Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 8)
50 câu hỏi
Tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a, AB vuông góc với mặt phẳng BCD, AB=2a. M là trung điểm của AD, gọi φ là góc giữa đường thẳng CM với mp(BCD), khi đó:
tanφ=32
tanφ=233
tanφ=322
tanφ=63
Đáp án B
Gọi I là trung điểm BD. Khi đó ICM^=φ
Ta có: tanφ=IMCI=aa32=233
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAC=60o, SA vuông góc với mp(ABCD) góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°. Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng:
a23
2a
3a4
a
Đáp án C
Gọi E và H lần lượt là hình chiếu của A lên CB và SE
Ta có: AE=ABsinABE^=sin60°=a32
AH=AEsin60°=32a.32=3a4
Tính giới hạn L=limx→11−x2−x−1
L=-6
L=- 4
L= 2
L=- 2
Đáp án C
L=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+11−x=limx→12−x+1=2
Cho hàm số y=lnx Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Miền giá trị của hàm số là khoảng 0;+∞
Đồ thị không có đường tiệm cận đứng khi x→0+
Hàm số có tập xác định là R
Hàm số đồng biến trong khoảng 0;+∞
Đáp án D
Ta có y'=1x>0⇔x>0⇒ Hàm số đồng biến trong khoảng 0;+∞
Thiết diện qua trục của một hình nón (N) là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a diện tích toàn phần của hình nón (N) bằng:
π2a22
π1+2a22
π1+3a22
πa22
Đáp án B
Độ dài đường sinh là l=a.
Bán kính đáy là: R=a2+a22=a22
Diện tích toàn phần của hình nón là: S=πR2+πRl=πa222+πa22.a=π1+2a22
Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có u1=3. Khi đó u5 là:
72
-48
±48
48
Đáp án D
Giả sử cấp số nhân có công bội là q.
Ta có: u9=u1q8=768⇔3q8=768⇔q=±2
u5=u1q4=3.±2=48
Số cạnh của hình mười hai mặt đều là
30
16
12
20
Đp án A
Biết rằng hệ số của x4 trong khai triển nhị thức Newton 2−xn,n∈ℕ* bằng 280. Tìm n.
n=8
n=6
n=7
n=5
Đáp án C
2−xn=∑k=0nCnk−xk.2n−k⇒ hệ số của x4 là: Cn4−14.2n−4=280⇔n=7
Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích ? của khối chóp có thể tích lớn nhất.
V=144
V=576
V =5762
V =1446
Đáp án B
Ta có: R=SA22SO=9
Suy ra SO2+OA2SO=18
Mặt khác VS.ABCD=13SO.SABCD=13SO.AC22=23SO.OA2
=23SO.18SO−SO2. đặt SO=t0<t<18, xét hàm số
ft=23t218−t=83.t2.t218−t≤83t+18−t33=576
Giải phương trình 3sin2x−2cosx+2 =0
x=π2+kπ,k∈ℤ
x=kπ,k∈ℤ
x=k2π,k∈ℤ
x=π2+k2π,k∈ℤ
Đáp án C
Phương trình đã cho 3sin2x− 2cosx+2 =0⇔cosx=1cosx=−53<−1L⇔x=k2π,k∈ℤ
Cho hình nón (N) có đường cao SO=h và bán kính đáy bằng R, gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt OM=x, 0<x<h. C là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M, với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất.
h/2
h22
h32
h/3
Đáp án D
Gọi r là bán kính đáy của hình nón đỉnh O.
Ta có rR=h−xh⇒r=h−xhR
Chiều cao của khối nón đỉnh O là x
Thể tích của khối nón đỉnh O là:
V=13πh−xh2x=πR26h2h−xh−x2x≤πR26h2h−x+h−x+2x33=πR26h22h33=4πR2h81
⇒Vmax⇔h−x=2x⇔x=h3
Khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π. Thể tích V của khối nón (N) là:
V=12π
V=20π
V=36π
V=60π
Đáp án A
Độ dài đường sinh là l=15π3π=5
Chiều cao của khối chóp là h=52−32=4
Thể tích của khối nón là V=13π324=12π
Cho bốn hàm số f1x=2x3−3x+1, f2x=3x+1x−2, f3x=cosx+3 và f4x=log3x. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập hợp R
1
3
4
2
Đáp án D
Hàm số liên tục trên tập hợp ℝ⇔hàm số có tập xác định D=ℝ
Hàm số f1x và f3x liên tục trên R
Cho hàm số fx=lnx2−5x. Tìm tập nghiệm S của phương trình
S=∅
S=52
S=0;5
S=−∞;0∪5;+∞
Đáp án A
Hàm số có tập xác định D=−∞;0∪5;+∞
Ta có f'x=2x−5x2−5⇒f'x=0⇔2x−5=0⇔x=52∉D⇒S=∅
Số hạng không chứa x trong khai triển x−2x26
110
240
60
420
Đáp án C
Ta có x−2x26=∑k=06C6kx6−k−2x2k=∑k=06C6k−2kx6−3k
Số hạng không chứa x ⇔6−3k=0⇔x=2⇒a2=C62−22=60
Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, thể tích của (H) bằng:
a32
a332
a334
a323
Đáp án C
Thể tích của (H) là: V=Bh=12a2sin60°.a=a334
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
32
72
36
24
Đáp án B
Số cần lập là abcdef¯, ta có a+b+c−1=d+e+f⇔20=2d+e+f⇔d+e+f=10
Với mỗi f∈1;3;5⇒d,e có 4 cách chọn, suy ra abcdef¯ có 4.3!=24 cách chọn
Suy ra có 3.24=72 số có thể lập thỏa mãn đề bài
Cho hàm số y=fx=2x−1x+1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó
Hàm số nghịch biến trên tập R
Hàm số đồng biến trên −∞;−1 và −1;+∞
Hàm số nghịch biến trên ℝ\−1
Đáp án C
Tập xác định: −∞;−1∪−1;+∞
Ta có f'x=3x+12>0,∀x∈D⇒ Hàm số đồng biến trên −∞;−1 và −1;+∞
Phương trình 2cosx−2=0 có tất cả các nghiệm là
x=3π4+k2πx=−3π4+k2πk∈ℤ
x=π4+k2πx=−π4+k2πk∈ℤ
x=π4+k2πx=3π4+k2πk∈ℤ
x=7π4+k2πx=−7π4+k2πk∈ℤ
Đáp án B
PT⇔2cosx=2⇔x=π4+k2πx=−π4+k2πk∈ℤ
Khối chóp O.ABC có OB=OC=a, AOB^=AOC^=45°,BOC^=60°,OA=a2. Khi đó thể tích khối tứ diện O.ABC bằng:
a212
a3212
a3312
a36
Đáp án B
Ta có AB2=AC2=a2+a22−2a.a2cos45°=a2
⇒AB=AC=a
Tam giác cân OBC có góc BOC^=60°⇒ đều
Gọi I và H lần lượt là trung điểm của BC và hình chiếu của O lên AI. Khi đó OH⊥ABC
Ta có
AI=OI=a2−a22=a32cosOIA^=−13⇒sinOIA^=223SIOA=12IO2sinOIA^=12OH.AI⇒OH=a63SABC=12a2sin60°=a234
Thể tích khối tứ diện O.ABC là V=13OH.SABC=13a63.a234=a3212
Hình trụ có bán kính đáy r. Gọi O và O' là tâm của hai đường tròn đáy, với OO'=2r. Một mặt cầu (S ) tiếp xúc với hai đáy hình trụ tại O và O'. Gọi VC và VT lần lượt là thể tích khối cầu và khối trụ tương ứng. Khi đó VCVT bằng:
1/2
3/4
2/3
3/5
Đáp án C
Bán kính hình cầu là R=r
Ta có VCVT=43πr3πr2.2r=23
Hàm số fx=x2+1 khi x≤1x+m khi x>1 liên tục tại điểm x0=1 khi m nhận giá trị
m=-2
m=2
m=-1
m=1
Đáp án D
Ta có
limx→1+fx=limx→1+x+m=1+mlimx→1−fx=limx→1−x2+1=2f1=2
Hàm số liên tục tại diểm x0=1⇔limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇒1+m=2⇔m=1
Một hộp chứa 20 bi xanh và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu
46105236
46155236
46515236
46155263
Đáp án B
Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp bi, ta có C354=52630 cách
Gọi A là biến cố “lấy được 4 bi có đủ 2 màu”, ta có
+TH1: 1 đỏ, 3 xanh, suy ra có C151C303=17100 cách
+TH2: 2 đỏ, 2 xanh, suy ra có C152C302=19950 cách
+TH3: 3 đỏ, 1 xanh, suy ra có C153C301=9100 cách
Suy ra PA=17100+19950+910052630=46155263
Tất cả các nghiệm của phương trình tanx+3cotx−3−1=0 là
x=π4+kπx=π3+kπk∈ℤ
x=−π4+kπx=π6+kπk∈ℤ
x=π4+k2πx=π6+k2πk∈ℤ
x=π4+kπx=π6+kπk∈ℤ
Đáp án A
PT⇔sin2x≠0tanx+3tanx−3−1=0⇔x≠kπ2tan2x−3+1tanx+3=0⇔x≠kπ2tanx=3tanx=1
⇔tanx=3tanx=1⇔x=π3+kπx=π4+kπk∈ℤ
Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Số cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ là
1078
1414
1050
1386
Đáp án C
Số cách chọn là C84C62=1050 cách
Hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ đó bằng:
πa22
πa2
3πa2
4πa2
Đáp án D
Độ dài đường sinh l=2a
diện tích xung quanh hình trụ đó bằng Sxq=2πrl=2π.a.2a=4πa2
Cho phương trình m−1log132x+12+4m−5log131x+1+4m−4=01. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để phương trình (1) có nghiệm thực trong đoạn −23;2
6
5
2
3
Đáp án D
Điều kiện: x∈−23;2⇒1⇔4m−1log3x+12+4m−5log3x+1+4m−4=0
Đặt t=log3x+1⇒∈−1;1⇒1⇔m−1t2+m−5t+m−1=0⇔m=t2+5t+1t2+t+12
Xét hàm số ft=t2+5t+1t2+t+1,t∈−1;1, ta có f't=4t2−1t2+t+12⇒f't=0⇔t=±1
Suy ra f−1≤ft−1;1≤f1⇔−1≤ft−1;1≤73⇒2⇔−1≤m≤73
Suy ra có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa đề bài
Cho hai hàm số y=ex và y=lnx. Xét các mệnh đề sau
(I) Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng y=x
(II) Tập xác định của hai hàm số trên là R
(III) Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng một điểm.
(IV) Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.
Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề trên?
2
3
1
4
Đáp án A
Các mệnh đề sai là (II) và (III)
Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AD=x và các cạnh còn lại đều bằng a=23. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất
x=6
x=14
x=32
x=23
Đáp án C
Gọi H là trung điểm BC khi đó AH⊥BCDH⊥BC
SUY RA BC⊥AHD và ta có AH=DH=a32
Gọi E là trung điểm của AD do tam giác AHD cân nên
HE⊥AD⇒HE=AH2−AE2=3a24−x24
Ta có VABCD=VBAHD+VCAHD=13BC.SAHD=13a12HE.AD
Lại có
3a24−x24.x=2.3a24−x24.x2≤3a24−x24+x24=3a24⇒VABCD≤a38⇒Vmax=a38
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3a2=2x2⇔x=a62=32
Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có hai điểm cực trị.
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3
Hàm số có một điểm cực trị.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Đáp án A
Hàm số cho 2 điểm cực trị x=−1;x=0
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), SA =2a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng:
2πa2
πa2
3πa2
6πa2
Đáp án D
Ta có R=SA24+Rd2=a2+a222=a32⇒S=4πR2=6πa2
Tìm nghiệm của phương trình log23−2x=3
x=1
x=-2
x=-5/2
x= - 3/2
Đáp án C
log23−2x=3⇔3−2x=23=8⇔x=−52
Phương trình sinx+3cosx=1 có tập nghiệm là:
−π6+kπ;−π2+kπ với k∈ℤ
−π6+k2π;π2+k2π với k∈ℤ
−π6+k2π;−π2+k2π với k∈ℤ
7π6+k2π;π2+k2πvới k∈ℤ
Đáp án B
Ta có: PT⇔2sinxx+π3=1⇔sinxx+π3=12
⇔x+π3=π6+k2πx+π3=5π6+k2π⇔x=−π6+k2πx=π2+k2π
Cho phương trình 25x−20.5x−1+3=0. Khi đặt t=5x, ta được phương trình nào sau đây?
t2−3=0
t2−4t+3=0
t2−20t+3=0
t2−20t+3=0
Đáp án B
PT⇔5x2−4.5x+3=0
Số nghiệm của phương trình sinxsin2x+2sinxcos2x+sinx+cosxsinx+cosx=3cos2x trong khoảng −π;π là:
2
4
3
5
Đáp án A
DK: sinx+cosx≠0⇔tanx≠−1⇔x≠−π4+kπ
Khi đó PT⇔sinxsin2x+sin2xcosx+sinx+cosxsinx+cosx=3cos2x
⇔sinx+cosxsin2x+1sinx+cosx=3cos2x−sin2x⇔sin2x−2sinxcosx+cos2x=3sinx+cosxcosx−sinx⇔sinx+cosxsinx+cosx=3sinx+cosxcosx−sinx⇔sinx+cosx=3cosx−sinx⇔1+3sinx=3−1cosx⇔tanx=3−11+3⇔x=π12+kπ
có 2 nghiệm thuộc −π;π
Rút gọn biểu thức P=x13x4, với x là số thực dương.
P=x112
P=x712
P=x23
P=x27
Đáp án B
P=x13x4=x13x14=x13+14=x712
Cho hàm số y=ax−bx−1 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a<0;b<0
0<b<a
b<0<a
a<b<0
Đáp án C
Tiệm cận ngang y=a⇒a>0
Giao với trục tung 0;b⇒b<0
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x+2x−1, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=13x−5 và tiếp điểm có hoành độ dương
y=−3x+10
y=−3x+2
y=−3x+6
y=−3x−2
Đáp án A
Ta có y'=−3x−12
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=13x−5nên −3x0−12.13=−1⇔x0=2x0=0
Do tiếp điểm có hoành độ dương nên x0=2⇒PTTT:y=−3x−2+4=−3x+10
Cho cấp số cộng (un) biết u1=−5,d=2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
100
50
75
44
Đáp án D
Ta có un=u1+n−1d=81⇒n=44
Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp (ABC), góc giữa SB và mp (ABC) bằng 60°, tam giác ABC đều cạnh a, thể tích khối chóp S.ABC bằng:
a3
a34
a32
a3
Đáp án B
Ta có SABC=a234;SA=ABtan60°=a3⇒V=13SA.SABC=a34
Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/ km, đi đường bộ là 3 USD/ km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất (AB =40km, BC=10km)?
10 km
65/2 km
40 km
15/2 km
Đáp án B
Đặt AD=x⇒BD=AB−AD=40−x⇒CD=BD2+BC2=40−x+102
Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là T=3x+5x2−80x+1700→fx
Khảo sát hàm số f(x)trên (0;40) suy ra minfx=160⇔x=652km
Và chi phí người đó chỉ đi đường thủy là t=5402+102=50017USD
VẬY kinh phí nhỏ nhất cần bỏ ra khi đi đường bộ là 65/2
Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn log9x=log12y=log16x+y và xy=−a+b2, với a, b là hai số nguyên dương. Tính P=a.b
P=6
P =5
P=8
P = 4
Đáp án B
Đặt log9x=log12y=log16x+y=t⇔x=9ty=12t và x+y=16t
Suy ra 9t+12t=16t⇔3t2+3t.4t−4t2=0⇔34t2+34t−1=0⇔34t=−1+52
Vậy xy=9t12t=34t=−1+52=−a+b2⇔a=1b=5⇒P=ab=5
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A,AB=a. Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V=4a33. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C'
h=8a3
h=3a8
h=2a3
h=a3
Đáp án A
Diện tích tam giác ABC là SABC=12AB2=a22
Chiều cao của khối lăng trụ là VABC.A'B'C'=SABC×h⇒h=8a3
Ta có BC//B'C'⇒dAB;B'C'=dB'C';ABC=dB';ABC=h=8a3
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương fx=log2m có đúng ba nghiệm thực phân biệt?
5
8
6
7
Đáp án D
Số nghiệm của phương trình fx=log2m là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và fx=log2m Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng để fx=log2m có 3 nghiệm phân biệt
⇔−1<log2m<3⇔12<m<8
Kết hợp với m∈ℤ*, ta được m=1;2;3;4;5;6;7 là giá trị cần tìm
Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 9x+1−20.3x+8=0. Khẳng định nào sau đây đúng?
x1+x2=log389
x1+x2=log3209
x1x2=log389
x1x2=89
Đáp án A
Phương trình 9x+1−20.3x+8=0⇔93x2−20.3x+8=0*
Đặt t=3x>0, khi đó *⇔9t2−20.t+8=0⇒t1t2=89⇔3x1.3x2=89⇔ x1+x2=log389
Tính đạo hàm của hàm số y=log2x2+x+1
y'=−2x+1x2+x+1ln2
y'=2x+1x2+x+1ln2
y'=2x+2x2+x+1ln2
y'=−x+1x2+x+1ln2
Đáp án B
Ta có y=log2x2+x+1⇒y'=x2+x+1'x2+x+1ln2=2x+1x2+x+1ln2
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số fx=−x3+3x−4 và Mx0;0 là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T=4x0+2015. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
T= 2017
T= 2019
T= 2018
T= 2016
Đáp án A
Ta có f'x=−3x2+3;f'x=0⇔x=−1⇒f−1=−6x=1⇒f1=−2
Suy ra 2 điểm cực trị của hàm số là A−1;−6;B1;−2
Do đó, chu vi tam giác MAB là
C=MA+MB+MC=x0+12+62+x0+12+22+32
Mặt khác x0+12+62+x0+12+22≥x0+1+1−x02+6+22=68
Vậy C≥68+32.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0+16=1−x02⇔x0=12⇒T=2017
Đồ thị hàm sốy=3x+21−2x có bao nhiêu đường tiệm cận?
1
0
3
2
Đáp án D
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất nên có 2 đường tiệm cận
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số fx=x5−5x3−20x+2 trên đoạn −1;3?
M=26
M=46
M=- 6
M= 50
Đáp án D
Ta có f'x=5x4−15x2−20;∀x∈ℝ
Phương trình f'x=0⇔x=±2
Tính các giá trị f−1=26;f2=−46;f3=50.
Vậy max−1;3fx=50
Cho hàm số bậc ba y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a<0,b<0,c<0,d<0
a<0,b<0,c>0,d<0
a<0,b>0,c<0,d<0
a>0,b>0,c>0,d<0
Đáp án C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
limx→+∞fx=−∞;limx→−∞fx=+∞→a<0
Đồ thị hàm số y=fx cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ⇒d<0
Hàm số có 2 điểm cực trị x1,x2 có x1+x2=−2b3a>0x1x2=c3a>0⇔b>0c<0
Vậy a<0,b>0,c<0,d<0
