Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề số 15)
50 câu hỏi
Tìm hoành độ các giao điểm của đường thẳng y=2x−134 với đồ thị hàm số y=x2−1x+2
x=2±22
x=−114;x=2
x=1;x=2;x=3
x=−114
Đáp án B
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=2x−134với đồ thị hàm số y=x2−1x+2 là nghiệm của phương trình
2x−134=x2−1x+2 DK x≠−2
⇔2x2+4x−134x−132=x2−1⇔x2+34x−112=0⇔x=2x=−114
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+11−x trên đoạn 2;3
1
-2
0
-5
Đáp án D
y=2x+11−xy'=3(1−x)2>0∀x∈[2;3]⇒min[2;3]y=y(2)=−5
Một tổ học sinh có 7nam và 3nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn là nữ.
115
715
815
15
Đáp án A
A:" chọn 2 người đều là nữ"
n(Ω)=C102n(A)=C32P(A)=C32C102=115
Nghiệm của phương trình cosx=−12 là
x=±2π3+k2π
x=±π6+kπ
x=±π3+k2π
x=±π6+k2π
Đáp án A
cosx=−12⇔x=±2π3+k2π
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x44+x22−1 tại điểm có hoành độ x0=−1 bằng:
-2
Đáp số khác
2
0
Đáp án D
y=x44+x22−1y'=x3+x
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x44+x22−1 tại điểm có hoành độ x0=−1 bằng y'(−1)=0
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
y=x+1
y=x2
y=x−1x+2
y=sinx
Đáp án D
Hàm y=sinx là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2π
Cho đồ thị H: 2x−4x−3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox
y=2x
y=−2x+4
y=−2x−4
y=2x−4
Đáp án B
y=2x−4x−3y'=−2x−32
Tọa độ giao điểm của (H )với Ox là A2;0
Phương trình tiếp tuyến (H )của tại A2;0 là :
y=y'2x−2⇔y=−2x+4
Cho hàm số fx=2x−1x+1 xác định trên ℝ\1.Đạo hàm của hàm số f(x) là:
f'x=1x+12
f'x=2x+12
f'x=−1x+12
f'x=3x+12
Đáp án D
fx=2x−1x+1f'x=2.1−−1.1x+12=3x+12
Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?
y=2x+1x+1
y=x+31−x
y=x+2x+1
y=x−1x+1
Đáp án A
Từ đồ thị hàm số ta thấy đây là đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
y=ax+bcx+d với y'>0
Do y'>0 nên loại đáp án C
TNC : y=2=ac
đáp án A
Cho một cấp số cộng un có u1=13;u8=26. Tìm công sai
d=113
d=103
d=310
d=311
Đáp án A
un là cấp số cộng nên:
u8=u1+7d⇔26=13+7d⇔d=113
Đồ thị hàm số y=x2+x+1−5x2−2x+3 có bao nhiêu đường tiệm cận?
4
3
2
1
Đáp án B
y=x2+x+1−5x2−2x+3 TXD D=R\−1;35
limx→∞y=limx→0x2+x+1−5x2−2x+3=limx→01+1x+1x2−5−2x+3x2=−15
⇒y=−15 là TCN của đồ thị hàm số
limx→−1y=limx→−1x2+x+1−5x2−2x+3=10=∞
⇒x=−1 là TCD của đồ thị hàm số
limx→35y=limx→35x2+x+1−5x2−2x+3=49250=∞
⇒x=35 là TCĐ của đồ thị hàm số
Cho tứ diện đều S.ABC là trung điểm của canh BC Khi đó cos( AB,DM) bằng:
36
22
32
12
Đáp án A
DM→=12DB→+DC→=12AB→−AD→+AC→−AD→=12AB→−AD→+12AC→AB→.DM→=12AB→2−AB→.AD→+12AB→.AC→=12a2−a.a.cos600+12a.a.cos600=14a2⇒a.a32cosAB→;DM→=14a2⇔cosAB→;DM→=36⇒cosAB;DM=36
Trong các hàm số sau , hàm số nào đồng biến trên R
y=x4+x2+1
y=x3+1
y=4x+1x+2
y=tanx
Đáp án B
Hàm số đồng biến trên R nên loại được đáp án C và D.
Ta thấy hàm y=x3+1 có y'=3x2≥0∀x∈R nên hàm số y=x3+1 đồng biến trên R.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA⊥ABCD và SA= a3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
a33
a3312
a333
a34
Đáp án C
VS.ABCD=13SA.SABCD=13a3a2=a333
Chọn kết quả đúng của limx→+∞1+3x2x2+3
−322
−22
322
22
Đáp án C
limx→+∞1+3x2x2+3=limx→+∞1+3xx2+3x2=limx→+∞1x+32+3x2=32
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau.Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
0
2
Vô số
1
Đáp án D
a và b chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b vì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Cho khối lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích là V, thể tích của khối chóp C'ABC là:
2V
12V
13V
16V
Đáp án C
VC'.ABCVABC.A'B'C'=13dC';ABC.SABCdC';ABC.SABC=13
Công thức tính số tổ hợp là:
Cnk=n!n−k!
Cnk=n!n−k!k!
Ank=n!n−k!
Ank=n!n−k!k!
Đáp án B
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử, kí hiệu là Cnk và được cho bởi công thức :Cnk=n!k!n−k!
Cho tứ diện ABCD có AB=AC và DB=DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB⊥ABC
AC⊥BD
CD⊥ABD
BC⊥AD
Đáp án D
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì ΔABC cân tại A nên AI⊥BC (1)
Vì ΔDBC cân tại D nên DI⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥AID⇒BC⊥AD.
Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là
6
7
8
9
Đáp án D
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là :
V=Bh
V=13Bh
V=12Bh
V=43Bh
Đáp án A
V=B.h
Cho hàm số fx=2x+8−2x+2, x>−20 ,x=−2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I limx→−2+fx=0
II fx liên tục tại x=−2
III fx gián đoạn tại x=−2
Chỉ (III)
Chỉ (I)
Chỉ ( I) và (II)
Chỉ (I) và (III)
Đáp án D
f(x)=2x−8−2x+2,x>−20,x=−2limx→−2+f(x)=limx→−2+2x−8−2x+2=limx→−2+2x−8−4x+2x+22x−8+2=limx→−2+2x+22x−8+2=0f(−2)=0=limx→−2+f(x)
Vì ∃limx→−2−f(x) nên ∃limx→−2f(x) do đó hàm số không liên tục tại x=-2.
Khẳng định nào sau đây đúng
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau
Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia
Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
Đáp án C
Cho khối chóp S.ABC trên ba cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' sao cho SA'=12SA; SB'=13SB; SC'=14SC, Gọi V và V' lần lượt là thể tích của khối chóp S.ABC và S.A'B'C' Khi đó tỉ số V'V là:
12
112
24
124
Đáp án D
V'V=VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SASB'SBSC'SC=121314=124
Nghiệm của phương trình An3=20n là:
n=6
n=5
n=8
không tồn tại
Đáp án A
An3=20n⇔n!n−3!=20n⇔nn−1n−2=20n⇔n3−3n2+2n−20n=0⇔n=0(L)n=−3(L)n=6(tm)
Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây là đúng
y2=y'2=4
y2=y'2=4
4y−y''=0
y=y'tan 2x
Đáp án C
y=sin2xy'=2cos2xy''=−4sin2x⇒4y+y''=0
Hàm số fx=x2+x+1x+1 có bao nhiêu điểm cực trị?
3
2
1
0
Đáp án B
f(x)=x2+x+1x+1 TXD D=R\−1
f'(x)=2x+1x+1−x2−x−1x+12=x2+2xx+12f'(x)=0⇔x2+2x=0⇔x=0x=−2
Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
y=−x4+4x2
y=−x4−2x2
y=−14x4+3x2
y=x4−3x2
Đáp án A
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm y=ax4+bx2+c với a<0 do đó loại được đáp án D.
Hàm có 3 cực trị ⇔−ba>0⇔b>0 loại được đáp án B.
xcd=±2⇒đáp án A đúng
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và tam giác ABC vuông tại B Vẽ SH⊥ABC, H∈ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
H trùng với trực tâm tam giác ABC
H trùng với trọng tâm tam giác ABC
H trùng với trung điểm của AC
H trùng với trung điểm BC
Đáp án D
Vì SA=SB=SC nên HA=HB=HC
H là tâm đường ngoại tiếp tam giác vuông ABC
H là trung điểm của AC.
Trong khai triển x+2x6 , hệ số của x3 x>0 là:
60
80
160
240
Đáp án A
Ta có :
x+2x6=x+2x−126=∑k=06C6kx6−k2x−12k=∑k=06C6k.2k.x6−3k2
Suy ra phương trình :
6−3k2=3⇔3k2=3⇔k=2
Hệ số của x3 trong khai triển là : C62.22=60
Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại A, AC=AB=2a góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) bằng 30° Thể tích khối lăng trụ ABC A'B'C' là
4a33
4a333
2a333
4a233
Đáp án D
A'C;BC=A'C;A'C'=∠CA'C'=300CC'=A'C'.tan300=2a33=23a3VABC.A'B'C'=CC'.SABC=23a3.12.2a.2a=43a33
Đồ thị sau đây là của hàm số y=x4−3x2−3. Với giá trị nào của m thì phương trình x4−3x2+m=0 có ba nghiệm phân biệt ?
m= -3
m= -4
C m= 0
m= 4
Đáp án C
x4−3x2+m=0(1)⇔x4−3x2−3=−3−m(*)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
⇔−3−m=−3⇔m=0
Cho hàm số: y−1−mx4−mx2+2m−1. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng một cực trị
m< 0
m<0 v m>1
m≤0 v m≥1
m> 1
Đáp án C
y=1−mx4−mx2+2m−1y'=41−mx3−2mx=2x21−mx2−m
TH1: ta có m= 1 đồ thị hàm số y'=2x có đúng một cực trị.
TH2: m≠1 Để đồ thị hàm số có đúng một cực trị <=> phương trình 21−mx2m=0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệp kép x= 0
⇔Δ'<0m=0⇔2m1−m<0m=0⇔m∈−∞;0∪1;+∞m=0
Kết hợp điều kiện ta được m≤0 hoặc m≥1
Tính giới hạn lim 1−1221−132...1−1n2
1
12
14
32
Đáp án B
Sn=1−1221−132...1−1n2=1−121−13...1−1n×1+121+13...1+1n
1−121−13...1−1n=12.23...n−1n=1n1+121+13...1+1n=32.43...n+1n=n+12⇒Sn=1n.n+12=n+12nlimSn=limn+12n=lim1+1n2=12
Cho hàm số: y=−x33+a−1x2+a+3x−4. Tìm a để hàm số đồng biến ừên khoảng (0;3)
a≥127
a<−3
a≤−3
a>127
Đáp án A
y=−x33+a−1x2+a+3x−4y'=−x2+2a−1x+a+3
Để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) ⇔Δ'>0y'(0)≥0y'(3)≥0
⇔a−12+a+3>0a+3≥0−9+6a−1+a+3≥0⇔a2−a+4>0a≥−37a−12≥0⇔a≥−3a≥127⇔a≥127
Tìm m để phương trình 2sin2x+m.sin 2x=2m vô nghiệm
m<0; m≥43
m≤0; m≥43
0≤m≤43
m<0m>43
Đáp án D
2sin2x+msin2x=2m⇔1−cos2x+msin2x=2m⇔msin2x−cos2x=2m−1
Để phương trình vô nghiệm
⇔2m−12>m2+1
⇔3m2−4m>0⇔m∈−∞;0∪43;+∞
Một chất điểm chuyển động theo quy luật St=1+3t2−t3. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu
t=2
t=1
t=3
t=4
Đáp án B
St=1+3t2−t3vt=S't=6t−3t2
v(t)là hàm bậc hai nên : vmax=3⇔t=1
Cho đồ thị (C) của hàm số: y=1−xx+22. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
C có 2 điểm cực trị
C có một điểm uốn
C có một tâm đối xứng
C có một trục đối xứng
Đáp án D
y=1−xx+22y'=−x+22+1−x2x+2=−3x2−6xy'=0⇔x=0x=2y''=−6x−6y''=0⇔x=−1
Suy ra đồ thị hàm số có 2 cực trị, một tâm đối xứng chính là điểm uốn.
Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để của hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000đồng.
44.000đ
43.000đ
42.000đ
41.000đ
Đáp án C
Gọi x ( nghìn đồng) (x>0) là giá bán mới. Khi đó:
Số giá bán ra đã giảm là: 50-x
Số lượng bưởi bán ra tăng lên là:5050−x5=500−10x
Tổng số bưởi bán được là:40+500−10x=540−10x
Doanh thu cửa hàng là:540−10xx
Vốn là:540−10x30
Lợi nhuận:
L(x)= doanh thu- vốn =540−10xx- 540−10x30=−10x2+840x−16200
L'(x)=−20x+840L'(x)=0⇔x=42
Vậy để cửa hàng có lợi nhuận nhất khi bán bưởi với giá là 42000 đồng.
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc φ . Thể tích của khối chóp đó bằng
a3tanφ12
a3cotφ12
a3tanφ6
a3cotφ6
Đáp án A
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC⇒SH⊥ABC
SA;ABC=SA;HA=∠SAH=φAH=23.a32=a33SH=AH.tanφ=a33tanφVS.ABC=13.SH.SABC=13.a33tanφ.a234=a3tanφ12
Cho hình chóp S.ABCD đáy là ABCD vuông cân ở B, AC=a2,SA⊥mpAABC,SA=a. Gọi Glà trong tâm của ΔABC, mp α đi qua và AG và song song với BC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi Vlà thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S Tính V
4a39
4a327
4a327
2a39
Đáp án C
Qua G kẻ MN//BC(M∈SC,N∈SB)
VS.AMNVS.ABC=SASASMSBSNSC=2323=49⇒V=59VS.ABC=59.13.SA.SABC=59.13.a.12.a2=5a354
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60° Tính độ dài đường cao SH
SH=a23
SH=a32
SH=a2
SH=a33
Đáp án C
AE⊥BCSE⊥BC⇒SBC;ABC=SE;AE=∠SEA=600HE=13.a32=a36SH=HE.tanSEA=a36.3=a2
Tìm m để phưong trình sau có nghiệm 4−x+4+x3−616−x2+2m+1=0
m∈ℝ
m>−1−1622
−412≤m≤−1−1622
m<−412
Đáp án C
4−x+4+x3−616−x2+2m+1=0 (*) ĐK x∈−4;4
Đặt S=4−x+4+x,S∈22;4P=4−x.4+x=16−x2,P∈0;4
Khi đó phương trình đã cho trở thành
S3−6P+2m+1=0S2=2P+8⇔P=S2−82S3−6S2−82+2m+1=0⇔P=S2−82(1)S3−3S2+24+2m+1=0(2)
Để phương trình (*) có nghiệm
hệ phương trình trên có nghiệm S≥22,P≥0 và S2>4P
phương trình (2) có nghiệm S∈22;4
f(S)=S3−3S2+25,S∈22;4f'(S)=3S2−6Sf'(S)=0⇔S=0(L)S=2(L)
Bảng biến thiên
Tìm nghiệm của phương trình sin2x+sinx=0 thỏa mãn điều kiện −π2<x<π2
x=π2
x=π
x= 0
x=π3
Đáp án C
sin2x+sinx=0⇔sinx=0sinx=−1⇔x=kπx=−π2+k2π
x=kπ vì −π2<x<π2 nên:
−π2<kπ<π2⇔−12<k<12,k∈Z⇔k=0⇒x=0
x=−π2+k2π vì −π2<x<π2 nên
−π2<−π2+k2π<π2⇔0<k<12,k∈Z⇔k∈∅
Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng a34 .Khi đó thể tích của khối lãng trụ là
a3312
a336
a333
a3324
Đáp án A
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì BC⊥A'GBC⊥AI⇒BC⊥AA'I
Hạ IH⊥AA'⇒IH⊥BC
⇒dAA';BC=IH=a34AI=a32⇒AH=AI2−HI2=3a4AG=23AI=a33A'G=AG.tanA'AG=a33.HIAH=a33a343a4=a3VABC.A'B'C'=A'G.SABC=a3.a234=a3312
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức h=3 cosπt6+π3+12 .Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngán nhất ?
t= 22h
t=15h
t=14h
t=10h
Đáp án D
h=3cosπt6+π3+12
Vì −1≤cosπt6+π3≤1⇒9≤h≤15
maxh=15⇔cosπt6+π3=1⇔πt6+π3=k2π⇔t=−2+12k
Thời gian ngắn nhất ⇒t=−2+12=10(h)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại B, AB=BC=a, AA'=a2, M là trung điểm BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C
a7
a32
2a5
a3
Đáp án A
Gọi E là trung điểm của BB'⇒ME//B'C⇒AME//B'C
⇒dAM;B'C=dB'C;AME=dC;AME
Vì BC∩AME=M,BM=MC⇒dC;AME=dB;AME
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).
Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên
1h2=1BA2+1BM2+1BE2=1a2+4a2+2a2=7a2
Vậy dAM,B'C=a7
Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4
249
1500
3204
2942
Đáp án B
Gọi số cần tìm có dạng abcdef¯ .
· Số cần tìm có dạng 154def¯ . Khi đó d có 7 cách chọn, e có 6 cách chọn, f có 5 cách chọn.
có 210 cách chọn.
· Số cần tìm có dạng a154ef¯ . Khi đó a có 6 cách chọn, e có 6 cách chọn, f có 5 cách chọn.
có 180 cách chọn.
Hai khả năng ab154f¯ và abc154¯ cũng có số cách chọn như a154ef¯ .
Suy ra có tổng số cách chọn là: 210+180.3.2=750
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đạy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3200 cm3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2. Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
170 cm3
140 cm3
150 cm3
160 cm3
Đáp án D
Gọi kích thước của đáy là a;b a<b. .Khi đó chiều cao của hố là h=2a . Ta có:
V=Sd.h=2a2b
Diện tích nguyên vật liệu cần dùng là:
S=Sd+Sxq=ab+2a+bh=4a2+5ab=4a2+5aV2a2=4a2+5V2a
Xét hàm số:
f(a)=4a2+5V2a,a>0f'(a)=8a−5V2a2f'(a)=0⇔a=5V163=10
Bảng biến thiên
Vậy khi a=10 thì hố ga được xây sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.
V=2a2b⇒b=16 vậy Sd=160cm2
Trong mặt phẳngOxy, tìm phương tình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn C:x2+y2=1 qua phép đối xứng tâm I(1;0)
x+22+y2=1
x2+y+22=1
x−22+y2=1
x2+y−22=1
Đáp án A
C:x2+y2=1O0;0,R=1ĐIO=O'⇒O'2;0C':x−22+y2=1
