Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 5)
50 câu hỏi
Trong các hàm số sau, hàm số nào tuần hoàn với chu kì 2π?
y = cos2x
y = sinx
y = tanx
y = cotx
Đáp án B.
Các hàm cos2x có chu kì π.
Hình nào sau đây có vô số trục đối xứng?
Hình vuông
Hình tròn
Đoạn thẳng
Tam giác đều
Đáp án B.
Mỗi đường kính là một trục đối xứng của hình tròn.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng.
Đáp án A.
Hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ?
y = tanx
y = x4 + x2 + 1
y = x3 +1
y = 4x +1x + 2
Đáp án C.
Vì hàm số y = x3 + 1 là một đa thức có y’ = 3x2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nên nó là hàm đồng biến trên ℝ.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
logx ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
log5x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1
log15a > log15b ⇔ a > b>0
log15a = log15b ⇔ a = b>0.
Đáp án C.
Vì hàm logarit sẽ nghịch biến nếu cơ số <1 khi đó chính xác phải là:
log15a>log15b⇔0<a<b.
Cho hai số phức:
z = a+ bi, z' = a' + b'i (a, b,a',b' ∈ℝ).
Tìm phần ảo của số phức zz'.
(ab' + a'b)i
ab' + a'b
ab' − a'b
aa' − bb'
Đáp án A.
Có z.z'=aa'−bb'+ab'+a'bi.
Vậy phần ảo là: ab'+ba'i.
Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?
Khối lập phương
Khối bát diện đều
Khối mười hai mặt đều
Khối tứ diện đều
Đáp án D.
Hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt.
Một khối lăng trụ tam giác có thể phân chia ít nhất thành n tứ diện có thể tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n = 3
n = 6
n = 4
n = 8.
Đáp án A.
Ta có thể chia được làm 3 phần. giống như hình vẽ sau. 3 hình chóp bé là A'ABC, A'CBC', A'C'BB'.
Tìm số nghiệm thuộc khoảng (0;π) của phương trình cos(x + π4) = 0.
0
1
2
3
Đáp án B.
Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn.
5!4!3!
5! +4! +3!
5! 4!3!3!
5.4.3
Đáp án C.
Xếp vị trí từng môn: 3!=6
Xếp vị trí trong tập toán: 5!
Xếp vị trí trong tập lý: 4!
Xếp vị trí trong tập hóa: 3!
=>Có 6.5!.4!.3!
Tìm tập nghiệm của phương trình Cx2 +Cx3 = 4x.
{0}
{-5;5}
{5}
{-5;0;5}
Đáp án C.
Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45. Nam có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam.
75
145
45
2445
Đáp án D.
Gọi A:”Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam”.
nΩ=45;nA=24⇒pA=nAnΩ=2445
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 − 3 x2 +2 tại điểm uốn của (C).
y = 3x + 3
y = 3(1 − x)
y = 1 − 3x
y = −3(1 − x)
Đáp án B.
Có y'=3x2−6x;y''=6x−6;y''=0⇔x=1.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn x=1 là :
y=y'1x−1+y1⇔y=−3x−1+0⇔y=−3x+3.
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện. Gọi G1 là giao điểm của AG và mp(BCD), G2 là giao điểm của BG và mp(ACD). Khẳng định nào sau đây là đúng?
G1G2//AB
G1G2//AC
G1G2//CD
G1G2//AD
Đáp án A.
Hình vẽ dễ thấy tính song song là: G1G2∥AB
Chứng minh
Vì GG1GA=GG2GB=14⇒G1G2∥AB
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, SB vuông góc với mặt đáy. Khẳng định nào dưới đây là sai?
SB⊥BC
SA⊥AD
SD⊥BD
SC⊥DC
Đáp án C.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm f'(x) = x3(x − 1)2(x + 2). Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
3
1
0
2
Đáp án D.
Ta có thể lập bảng xét dấu của f'(x) tuy nhiên thì ta có thể dùng mẹo như sau. Tại x=0; x=-2 thì y' đổi dấu do có mũ la lẻ còn x=1 thì không đổi dấu do mũ là chẵn. Vì vậy ta có thể có 2 cực trị.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x − 1x−3 trên đoạn 0;2.
−13
-5
5
13
Đáp án D.
Đây là hàm phân thức nên nó sẽ đơn điệu, do đó trên một khoảng nó sẽ đạt được min, max tại 2 đầu mút.
Có: y0=13;y2=−5⇒minx∈0;2y=−5;maxx∈0;2y=13
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 3x2 + 1.
1
2
3
0
Đáp án A.
Hàm số không có tiệm cận đứng.
Có limx→±∞y=0⇒y=0 là tiệm cận ngang.
Cho đồ thị (C): y = x4 − 2x2. Khẳng định nào sau đây là sai?
(C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
(C) cắt trục Oy tại 2 điểm phân biệt.
(C) tiếp xúc với trục Ox.
(C) nhận Oy làm trục đối xứng.
Đáp án B.
Một hàm số không thể cắt trục tung tại 2 điểm.
Cho log26 = a, log27 = b. Tính log37 theo a và b.
ba − 1
ab − 1
b1 − a
a1 − b
Đáp án A.
Điều kiện nào của a cho dưới đây làm cho hàm số f(x) = (1 + lna)x đồng biến trên ℝ?
1e<a<1
a > 1
a > 0
a > e
Đáp án B.
Hàm số mũ đồng biến trê R nến cơ số
>1⇔1+lna>1⇔a>1.
Tìm tập nghiệm của bất phương trình:
log12(x2 + 2x − 8) ≥ −4
(-4; 2)
[-6; 4)
[−6; −4] ∪ [2; 4]
[−6; −4) ∪ (2; 4]
Đáp án B.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 − x + 1x − 1
x +1x− 1 + C
1+1(x− 1)2 + C
x22 + lnx − 1 + C
x2 + lnx−1 +C
Đáp án C
Có fx=x+1x−1
Nguyên hàm của f(x) là Fx=x22+lnx−1+C.
Tìm giá trị của a để ∫341(x−1)(x−2)dx = lna.
12
43
13
34
Đáp án C.
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
z2 + 2z +5 = 0.
1+2i; 1-2i
1+i; 1- i
-1+2i; -1-2i
-1+ i; -1- i
Đáp án C.
Bấm máy tính ra nghiệm x=−1±2i
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Đáp án D.
Yêu cầu đặt ra là đáy có đường tròn ngoại tiếp; chỉ có tam giác là thỏa mãn điều này.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:x − 124 = y − 93 = z − 11 và (P):3x +5y − z − 2 = 0.
(1;0;1)
(0;0;-2)
(1;1;6)
(12;9;1)
Đáp án B.
Đặt x − 124 = y − 93 = z − 11=t
⇒x=12+4t;y=3t+9;z=1+t
thay vào phương trình của mặt phẳng ta có
312+4t+53t+9−1+t−2=0⇔26t=−78⇔t=−3.
Khi đó thì điểm đó là A0;0;−2
Viết phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A(6;2;-5), B(-4;0;7).
(x−5)2 + (y−1)2 + (z+6)2 = 62
(x+5)2 + (y+1)2 + (z−6)2 = 62
(x−1)2 + (y−1)2 + (z−1)2 = 62
(x+1)2 + (y+1)2 + (z+1)2 = 62
Đáp án C.
Mặt cầu này có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng nửa cạnh AB
Vậy I1;1;1;R=12AB=62.
Vậy phương trình mặt cầu là
x−12+y−12+z−12=62.
Cho hàm số f(x) = 3x−5, x≤−2ax−1, x>−2. Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại x=-2?
a = -5
a = 0
a = 5
a = 6
Đáp án C.
Hàm số liên tục nếu:
limx→−2+fx=limx→−2−fx=f2⇔3.−2−5=−2a−1⇔a=5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a,SA= a2, SA⊥(ABCD). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
33
53
63
73
Đáp án C.
Kẻ CH⊥AB.
Bằng tính toán hình thang vuông thông thương ta có được:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a3, SA⊥(ABCD). Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
a32
2a3
a34
a
Đáp án A.
Kẻ AH⊥SB; dễ thấy AH⊥SBC
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = x4−2mx2+2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
m=33
m=3
m=33
m = 1
Đáp án D.
Có y'=4x3−4mx;y'=0⇔x=0x=mx=−m
(xét trong trường hợp nó có 3 cực trị thì m>0)
Khi đó 3 điểm cực trị là;
A0;2;Bm;2−m2;C−m;2−m2.
A,B,C lập thành một tam giác có diện tích bằng 1 nếu
SABC=1⇔12AH.BC=1 ⇔122m−m2=1⇔m=1.
Cho đồ thị (C):y=xx−1.
Tìm điều kiện của m để đường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
1< m < 4
m < 0 hoặc m > 2
m < 0 hoặc m > 4
m < 1 hoặc m > 4
Đáp án C.
Ta xét phương trình:
xx−1=−x+m⇔x2−mx+m=0.
Ta cần điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ=m2−4m>0⇔m∈−∞;0∪4;+∞.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2, biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.
15 (cm2)
154 (cm2)
174 (cm2)
17 (cm2)
Đáp án A.
Đơn vị dài là 2 cm vậy nên đơn vị diện tích quy đổi ra sẽ là 22=4cm.
Khi đó S=−12x3dx.4=15 cm2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3x−x2 và trục hoành, quanh trục hoành.
81π10 (đvtt)
85π10(đvtt)
41π7(đvtt)
8π7(đvtt)
Đáp án A.
Tìm giao của đồ thị hàm số với trục Ox ( để đóng vai trò là cận trong tích phân)
Đường nào dưới đây là tập hợp các các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện z−i = z+i?
Một đường thẳng
Một đường tròn
Một đường elip
Một đoạn thẳng.
Đáp án A.
Gọi z=x;y khi đó điều kiện trở thành:
x2+y−12=x2+y+12⇔y=−1
Như vậy quỹ tích là một đường thẳng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA = 2a, SA vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
4a33(đvtt)
4a3(đvtt)
2a33(đvtt)
2a3(đvtt)
Đáp án A
Ta có:
VS.ABCD=13SA.SABCD=13.2a.a.2a=43a3
Một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó.
4π (cm3)
8π (cm3)
16π (cm3)
32π (cm3)
Đáp án C.
ABCD là hình vuông với DC=2R=4cm từ đó Ad=4cm
Từ đó: VHinh=Sday.AD=π22.4=16πcm2.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2;-5), B(-4;0;7). Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
(P): 5x + y – 6z +62 = 0
(P): 5x + y – 6z - 62 = 0
(P): 5x - y – 6z - 62 = 0
(P): 5x + y + 6z +62 = 0
Đáp án B.
Mặt cầu (S) có tâm I1;1;1. Mặt phẳng(P)đi qua A và nhận IA→=5;1;−6 làm vtpt
=>phương trình của (P là
5x−6+1y−2−6z+5=0⇔5x+y−6z−62=0
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mp(Oxy).
x=0y=−tz=−3+3t
x=1+2ty=0z=−3+3t
x=1+2ty=−tz=0
x=0y=0z=−3+3t
Đáp án C
Hình chiếu của A,B trên mp(Oxy) là A'1;0;0;B'3;−1;0. Có AB→=2;−1;0 là vtcp của A’B’ nên phương trình tham số của A’B’ là
x=1+2ty=−tz=0.
Đạo hàm của hàm số y= x +ln2x là hàm số nào dưới đây?
y'=1+2lnx x
y'=1+2lnx
y'=1+2xlnx
y'=1+2xlnx
Đáp án A.
Có y'=x+2lnx.1x
Cho hai hình vuông có cạnh đều bằng 5 được xếp lên nhau sao cho đỉnh M của hình vuông này là tâm của hình vuông kia, đường chéo MN vuông góc với cạnh PQ tạo thành hình phẳng (H) ( như hình vẽ bên).
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quanh hình (H) quanh trục MN.
V=125(1+2)π6
V=125(5+22)π12
V=125(5+42)π24
V=125(2+2)π4
Đáp án A.
Gọi V1 là thể tích khối trong xoay khi xoay hình vuông EGQP quanh MN. Khối này có bán kính đáy R=12EG=52 và đường cao = EP = 5 => V1=5.522π=1254π
Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay khi xoay hình vuông AMCN quanh MN, khối này là hợp lại của 2 khối nón đêu có bán kính đáy R=12AC=522 Đường cao h=12MN=522 => V2=2.13.522.5222π=12526π
Gọi V3 là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay MPQ quanh MN, khối này óc bán kính đáy R=12PQ=52 đường cao h=d(M;PQ)=52 => V3=13.52.522.π=12512π
Ta có thể tích của toàn khối tròn xoay V=V1+V2-V3=1251+2π6
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họA. Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn. Thầy giáo muốn rằng sau khi tặng xong, mỗi một trong 3 thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi thầy có tất cả bao nhiêu cách tặng?
665280
85680
119
579600
Đáp án D.
Sô cách lấy bằng số cách chọn ra 6 quyển để bỏ lại. Yêu cầu đặt ra là 6 quyển để lại phải đủ cả 3 môn.
TH1: 1 văn, 2 âm nhạc, 3 hội họa: C51.C42.C33.
TH2: 1 văn, 3 âm nhạc, 2 hội họa: C51.C43.C32.
TH3: 1 văn, 4 âm nhạc, 1 hội họa: C51.C44.C31
TH4: 2 văn, 1 âm nhạc, 3 hội họa: C52.C41.C33.
TH5: 2 văn, 2 âm nhạc, 2 hội họa: C52.C42.C32.
TH6: 2 văn, 3 âm nhạc, 1 hội họa: C52.C43.C31.
TH7: 3 văn, 1 âm nhạc, 2 hội họa: C53.C41.C32.
TH8: 3 văn, 2 âm nhạc, 1 hội họa: C53.C42.C31.
TH9: 4 văn, 1 âm nhạc, 1 hội họa: C54.C41.C31.
Lấy 6 quyển sách chia cho 6 bạn: 6!=720
Nhân lại ta có : 579600 cách
Một mạch điện gồm 4 linh kiện như hình vẽ, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian t nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02. Biết rằng các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tốt.
Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt trong một khoảng thời gian t.
0,37
0,67032
0,78008
0,8
Đáp án C.
Để hoạt động tốt, mạch điện có thẻ có các trường hợp sau:
TH1: 1 tốt, 2 tốt,3 tốt, 4 tốt:
P1=0,8.0,9.0,95.0.98=0,67032
TH2: 1 tốt, 2 tốt,3 cháy, 4 tốt:
P1=0,8.0,9.0,05.0.98=0,03528
TH3: 1 tốt, 2 cháy,3 tốt, 4 tốt:
P1=0,8.0,1.0,95.0.98=0,07448
Từ đó xác suất để mạch hoạt động tốt là:
0,67032+0,03528+0,07448=0,78008.
Tìm điều kiện của m để hàm số y=(m+1)x+2m+2x+m nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).
m<1 hoặc m>2
m≥1
-1< m < 2
1≤m<2
Đáp án D
Có y'=mm+1−2m+2x+m2=m2−m−2x+m2 .
Hàm số xác định trên
−1;+∞⇔−m∉−1;+∞⇔−m≤−1⇔m≥1
Khi đó hàm số ngịch biến trên
−1;+∞⇔y'<0∀x∈−1+∞⇔m2−m−2<0⇔m∈−1;2
Vậy m∈1;2 .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3−3x=2m có 4 nghiệm phân biệt.
-2 < m < 0
−2≤m
-1 < m <0
−1≤m
Đáp án C.
Đặt t=xt≥0 ta có phương trình t3−3t=2m . Phương trình ban đầu có 4 nghiệm khi phương trình này có 2 nghiệm >0.
Ta lập bảng biến thiên của hàm số ft=t3−3t;t>0.
Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm dương khi: −2<2m<0⇔−1<m<0.
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm, theo thỏa thuận cứ mỗi tháng ông A phải trả cho ngân hàng a triệu đồng. Hỏi a bằng bao nhiêu để ông A trả hết nợ ngân hàng sau đúng 3 tháng. Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ, a tính theo đơn vị triệu đồng.
a=100.(1,01)33( triệu đồng)
a=(1,01)3(1,01)3−1( triệu đồng)
a=100.(1,03)33( triệu đồng)
a=120.(1,12)3(1,12)3−1( triệu đồng)
Đáp án A .
Lai suất sẽ là 1%/1 tháng. Từ đó ta có:
Số tiền sau 3 tháng sẽ là 100(1.01)3 từ đó mỗi tháng ông phải trả 100(1.01)33
Tính tổng P=(cn0)2+ (cn1)2+...+ (cnn)2 theo n.
Cnn
Cn2
C2nn
C2n2n
Đáp án C.
Ta xét khai triển 1+x2n=1+x2.1+x2. Xét khai triển ở cả hai vế, và xét hệ số của xn ta thấy rằng vế trái có hệ số là C2nn; vế phải có hệ số của xn là:
Cn0.Cnn+Cn1.Cnn−1+…+Cnn.Cn0=Cn02+Cn12+…+Cnn2
vậy ta có: P=C2nn
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3−3x2+mx+2−m=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
m≤3
m≥3
m = 0
m tùy ý
Đáp án B
Ta có:
x3−3x2+mx+2−m=0⇔x−1x2−2x+m−2=0⇔x=1x2−2x+m−2=02
(2) có 2 nghiệm nếu =1−m−2≥0⇔m≤3.
Khi đó 2 nghiệm là:
x1=1+3−m;x2=1−3−m
Ta thấy 3 giá trị 1+3−m;1;1−3−m theo thứ tự luôn lập thành một cấp số cộng.
Vậy m≤3
Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 50 km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo C (như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5 USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.
152 (km)
852 (km)
50 (km)
1026 (km)
Đáp án B.
Ta gọi AD=x0≤x≤50 (km)
Khi đó: BD=50−x;CD=100+50−x2
Từ đó chi phí đi lại là:
fx=3.x+5.100+50−x2=3x+5x2−100x+2600
Ta cần tìm để chi phí này là thấp nhất.
Ta có: f'x=3+52x−1002x2−100x+2600;
f'x=0⇔6x2−100x+2600=500−10x
⇔x=42,5.
Ta có: f0,f2<f42,5
Vậy AD=42,5=852 thì chi phí đi lại là thấp nhất.
