán cực hay có lời giải - Đề 6
50 câu hỏi
Cho 
với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c
S = 4
S = 1
S = 0
S = 2
Đáp án D
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân
Lời giải:
Đặt 
và đổi cận 
Khi đó 
Vậy S = 2
Giá trị lớn nhất của hàm số y = -x4+3x2+1 trên [0;2] là
y = -3
y = 1
y = 134
y = 29
Đáp án C
Phương pháp giải: Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên trên đoạn tìm max – min
Lời giải:
Ta có 
Tính các giá trị 
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của đúng một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
y=-2x+2x+1
y=-x+2x+2
y=2x-2x+1
y=x-2x+1
Đáp án A
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng đồ thị, đường tiệm cận và giao điểm với trục tọa độ để xác định hàm số
Lời giải: Dựa vào hình vẽ ta thấy rằng:
Hàm số có dạng bậc nhất trên bậc nhất và nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận là x = -1, y = -2
Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;2) và (1;0)
Vậy hàm số cần tìm là y=-2x+2x+1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x – 2y + z + 6 = 0. Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; –1;0) lên mặt phẳng (α) có tọa độ là
(1;0;3)
(–1;1;–1)
(2;–2;3)
(1;1;–1)
Đáp án B
Phương pháp giải: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt và đi qua điểm, tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chính là tọa độ hình chiếu của điểm
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên 
Vì 
mà 
Vậy tọa độ điểm cần tìm là H (–1;1;–1)
Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a
V=a33
V=a36
V=a3
V=2a33
Đáp án C
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối lập phương
Lời giải: Thể tích khối lập phương cạnh a là V=a3
Với các số thực dương a, b bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
ln(ab)=lna + lnb
lnab=lnalnb
lnab=lnb - lna
ln(ab)=lna.lnb
Đáp án A
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức:
(Giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Lời giải: Với các số thực dương a, b bất kì , mệnh đề đúng là: ln(ab)=lna + lnb
Tìm đạo hàm của hàm số y = log2(x2+1)
y'=2x(x2+1)ln2
y'=1x2+1
y'=1(x2+1)ln2
y'=2xx2+1
Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm lôgarit 
Lời giải: Ta có 
Bất phương trình 
có tập nghiệm là
(2;4)
(-3;2)
(-1;2)
(5;+∞)
Đáp án C
Phương pháp giải:
Đưa về cùng cơ số. Dựa vào phương pháp giải bất phương trình lôgarit cơ bản
Lời giải:
Ta có 
Giá trị cực tiểu của hàm số y=x3-3x+2 là
-1
4
1
0
Đáp án D
Phương pháp giải: Hàm số đạt cực tiểu tại 
Lời giải: Ta có 
R
Phương trình 
Khi đó, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;2; –3) đến mặt phẳng (P): x+2y–2z–2 = 0
3
11/3
1/3
1
Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 là:
Lời giải:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: 
Tìm tập xác định của hàm số y=log12(2x-1)
D = [1;+∞)
D = (12;1]
D = (12;1)
D = (1;+∞)
Đáp án B
Phương pháp giải:
Hàm số y=A xác định <=> A≥0
Hàm số y=logaB xác định <=> B>0
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
∫exdx=ex+C
∫0dx=C
∫1xdx=lnx+C
∫xdx=x+C
Đáp án C
Phương pháp giải: Dựa vào các công thức nguyên hàm cơ bản
Lời giải: Ta có 
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
y=23x
y=eπx
y=2x
y=0,5x
Đáp án C
Phương pháp giải: Hàm số mũ y=ax đồng biến trên tập xác định <=> a>1
Lời giải:
Dễ thấy 
∀x∈R => Hàm số y=2x đồng biến trên R
Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình logx32-20logx+1=0 bằng
10109
10
1
1010
Đáp án A
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình bậc hai ẩn logx sử dụng công thức 
(giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Lời giải: ĐK: x > 0
Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: 10109
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a
a3312
a3
a334
a33
Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
Lời giải: Thể tích khối chóp cần tính là 
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình x3-3x-m+1=0 có ba nghiệm phân biệt
m = 1
B.
–1≤m≤3
–1<m<3
Đáp án D
Phương pháp giải:
Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình
Lời giải:
Xét hàm số 
có 
Để phương trình F(x) = m – 1 có 3 nghiệm phân biệt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 600
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
a3153
a31527
a3159
a33
Đáp án C
Phương pháp giải:
Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD , H là trọng tâm tam giác ABD
Ta có 
ABCD là hình vuông cạnh a nên 
Tam giác HDO vuông tại O, có 
Tam giác SHD vuông tại H, có 
Vậy thể tích cần tính là 
Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm
79
91323
637969
91285
Đáp án C
Phương pháp giải:
Chia trường hợp của biến cố, áp dụng các quy tắc đếm cơ bản tìm số phần tử của biến cố
Lời giải:
Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có 
cách 
Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:
TH1. 6 sản phẩm lấy ra 0 có phế phẩm nào => có 
cách
TH2. 6 sản phẩm lấy ra có duy nhất 1 phế phẩm => có 
cách
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là 
Vậy xác suất cần tính là 
Cho một khối nón có bán kính đáy là 9cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 300. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
162cm2
27cm2
27/2cm2
54cm2
Đáp án D
Phương pháp giải: Xác định độ dài đường sinh qua góc và bán kính, tính diện tích tam giác vuông bằng tích hai cạnh góc vuông
Lời giải: Ta có 
Diện tích cần tính là 
Cho tích phân 
với mn là một phân số tối giản. Tính m - 7n
2
1
0
91
Đáp án B
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ t=1+x23 , đưa về tích phân hàm đa thức.
Lời giải:
Đặt 
và 
Khi đó 
Vậy 
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a
7πa23
3πa27
7πa25
7πa26
Đáp án A
Phương pháp giải:
Dựng hình, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và tính bán kính dựa vào tam giác vuông
Lời giải: Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a.
Gọi O là tâm tam giác ABC, M là trung điểm của AA’
Qua O kẻ d1⊥(ABC), qua M kẻ d2⊥AA' và d1∩d2=I
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C
Tam giác IAO vuông tại O, có 
Mà 
Vậy diện tích cần tính là 
Đồ thị hàm số y=6-x2x2+3x-4 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ?
1
0
2
3
Đáp án A
Phương pháp giải: Tìm tập xác định, tính giới hạn của hàm số dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
Lời giải:
Vì hàm số xác định trên khoảng -6;6 không chứa ∞ nên không tồn tại ∞
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
Xét hệ phương trình 
Đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y=x2-2x và y=-x2+x
6
12
9/8
10/3
Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (P1), (P2) là nghiệm của phương trình:
Vậy diện tích cần tính là
Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn 
Tính 
I = 2
I = -1
I = 1
I = 0
Đáp án D
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân
Lời giải: Đặt 
Khi đó 
Số 7100000 có bao nhiêu chữ số ?
85409
194591
194592
84510
Đáp án D
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tìm số chữ số của một số vô cùng lớn
Lời giải:
Số các chữ số của số 7100000 là 
= 84509 + 1 = 84510
Phương trình 
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
1
2
3
0
Đáp án B
Phương pháp giải: Sử dụng công thức lôgarit, đưa về phương trình lôgarit cùng cơ số
Lời giải: Điều kiện: x >1
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.
3391
24455
5891
2491
Đáp án C
Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản.
Lời giải:
Chọn 3 quyển sách trong 15 quyển sách có 
cách => n(Ω) = 455
Gọi X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.
Và X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra không có quyển sách toán. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:
TH1. Lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa => có 
cách
TH2. Lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa => có 
cách
TH3. Lấy được 3 quyển lý, 0 quyển hóa => có 
cách
TH4. Lấy được 0 quyển lý, 3 quyển hóa => có 
cách
Suy ra số phần tử của biến cố X là 
Vậy xác suất cần tính là 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=mx+4x+m nghịch biến trên khoảng (-∞;1)
2≤m≤-1
-2≤m≤2
-2<m<2
-2<m≤-1
Đáp án D
Phương pháp giải:
Dựa vào điều kiện để hàm số b1 trên b1 đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng
Lời giải: Ta có 
Yêu cầu bài toán 
Tìm m để hàm số y=x3-3mx2+3(2m-1)x+1 đồng biến trên R
m = 1
Luôn thỏa mãn với mọi m
Không có giá trị m thỏa mãn
m ≠ 1
Đáp án A
Phương pháp giải:
Dựa vào điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định
Lời giải:
Ta có y=x3-3mx2+3(2m-1)x+1 
R
Hàm số đồng biến trên R 
R 
R
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
a34
3a34
a336
a334
Đáp án A
Phương pháp giải: Dựng chiều cao, xác định góc và độ dài đường cao của khối chóp
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB 
Và H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
Khi đó (SAB); (ABCD) = (SM;MH) = SMH = 600
△SMH vuông tại H, có 
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 
Tìm phần thực của số phức z12+z22 biết rằng z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2-4z+5=0
4
6
8
5
Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai.
Lời giải: Ta có
Giải phương trình cos3x.tan4x = sin5x
x=k2π3,x=π16+kπ8(k∈Z)
x=kπ,x=π16+kπ8(k∈Z)
x=k2π,x=π16+k3π8(k∈Z)
x=kπ2,x=π16+k3π8(k∈Z)
Đáp án B
Phương pháp giải: Quy đồng, đưa về dạng tích và sử dụng công thức tích thành tổng
Lời giải: Điều kiện: 
Ta có cos3x.tan4x=sin5x ó cos3x.sin4x = cos4x.sin5x
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=2mx+1x+m nghịch biến trên 12;+∞
m∈[-12;1)
m∈(12;1)
m∈[12;1]
m∈(-1;1)
Đáp án A
Phương pháp giải:
Dựa vào điều kiện để hàm số bậc nhất trên bậc nhất đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Lời giải:
Ta có 
Hàm số nghịch biến trên
Tính limn4n2+3-8n3+n3
+∞
-∞
23
1
Đáp án C
Phương pháp giải:
Dựa vào phương pháp tính giới hạn (nhân liên hợp) của dạng vô định ∞ - ∞
Lời giải: Ta có 
Khi đó 
Chú ý và sai lầm : Học sinh có thể sử dụng MTCT cho bài toán này
Cho số phức z=-12+32i. Tìm số phức w = 1 + z + z2
-12+32i
0
1
2-3i
Đáp án B
Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng tay tìm số phức w
Lời giải:
Ta có 
Vậy 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;3), B(1;0;5) và đường thẳng (d): x-11=y-2-2=z-32. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d) để MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất
M(2;0;5)
M(1;2;3)
M(3;-2;7)
M(3;0;4)
Đáp án A
Phương pháp giải:
Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng MA2+MB2 đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
Vì 
suy ra AM→=(t-2;4-2t;2t)BM→=(t;2-2t;2t-2)
Khi đó 
Dễ thấy 
Vậy Tmin = 10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 1 => M(2;0;5)
Cho hình trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng a34. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A’B’C’
V=a3324
V=a3312
V=a333
V=a336
Đáp án B
Phương pháp giải:
Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính chiều cao lăng trụ
Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có 
Kẻ 
=> MH là đoạn vuông góc chung của BC, AA’
Mà 
Xét tam giác vuông AA’G có : 
Vậy thể tích cần tính là: 
Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,5% trên 1 tháng. Theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 10 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 10 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
57
56
58
69
Đáp án C
Phương pháp giải: Áp dụng công thức bài toán vay vốn trả góp, hoặc tìm từng tháng, dùng phương pháp quy nạp và đưa về tổng của cấp số nhân
Lời giải:
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là 500(1+0,5%) - 10 triệu đồng.
Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là
[500(1+0,5%) – 10].(1+0,5%) – 10 = 500.(1+0,5%)2 – 10[(1+0,5%)+1] triệu đồng
Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là
500.(1+0,5%)3 – 10[(1+0,5%)2 + (1+0,5%) +1] triệu đồng
Số tiền gốc còn lại sau tháng thứ n là
500(2+0,5%)n – 10[(1+0,5%)n-1 + (1+0,5%)n-2 + … + 1] triệu đồng
Đặt y = 1+0,5% = 1,005 thì ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là
Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết
Vậy sau 58 tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = (x – 1)(x2 – 3)(x4 – 1) liên tục trên R.Tính số điểm cực trị của hàm số y=f(x)
3
2
4
1
Đáp án A
Phương pháp giải:
Giải phương trình f’ bằng 0, tìm nghiệm và lập bảng biến thiên xét điểm cực trị
Lời giải:
Ta có 
Dễ thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua 3 điểm 
=> Hàm số có 3 điểm cực trị.
Cho f(x) là hàm số liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện ∫01f(x)dx=4, ∫03f(x)dx=6. Tính I=∫-11f(2x+1)dx
I = 6
I = 3
I = 4
I = 5
Đáp án D
Phương pháp giải:
Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho
Lời giải:
Ta có
+ Đặt 
và 
. Khi đó 
+ Đặt 
và 
. Khi đó 
Vậy 
Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3x+yx2+y2+xy+2 = x(x-3)+y(y-3)+xy. Tìm giá trị Pmax của biểu thức P=3x+2y+1x+y+6
Pmax = 0
Pmax = 2
Pmax = 1
Pmax = 3
Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.
Lời giải:
log3x+yx2+y2+xy+2 = x(x-3)+y(y-3)+xy (1)
(2)
Đặt 
=> f(t) đồng biến trên (0;+∞)
Khi đó, 
vì 
Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi 
Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh
5005
805
4205
4249
Đáp án C
Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản
Lời giải:
Ta đi làm phần đối của giả thiết, tức là chọn 6 học sinh giỏi chỉ lấy từ một khối hoặc hai khối.
Chọn 6 học sinh giỏi trong 15 học sinh giỏi của 3 khối có C156=5005 cách
Số cách chọn 6 học sinh giỏi bằng cách chỉ lấy từ 1 khối 12 là C66=1
Chọn 6 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 11 có C106=210 cách, tuy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 210 – 1 = 2019 cách
Chọn 6 học sinh giỏi trong 11 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 10 có C116=462 cách, uy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 462 – 1 = 461 cách.
Chọn 6 học sinh giỏi trong 9 học sinh giỏi của 2 khối 11 và 10 có C96=84 cách
Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5005 – 209 – 461 – 84 – 1 = 4250 cách
Một nhà máy cần sản suất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là ?
R = 2h
h = 2R
h = 3R
R = h
Đáp án B
Phương pháp giải: Chuẩn hóa thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm số, khảo sát hàm (hoặc bất đẳng thức) tìm min
Lời giải:
Thể tích của khối trụ là 
Chuẩn hóa 
Diện tích toàn phần của hình trụ là 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3), B(3;4;4), C(2;6;6) và I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính S = a+b+c
635
465
313
10
Đáp án B
Phương pháp giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam giác
Lời giải:
Ta có AB→=(2;2;1)AC→=(1;4;3)⇒AB→;AC→=(2;-5;6)=> Phương trình (ABC): 2x – 5y + 6z – 10 = 0
Vì I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 
Lại có 
Kết hợp với 
. Vậy S = 465
Cho log9x=log12y=log16x+3y. Tính giá trị xy
3-52
5-12
3+132
13-32
Đáp án D
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về giải phương trình mũ (dạng đẳng cấp bậc hai)
Lời giải:
Đặt 
và 
Suy ra 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(–2;1;4) và mặt phẳng(P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N∈(P) sao cho S=2NA2+NB2+NC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
N-2;0;1
N-43;2;43
N-12;54;34
N-1;2;1
Đáp án D
Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Lời giải:
Gọi M(a;b;c) thỏa mãn đẳng thức vectơ 2MA →+MB→+MC→=0→
Khi đó S=2NA2+NB2+NC2 = 2NA2→+NB2→+NC2→ = 2MN→+MA→2+MN→+MB→2+MN→+MC→2
= 4MN2+2NM→2MA→+MB→+MC→ + 2MA2→+MB2→+MC2→
= 4MN2+2MA2→+MB2→+MC2→
Suy ra Smin ó MNmin ó N là hình chiếu của M trên(P) => MN⊥(P)
Phương trình đường thẳng MN là 
Mà m∈mp(P) suy ra t–(1–t)+t+2+2=0 ó t = –1 => N(–1;2;1)
Cho hàm số y=x4-2(1-m2)x2+m+1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất
m = 0
m = -12
m = 1
m = 12
Đáp án A
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác
Lời giải: TXĐ : D = R
Ta có 
R
Phương trình 
Hàm số có 3 điểm cực trị ó (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 
Khi đó 
Gọi 
; 
là ba điểm cực trị. Tam giác ABC cân tại A.
Trung điểm H của BC là 
Và 
Diện tích tam giác ABC là 
Mà 
R suy ra 
Vậy Smax = 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+c>b+1a+b+c+1<0. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3+ax2+bx+c và trục Ox
0
2
3
1
Đáp án C
Phương pháp giải:
Chọn hệ số a, b, c hoặc đánh giá tích để biện luận số nghiệm của phương trình
Lời giải:
Cách 1. Ta có: 
Lại có 
có 3 nghiệm thuộc khoảng 
Cách 2. Chọn 
và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện (x+y).xy=x2+y2–xy. Giá trị lớn nhất của biểu thức M=1x3+1y3 là
18
1
9
16
Đáp án D
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến
Lời giải:
Từ giả thiết chia cả 2 vế cho x2y2 ta được : 
Đặt 
ta có 
Khi đó 
Ta có 
mà 
nên 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
. Vậy Mmax = 16
Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất ?
263π
π3
π2
π4
Đáp án A
Phương pháp giải:
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn
Lời giải:
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.
Thể tích của khối nón là 
với l là độ dài đường sinh và l = R bán kính tấm bìa hình tròn => 
vì chuẩn hóa R = 1
Xét hàm số 
trên (0;1) có 
Ta có 
Do đó 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón
