Tổng hợp đề thi thử THPT quốc gia môn Toán cực hay có lời giải - Đề 2

Đáp án B

Phương pháp:

Khi chọn bất kì bộ 3 số từ các số của tập số đã cho, ta luôn sắp xếp 3 số đó theo thứ tự từ bé đến lớn bằng duy nhất một cách.

Nếu trong 3 số đã chọn, tồn tại số 0 thì do  a<b<c nên a = 0: Loại.

Vậy, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài bằng số cách chọn bất kì 3 số trong tập số {1;2;3;4;5;6}

Cách giải: Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài bằng số cách chọn bất kì 3 số trong tập số {1;2;3;4;5;6} và bằng $C_{20}^3=20$

Đáp án C

Phương pháp:

Kiểm tra M nằm trong hay ngoài mặt cầu.

Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ nhất  là lớn nhất  

Cách giải:

$x^2+y^2+z^2=9$ có tâm O(0;0;0) 

Nhận xét: Dễ dàng kiểm tra điểm M nằm trong (S), do đó, mọi mặt phẳng đi qua M luôn cắt (S) với giao tuyến là 1 đường tròn.

Để giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đó là nhỏ nhất.  là lớn nhất.

Mà  lớn nhất khi M trùng I hay OM vuông góc với (P) 

Vậy, (P) là mặt phẳng qua M và có VTPT là  

Phương trình mặt phẳng (P) là:

Đáp án B

Phương pháp: Số phức z = a+bi (a,b $\in$ Z) có phần thực là a, phần ảo là b.

Cách giải:

 có phần thực là 7

Đáp án A

Phương pháp: Cho $\overrightarrow{u_1}$; $\overrightarrow{u_2}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α), khi đó $\overrightarrow{n}$ =[$\overrightarrow{u_1}$, $\overrightarrow{u_2}$] là một vectơ pháp tuyến của (α)

Cách giải:

Gọi mặt phẳng cần tìm là (α)

(P): x+3y$-$2z$-$1=0 có một VTPT  

Vì  

Khi đó, (α) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}$ =[$\overrightarrow{u_1}$, $\overrightarrow{u_2}$] = (5;$-$1;1)

Phương trình (α): 5x$-$y+z$-$9=0

Đáp án C

Phương pháp: G là trực tâm tam giác MNP 

Cách giải: G(x₀;y₀;z₀) là trực tâm tam giác MNP 

Mặt phẳng (MNP) có một VTPT 

Phương trình (MNP): 2x+3y-z-4=0

Từ (1),(2),(3), suy ra 

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích hình hộp  trong đó:

B: diện tích đáy,

h: chiều cao

Cách giải:

Do AA’ // CC’ nên (AA’,ABCD) = (CC’,ABCD) = 60⁰

Hình thoi ABCD có AB = CD = BC = DA = a. BD= B'D' = $a\sqrt{3}$

Tam giác OAB vuông tại O:

Diện tích hình thoi ABCD: 

Tam giác A’AH vuông tại H:

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:

Đáp án A

Phương pháp: Cho z₁, z₂ là hai số phức bất kì, khi đó | z_1.z₂ | = |z₁|.|z₂|

Cách giải: Ta có:

Đáp án D

Phương pháp: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số (nếu có) của từng đáp án.

Cách giải:

$y=\frac{x^2-1}{x+2}$ có một tiệm cận đứng là x = -2

y = lnx có một tiệm cận đứng là x = 0

y = tanx có vô số tiệm cận đứng là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi , k\in Z$

$y=e^{\frac{-1}{\sqrt{x}}}$ không có tiệm cận đứng, vì

+) TXD: $D=\left(0;+\infty \right)$

+) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{-1}{\sqrt{x}}}=0$

Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng (1+i)² = 1+2i+i² = 1+2i – 1 = 2i

Cách giải:

Như vậy, chỉ có số phức (1+i)⁸ là số thực

Đáp án D

Phương pháp: Công thức A_n = M(1+r%)ⁿ

Với: A_n là số người sau năm thứ n,

M là số người ban đầu,

n là thời gian gửi tiền (năm),

r là tỉ lệ tăng dân số (%)

Cách giải: Từ 1/2017 đến năm 2020 có số năm là: 3 năm

Dân số Việt Nam đến năm 2020:

triệu người

Đáp án B

Phương pháp: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$

Cách giải: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$ = $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \left(\right(x-1)+1)}{x-1}$ = 1

Đáp án B

Phương pháp: 

Cách giải:

Đáp án D

Phương pháp: Công thức từng phần:

Cách giải: Đặt

Đáp án B

Phương pháp: (P)//(Q): x+2y+3z+2 = 0 => (P): x+2y+3z+m, m≠2

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) và tìm hằng số m

Cách giải:

(P)//(Q): x+2y+3z+2 = 0 => (P): x+2y+3z+m, m≠2

Mà 

Đáp án C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa hai đường thẳng: Cho a, b là hai đường thẳng bất kì, đường thẳng a’ // a => (a;b) = (a’;b)

Cách giải:

Gọi O, M lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD và trung điểm của SA

=> MO là đường trung bình của tam giác SAC

=>MO//SC

=>(BD,SC)=(BD,MO)

+) ABCD là hình chữ nhật

+) M là trung điểm SA

Tam giác MAB vuông tại A 

Tam giác MAO vuông tại A

+) Xét tam giác MBO:

Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b, a<b

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y = x²  và y = x+2

Diện tích hình (H):

Đáp án A

Phương pháp:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Vẽ đường thẳng (d) qua O và vuông góc đáy.

- Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì cắt (d) tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm và bán kính R = IA = IB =IC = …

Cách giải:

ABCD là hình thang cân => ABCD là tứ giác nội tiếp => Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trùng với đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD.

Gọi I là trung điểm AD. Do AB = CD = BC = a, AD = 2a, ta dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD, SA.

Þ MI, MN là các đường trung bình của tam giác SAD

Þ MI//SA, MN//AD

Mà 

Þ MB = MC = MD = MA, MN là trung trực của SA

Þ MB = MC = MD = MS (=MA)

Þ M là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD

Bán kính 

Thể tích mặt cầu:

Đáp án B

Phương pháp: Đặt t = $-$x

Cách giải: I = ${\int }_{-1}^1\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=1$ (1)

Đặt t = $-$x => dt = $-$dx

Đổi cận 

Khi đó:

 (do  là hàm chẵn) 

Từ (1), (2), suy ra

Đáp án A

Phương pháp:

- Xác định góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P):

Bước 1: Xác định giao điểm I của AB và (P)

Bước 2: Từ B hạ BH vuông góc với (P)

Bước 3: Nối IH =>  Góc HIB là góc tạo bởi AB và (P).

Cách giải:

Gọi D là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều => CD $\perp$AB

Mà CD $\perp$ SA, do SA $\perp$ (ABC)

=> CD $\perp$ (SAB) => (SC, (SAB)) = (SC, SD) = CSD

Tam giác ABC đều, cạnh a, M là trung điểm AB

Tam giác ADS vuông tại A

Tam giác SDC vuông tại D

Đáp án D

Phương pháp:

+) Dãy số (u_n) với  là dãy cấp số cộng, với u₁ = 1, công sai d = 2

Số hạng tổng quát của dãy 

+) Dãy số 

Cách giải

Dãy số  là dãy cấp số cộng, với u₁ = 1 công sai d = 2

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức nhị thức Newton 

Cách giải:

Ta có  

Cho x =1

Đáp án A

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho $∆$ có VTCP $\overrightarrow{u}$ và qua M; $∆$' có VTCP $\overrightarrow{v}$ và qua M’

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A'(0;0;0), B'(0;a;0), C'(a;a;0), D'(a;0;0)

A(0;0;a), B(0;a;a), C(a;a;a); D(a;0;a), M(a/2;a;a)

Đường thẳng AM có VTCP  và qua A(0;0;a)

Đường thẳng DB’ có VTCP  và qua D(a;0;a)

$\overrightarrow{AD }=(a;0;0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’: 

Ta có:

Vây, khoảng cách giữa AM và DB’ là $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ 

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá số nghiệm của phương trình

Cách giải:

Hàm số  nghịch biến trên R => f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên R(1)

Ta có:  có ít nhất 1 nghiệm 

Từ (1), (2) suy ra: phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực 

Đáp án C

Phương pháp: Từ BBT của đồ thị hàm số y = f(x) suy ra BBT của đồ thị hàm số y = f(|x|), số nghiệm của phương trình f(|x|) = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(|x|) và đường thẳng y = f(0) 

Cách giải: Từ bảng biến thiên hàm số y = f(x) ta có bảng biến thiên hàm số f(|x|) = f(0) như sau:

Suy ra, phương trình f(|x|) = f(0) có 3 nghiệm

Đáp án C

Phương pháp:

+)  đồng biến trên (a;b)

+)  nghịch biến trên (a;b)

Cách giải:

Quan sát đồ thị của hàm số y = f’(x), ta thấy:

+)  đồng biến trên (a;b) => f(a) > f(b)

+)  nghịch biến trên (b;c) => f(b)<f(c)

Như vậy, f(a)>f(b), f(c)>f(b)

Đối chiếu với 4 phương án, ta thấy chỉ có phương án C thỏa mãn

Đáp án A

Phương pháp: Logarit hai vế, đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Cách giải:

Đáp án A

Phương pháp: Xác định đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian:

- Lấy hai vectơ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ lần lượt là các VTCP của đường thẳng a, b ($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$có cùng độ dài).

- Tìm giao điểm M của a và b.

- Phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b là đường thẳng qua M và có VTCP là $\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}$

Cách giải:

Tìm giao điểm M của $d_1, d_2$

Giải hệ phương trình 

$d_1$ có 1 VTCP là 

$d_2$ có 1 VTCP là 

Suy ra, đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1 2 d d, có 1 VTCP là 

Phương trình đường phân giác cần tìm là $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-3}$

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số và đánh giá dấu của các hệ số a, b.

Cách giải: Đồ thị hàm số  có 

(C) có ba cực trịó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  vì a>0

Vậy a>0, b<0

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng thể tích hình cầu đường kính AD trừ đi thể tích hình nón tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AD.

Cách giải:

*) Tính thể tích hình cầu đường kính AD:

Tam giác ABC đều, cạnh a

*) Tính thể tích hình nón (H) tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AH:

Hình nón (H) có đường cao   , bán kính đáy 

*) Tính V

Đáp án D

Phương pháp:

Chuyển vế, lấy mođun hai vế.

Cách giải:

Đáp án D

Phương pháp: Chuyến sang hệ trục tọa độ trong không gian.

Cách giải:

Lấy  bất kì, M(1;1;1), N(2;1;0)

Ta thấy  N nằm khác phía so với mặt phẳng

Khi đó, S là giao điểm của MN và (P).

*) Xác định tọa độ của S: 

Phương trình đường thẳng MN: 

Vậy, biểu thức A đạt GTNN tại 

Đáp án B

Phương pháp:

- Gắn hệ trục tọa độ Oxy, xác định phương trình hàm số bậc ba.

- Ứng dụng tích phân vào tính thể tích.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Gọi phương trình của đường sinh là: 

Theo đề bài, ta có: (C) có điểm cực đại (0;3), điểm cực tiểu là (2;1)

Từ (1),(2),(3) và (4)

Thể tích đã cho vào:

Thể tích 1 viên bi là 

Cần số viên bi:  (viên)

Đáp án C

Phương pháp:

Đáp án B

Phương pháp:

Đồ thị của hàm số y = f(x) có hai tiệm cận ngang ó Tập xác định của y = f(x) chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực và $\exists$ a,b $\in$R, a$\ne$b: 

Cách giải: 

Điều kiện xác định: 

Đồ thị hàm số  có 2 tiệm cận ngang => Tập xác định D phải chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực

Ta tìm m để tồn tại giá trị của a $\in$ R

TH1: . Khi đó R

TH2: . Khi đó  R

R, 

+) Giải phương trình:

Vậy, với mọi số nguyên  hàm số  luôn có 2 tiệm cận ngang.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019 số.

Đáp án A

(Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, tổng quát 

Mặt khác ta có

Đáp án A

+) Nếu m ≥ 0 thì 

min y = 2 => m = 2

+) Nếu m < 0 thì  có nghiệm

min y = 0 ≠ 2 => Không có giá trị của m để hàm số có GTNN bằng 2.

Vậy S = {2} => Tổng só phần tử của S bằng 2

Đáp án B

Phương pháp:

- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất ó d(I;(P)) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Cách giải:

có tâm  I(1;2;3) và bán kính R = 5

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất <=> d(I;(P)) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Ta có

Ta tìm giá trị lớn nhất của . Gọi m là giá trị của  với c nào đó.

Ta có:

(*) có nghiệm 

Khi đó 

Đáp án A

Cho số phức z = x + yi (x,y $\in$ R) , S(x,y) là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy

Lấy các điểm A(2;$-$3), B($-$2;$-$1)

Phương trình 

=> Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm A(2;$-$3), B($-$2;$-$1) và có độ dài trục lớn là 

Lấy M(4;$-$4). Dễ dàng kiểm tra được 

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB => I(0;$-$2), N là điểm đối xứng của M qua I. Khi đó, với mọi điểm 

 khi và chỉ khi S trùng N  khi và chỉ khi 

Đáp án A

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.

- Lập tỉ lệ thể tích thông qua tỉ lệ diện tích đáy và tỉ lệ chiều cao.

Cách giải:

Xét hình nón (H) thỏa mãn yêu cầu đề bài, có một thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Ta có: SAB cân tại S và là tam giác vuông cân => $△$SAB vuông cân tại đỉnh S

Gọi O là trung điểm của AB 

Thể tích hình nón (H): 

Gọi (P) là một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60⁰ thiết diện của (P) với mặt đáy là tam giác cân SMN.

Gọi I là trung điểm của MN (hiển nhiên I không trùng O), suy ra IO$\perp$MN. Mà SO$\perp$MN

Tam giác SIO vuông tại O

Gọi V₀ là thể tích của phần nhỏ hơn. Ta có: 

*) Tính diện tích đáy của phần có thể tích nhỏ hơn:

Diện tích hình tròn 

Đặt 

Đổi cận:

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá số nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Xét hàm số 

ta có 

=> y = f(x) đồng biến trên khoảng 

(2)

mà 

=> Để phương trình (2) có nghiệm thì 

m$\in$Z => m$\in${-1;0;1}

Vậy, có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Đáp án A

*) Phương trình  có nghiệm trên 

* Xét hàm số  

k $\in$Z

Mà 

Bảng biến thiên

+) Nếu  điệu tăng từ 1 đến 2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trên đoạn này ( Nghiệm khác $\frac{\pi }{2}$)

+) Nếu  thì $2^{\sin x}$ đơn điệu giảm từ 2 xuống 2 : Phương trình  có 1 nghiệm duy nhất trên đoạn này ( Nghiệm khác $\frac{\pi }{2}$)

Vậy, trên  phương trình  có tất cả 3 nghiệm