Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 15)
50 câu hỏi
Một hình nón có bán kính hình tròn đáy là R và chiều cao bằng 2R. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
πR21+5
πR21+3
πR23
πR25
Đáp án D
Hình nón có l=R2+h2=R2+2R2=R5.
Vậy Sxq=πRl=πR25.
Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Thể tích khối trụ tương ứng bằng
2πa3
πa3
8πa33
2πa33
Đáp án A
Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao là 2a.
Vậy V=πR2h=π.a2.2a=2πa3.
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau, bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng
45°
90°
30°
60°
Đáp án D
Ta có SD,BC=SA,AD=600.
Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x+2.3x−6x=2 bằng
22
1
7
25
Đáp án B
PT⇔2x−6x+2.3x−2=0⇔2x1−3x−21−3x=0
⇔2x−21−3x=0⇔x=1∨x=0.
Vậy tổng lập phương các nghiệm của PT trên bằng 1.
Nghiệm của phương trình 2sinx−2=0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
Điểm C, điểm E
Điểm F, điểm E
Điểm C, điểm D
Điểm C, điểm F
Đáp án C
Ta có:
2sinx−2=0⇔sinx=22⇔x=π4+k2π∨x=3π4+k2π.
Vậy nghiệm được biểu diễn bởi các điểm C, D.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y=log3x+1
y=log3x+1
y=log2x+1
y=log2x
Đáp án A
Dễ thấy x=0⇒y=0 và x=2⇒y=1 nên chọn A.
Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
6
4
3
2
Đáp án C
Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 3 mặt phẳng đối xứng, là các mặt phẳng trung trực của các cạnh AB,AD,AA'.
Cho tứ diện đều ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M, song song với AC và BD. Thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (P) là
Hình chữ nhật không vuông
Hình vuông
Hình tam giác
Hình tam giác
Đáp án B
Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của Ad, CD, BC.
Ta có: BD⊥AHC nên BD⊥AC. Do đó MN⊥NP. Mà MNPQ là hình bình hành.
Thiết diện là hình vuông MNPQ.
Tịnh tiến đồ thị hàm số y=sinx sang bên trái π2 đơn vị được đồ thị hàm số nào dưới đây?
Đồ thị hàm số y=cotx
Đồ thị hàm số y=cosx
Đồ thị hàm số y=sinx
Đồ thị hàm số y=tanx
Đáp án B.
Đặt a=ln3,b=ln5.
Tính I=ln34+ln45+ln56+...+ln124125 theo a và b.
I=a+3b
I=a−2b
I=a+2b
I=a−3b
Đáp án D
Ta có:
I=ln3−ln4+ln4−ln5+ln5−ln6+...+ln124−ln125
=ln3−3ln5=a−3b
Cho y=fx và y=gx là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số y=fx+gx liên tục tại điểm x0
Hàm số y=fx.gx liên tục tại điểm x0
Hàm số y=fxgx liên tục tại điểm x0
Hàm số y=fx−gx liên tục tại điểm x0
Chọn C.
Các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên −∞;+∞?
y=x
y=−2x+1
y=x2
y=x3+1
Đáp án D
Ta có: y'=3x2>0 ∀x∈−∞;+∞.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên xn
y=2πx
y=πx
y=π2x
y=π3x
Đáp án A
Ta có y'=2πxln2π<0 với mọi x∈ℝ.
Cho hàm số y=fx=2x−5x−2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số u=fxnghịch biến trên −∞;2∪2;+∞
Hàm số u=fx nghịch biến trên−∞;2và 2;+∞
Hàm số u=fx đồng biến trên −∞;2∪2;+∞
Hàm số u=fx đồng biến trên −∞;2và 2;+∞
Đáp án D
Ta có y'=2x−2−2x−5x−22=1x−22>0 ∀x≠2.
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông cạnh bằng 2 tam giác SAC vuông cân tại A. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
823
22
42
82
Đáp án A
Ta có SA=AC=22⇒V=13.4.22=823.
Tìm tập xác định D của hàm số y=x2+x2−1
D=−1;+∞\0
D=−∞;+∞
D=−∞;−1∪0;+∞
D=−1;0
Đáp án C.
ĐK x2+x>0⇔x∈−∞;−1∪0;+∞.
Cho hàm số y=fx xác định và liên tục trên đoạn −1;2, có đồ thị của hàm số y=f'x như hình sau.
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y=fx trên đoạn −1;2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
M=f12
M=maxf−1;f1;f2
M=f0
M=f32
Đáp án B
fx đạt giá trị lớn nhất tại f−1;f2 hoặc fxi mà f'xi=0.
Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng y=x−4 với đồ thị của hàm số y=−2x+5x−2. Tìm tọa độ trung điểm I của MN?
I2;−2
I1;−3
I3;−1
I−2;2
Đáp án A
Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT:
x−4=−2x+5x−2⇔x2−6x+8=−2x+5 x≠2
⇔x2−4x−13=0. Vậy trung điểm I của MN có hoành độ x=2⇒y=−2.
Lăng trụ tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng nhau và có diện tích toàn phần bằng 6a2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
8a3
a33
8a33
a3
Đáp án D
Lăng trụ đó chính là hình lập phương.
Ta có: Stp=6a2⇒ cạnh hình lập phương là a.
Vậy V=a3
Biết log2x=a, tính theo a giá trị biểu thức P=log24x2
P=2+a
P=4+2a
P=4+a
P=2+2a
Đáp án D
Ta có:
P=log24x2=log24+log2x2=2+2log2x=2+2a.
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số y=f'x.
Hỏi hàm số y=fx có bao nhiêu điểm cực trị?
0
1
3
2
Đáp án D
f'x=0 có 2 nghiệm. Vậy hàm số y=fx có 2 điểm cực trị.
Cho hai hàm số y=fx,y=gx, có đạo hàm trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
fx+gx'=f'x+g'x
gx2'=2g'x
fxgx'=f'xg'x
fx.gx'=f'x.g'x
Đáp án A
Số cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh và xếp thành một hàng dọc bằng
720
120
20
40
Đáp án B
+) B1: Chọn 3 HS trong 6 HS có C63=20 (cách)
+) B2: Xếp 3 HS thành 1 hàng dọc có 3! = 6 (cách)
Cho một hình lập phương có bán kính mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp và mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương lần lượt là R1,R2,R3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
R1>R3>R2
R1>R2>R3
R3>R1>R2
R2>R1>R3
Đáp án A
Ta có:R1=IA,R2=IO,R3=IK. Mà IA>IK>IO nên R1>R3>R2.
Các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai, trong không gian
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc cắt nhau.
Đáp án D
Trong KG, 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M−2;1. Xác định tọa độ điểm M là ảnh của M qua phép quay tâm O góc 90°.
M'1;2
M'1;−2
M'−1;−2
M'−1;2
Đáp án C
Số hạng chứa x2 trong khai triển x+1x12 là
C125x2
C123
C128
C125x3
Đáp án A
Ta có: x+1x12=∑k=012C12kx12−k1xk=∑k=012C12kx12−2k.
Xét 12−2k=2⇔k=5.
Số hạng chứa x2 là C125x2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x2−x−mx2−4 có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?
∀m∈ℝ\2;6
∀m∈ℝ\−2;2
m∈ℝ\−2;2
m∈ℝ\2;6
Đáp án D
Dễ thấy hàm số có 1 TCN y = 1.
Để hàm số có 1 TCĐ thì PT x2−x−m=0 phải có 1 nghiệm x = 2 hoặc x= -2.
Vậy m∈2;6
Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị f'x như hình vẽ bên.
Biết fa.fb<0 hỏi đồ thị hàm số y=fx cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm?
4
3
2
1
Đáp án A
Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách một con sông có chiều rộng r. Người ta cần xây một cây cầu bắt qua sông, biết rằng hai thành phố A và B lần lượt cách con sông một khoảng bằng AC=a và BD=ba≤b, như hình vẽ bên.
Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa các thành phố là nhỏ nhất?
Cách C là apa+b
Cách D là pa+b
Cách C là aa+b
Cách C là ap2a+b
Đáp án A
Giả sử vị trí cây cầu cách C 1 đoạn là x. Ta có tổng khoảng cách giữa các thành phố là:
d=AF+FE+EB=a2+x2+r+b2+p−x2.
Do đó d nhỏ nhât khi:
ax=bp−x⇔ap−ax=bx⇔ap=a+bx⇔x=apa+b.
Cho tứ diện ABCD có AB=2; CD=4 và các cạnh còn lại cùng bằng 6. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD.
1156π31
1156π93
47π
1280π93
Đán án C
Gọi G là trung điểm của EF thì G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có CE2=CB2+CA22−AB24=62+622−224=35,
EF2=CE2−CF2=35−22=31
⇒GF=312⇒R=GC=GF2+CF2=314+4=472.
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là:
S=4πR2=4π.474=47π.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho PBPA=20182017. Tính thể tích V của khối tứ diện PMNC.
27.212
9.2018.216.2017
9.216
9.2017.216.2018
Đáp án C
Gọi H là trọng tâm ΔBCD thì AH⊥BCD.
Ta có: BH=23.332=3
⇒AH=AB2−BH2=9−3=6
Do đó: VABCD=13.AH.SBCD=13.6.3234=924.
Lại có:
VC.MNPVC.ABD=13dC,ABD.SMNP13dC,ABD.SABD=SMNPSABD=SABD−SSPM−SDMN−SBPNSABD=1−12.20174035−14−12.20184035=14
Vậy VC.MNP=14.924=9216.
Tổng các nghiệm của phương trình:
1cosx+1sinx.cosx=3sin2x là
π
π6
5π6
2π3
Đáp án A
ĐK sin2x≠0.
Ta có:
PT⇔2sinx+2=3⇔sinx=12⇔x=π3+k2πx=2π3+k2π.
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R = 5. Một đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N phân biệt nhưng không đi qua I. Đặt MN = 2m Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất?
m=52
m=±522
m=522
m=102
Đáp án C
Ta có:
SIMN=12.IM.IN.sinMIN^=12.52.sinMIN^.
Vậy SIMN lớn nhất ⇔sinMIN^=1
⇔MIN^=900⇔MN2=IM2+IN2⇔m=522
Cho khối nón đỉnh S, trục SI (I là tâm của đáy). Mặt phẳng trung trực của SI chứa khối chóp thành hai phần. Gọi V1 là thể tích cảu phần chứa S và V2 là thể tích của phần còn lại. Tính V1V2?
V1V2=14
V1V2=18
V1V2=17
V1V2=12
Đáp án C
Ta có: V1V=13π.SI'.I'M213π.SI.IA2==18⇒V1V2=17.
Cho hàm số y=fx=x+1x−1 có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm nằm trên (C) đồng thời đối xứng nhau qua điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Dựng hình vuông AEBD . Tìm diện tích nhỏ nhất Smin của hình vuông đó.
Smin=82
Smin=42
Smin=4
Smin=8
Đáp án D
S=12AB.DE=12AB2. Do đó hình vuông có diện tích nhỏ nhất khi AB là phân giác của góc giữa 2 đường tiệm cận. Phương trình AB:y=x. Hoành độ A, B là nghiệm của phương trình
x+1x−1=x⇔⇔x2−2x−1=0⇒A1−2;1−2B1+2;1+2⇒AB=4
Vậy Smin=12.42=8.
Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 4x−163+16−43=16x+4x−203
3
52
4
92
Đáp án B
Đặt a=4x−16,b=16x−4.
Ta có: PT⇔a3+b3=a+b3⇔3aba2+b2=0
⇔a=0∨b=0⇒x=2∨x=12
Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của PT là 2+12=52.
Cho cấp số cộng un có công sai d=−3 và u22+u32+u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
S100=−14400.
S100=−14250.
S100=−15480.
S100=−14650.
Đáp án B
Ta có:
S=u22+u32+u42=u1−32+u1−62+u1−92=3u12−36u1+126.
Do đó S đạt GTNN khi u1=6.
Vậy S100=100.6+100.992.−3=−14250.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R. mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của (OO') và tạo với OO' một góc 30° cắt đường tròn dáy theo dây cung . Tính độ dài day cung đó theo R
4R33
2R63
2R3
2R33
Đáp án B
Ta có OH=IO.tan300=R3⇒HA=OA2−OH2=R63.
Vậy AB=2R63
Từ tập A=1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và ba chữ số phân biệt
45
99
150
180
Đáp án D
Ta có bộ 3 số có tổng chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {1;2;9}, {1;3;5}, {1;3;8}, {1;4;7}, {1;5;6},{1;5;9}, {1;6;8}, {1;8;9}, {2;3;4}, {2;3;7}, {2;4;6}, {2;4;9}, {2;5;8}, {2;6;7}, {2;7;9}, {3;4;5}, {3;4;8}, {3;5;7}, {3;6;9}, {3;7;8}, {4;5;6}, {4;5;9}, {4;6;8}, {5;6;7}, {6;7;8}, {7;8;9}.
Mỗi bộ số ta lập được 3!=6 số.
Vậy có 30.6=180 số.
Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh n=9 trong đó có 2 học sinh nữ, tham gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức cả 2 học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n?
n=9
n=7
n=5
n=11
Đáp án B
The đề bài ta có Cn−22Cn4=2Cn−24Cn4⇔n=7.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y=cosx+m.sinx+1cosx+2 có giá trị lớn nhất bằng 1
0
1
2
3
Đáp án B
Ba anh em Tháng, Mười, Hai cùng vay tiền ở một ngân hàng với lãi xuất 0,7%/tháng với tổng số tiền vay là 1 tỉ đồng. Giả sử mỗi tháng ba người đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền góc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì Tháng cần 10 tháng. Mười cần 15 tháng và Hai cần 25 tháng. Hỏi tổng số tiền mà ba an hem trả ở tháng thứ nhất cho ngân hàng là bao nhiêu ( làm tròn đến hàng đơn vị)?
46712413 đồng
63271317 đồng
64268185 đồng
45672181 đồng
Đáp án C.
Giả sử số tiền vay của 3 anh em Tháng, Mười, Hai lần lượt là x, y, z đồng.
Số tiền Tháng phải trả vào hàng tháng để sau 10 tháng hết nợ là: A1=x1+0,00710.0,0071+0,00710−1.
Số tiền Mười phải trả vào hàng tháng để sau 15 tháng hết nợ là: A2=y1+0,00715.0,0071+0,00715−1.
Số tiền Hai phải trả vào hàng tháng để sau 25 tháng hết nợ là: A3=z1+0,00725.0,0071+0,00725−1
Theo đề bài ta có:
A1=A2=A3⇒x=1,00751,00710−1y1,00715−1z=1,007−101,00725−1y1,00715−1
Lại có: x+y+z=1000000000
⇒y=304037610.4⇒A1+A2+A3=3A2=3.304037610,4.1,00715.0,0071,00715−1=64268158
Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 3a−4>b>0 và biểu thức P=logaa34b+316log3a4+ba2 có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S=3a+b
S=8
S=132
S=252
S=14
Đáp án A
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi a=b=2. Vậy S=3a+b=8.
Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S. Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng
Vn.S
V3S
3VS
nVS
Đáp án C
Nối điểm đó với đỉnh của đa diện ta được n hình đa diện có thể tích bằng nhau. Khoảng cách từ điểm đó đến các mặt của đa diện bằng nhau và bằng .
Ta có 1nV=13h.S⇒h=3nSV.
Vậy tổng của n khoảng cách là 3VS.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng −9;12 sao cho hàm số y=mx+9x+m đồng biến trên khoảng −6;+∞?
14
16
7
6
Đáp án D
Ta có y'=mx+m−mx+9x+m2=m2−9x+m2.
Hàm số đồng biến trên khoảng: −6;+∞
⇔y'≥0, ∀x∈−6;+∞−m∈−6;+∞⇔m2−9≥0−m≤−6⇔m≥6
Vậy các giá trị nguyên của m thuộc khoảng −9;12 thỏa mãn yêu cầu bài toán là 6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc ABC bằng 60°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Biết khoảng cách từ điểm A đến (SCD) bằng a64. Tính độ dài AB.
AB=2a
AB=a2
AB=a304
AB=a
Đáp án C
Ta có ΔABC đều. Giả sử AB=x⇒AC=x.
Ta có:
SO,ABCD^=SO,AO=SOA^=450⇒SA=AO=x2 .
Lại có 1AH2=1SA2+1AD2
=4x2+1x2=5x2⇒x2=30a216⇒x=a304.
Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có canh đáy a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
75
73
17
15
Đáp án A
Áp dụng định lí Menelaus cho ΔSCD ta có:
NSNC.MCMD.PDPS=1⇒PDPS=12⇒PDSD=13.
Ta có: VP.BQDCVS.ABCD=13.dP,ABCD.SBCDQ13.dS,ABCD.SABCD=13.34=14
⇒VP.BQDC=14VS.ABCD.
VP.NCBVS.ABCD=VP.NCB2.VD.SCB=13.dP,SCB.SΔNCB2.13.dD,SCB.SΔSCB=12.23.12=16⇒VP.NCB=16VS.ABCD.
Do đó VPQD.NBC=VP.BQDC+VP.NCB=512VS.ABCD.
Vậy tỉ số thể tích của 2 phần cần tìm là 75.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB=2a2. Biết Ac'=8a và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45°. Tính thể tích V của khối đa diện ABCC'B'.
8a333
16a333
16a363
8a363
Đáp án C
Gọi H là hình chiếu của C' trên ABC
⇒AC',ABC^=AC',AH=C'AH^=450
⇒C'H=C'A.sin450=4a2.
Ta có: VABCC'B'=VABC.A'B'C'−VA.A'B'C'
=2a2234.4a2−13.2a2234.4a2=16a363 .
Trên đường thẳng y=2x+1 có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số y=x+3x−1
2
4
1
3
Đáp án A
Ta có: y'=x−1−x+3x−12=−4x−12.
Tiếp tuyến tại Mx0;x0+3x0−1∈C là:
y=−4x0−12x−x0+x0+3x0−1=−4xx0−12+x02+6x0−3x0−12.
Tiếp tuyến đi qua Mx1;2x1+1 nên:
2x1+1=−4x1x0−12+x02+6x0−3x0−12
⇔2x1+1x02−2x0+1=x02+6x0−3−4x1⇔2x1−1x02−4x1+2x0+6x1+4=0 (*)
Qua Mx1;2x1+1 kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) nên (*) có nghiệm duy nhất
⇔Δ'=4x1+22−2x1−16x1+4=0⇔−4x12+7x1+10=0⇔x1=7±2098.
Vậy có 2 điểm từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
