Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 13)

Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình asinx+bcosx=c là a2≤a2+b2

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 52≤m2+32⇔m2≥16⇔m≥4.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên a2+b2≤c là dẫn đến kết quả sai.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép: T=M1+rn với:

T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.

Ta có: 250.106=100.1061+7,4n

⇔n=log1+7,4%250.106100.106≈12,8⇒n=13 (năm).

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì n~12,8nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính đạo hàm hàm hợp: f;ux=u'x.f'u .

Công thức tính đạo hàm: lnu'=u'u

Cách giải:

Có: fx=lnx2+1⇒f'x=x2+1'x2+1=2xx2+1

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm lnx'=1x mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với log2x−2 và đặt ẩn phụ t=log2x−2 với t∈−1;1

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

m−1log122x−22+4m−5log121x−2+4m−4=0x>2

m−1log22x−2+m−5log2x−2+m+1=0

Đặt y=log2x−2⇒x∈52;4⇒t∈−1;1

Phương trình đã cho trở thành:

m−1t2+m−5t+m+1=0

⇔mt2+t+1=t2+5t+1⇔m=t2+5t+1t2+t+1=1+4tt2+t+1

vì t2+t+1>0∀t∈−1;1

Xét hàm số:y=1+4tt2+t+1 trên −1;1

Có: y't=−4t2+4t2+t+12

y'x=0⇔−4t2+4t2+t+12=0⇔t=±1∈−1;1

Ta có bảng biến thiên:

⇒m∈−3;73⇒a+b=−23.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.

Đáp án A

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox

Cách giải: Để đồ thị hàm số Cm tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: y=0⇔x3+mx2−9x−9m=01

⇔x+mx2−9=0⇔x=−mx=±3

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔m=±3

Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq=2πRh 

Công thức tính thể tích khối trụ: V=πR2h

Công thức tính diện tích hình cầu:S=4πR2

Công thức tính thể tích khối cầu: V=43πR3

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là R⇒h=4R.

V=2V1+V2 với V1 là thể tích nửa khối cầu và V2 là thể tích khối trụ.

=2.23πR3+πR2.4R=16πR33=128π3⇒R=2

Vậy S=2S1+S2=2.42πR2+2πR.4R=48π.

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y=f'x để tìm khoảng dương, âm của f'x, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của fx.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số y=f'x suy ra hàm số y=fx nghịch biến trên −∞−1 và 1;2 (làm y'âm) và đồng biến trên −1;1 (làm y'dương).

Suy ra B, C, D sai và A đúng.

Chú ý khi giải:

HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số y=fx do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp V=13S.h với S là diện tích đáy,h là chiều cao.

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Cách giải: Ta có: ABC⊥SBCSBC⊥SBCABC∩SAC=AC⇒AC⊥SBC

⇒V=13SSBC.AC=13aa234=a3312

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

mà AK⊂AIB';AH⊂ACB;EA⊥AK;EA⊥AH⇒hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: BC=2acos30°=a3

AE2=EC2+AC2−2AC.EC.cosACE=3a2+a2−2a.a3.cos150°=7a2⇒AE=a7

Ta có:

 cosAEC=AE2+EC2−AC22AC.EC=7a2+3a2−a22a7.a3=9221

⇒tanAEC=1cos2AEC−1=39.⇒AH=AE.tanAEC=a219

Ta có: EHEB=HKBB'

⇒HK=EH.BB'EB=AE.BB'2BC.cosAEC=a7.a.2212a3.9=7a9

cosKAH=AHAK=AHAH2+HK2=a21921a281+49a281=3010

Đáp án D

Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức y=fxgx là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Cách giải: Ta thấy mẫu thức x2−1có 2 nghiệm x=±1và x = 1cũng là nghiệm của tử, x=−1 không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.

Đáp án C

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả A2+B2+C≥C để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2

Cách giải: F=a4b4+b4a4−a2b2+b2a2+ab+ba

=a2b2−12+b2a2−12+ab+ba2+ab+ba−4≥a2+b2ab−4≥2−4=−2

Dấu “=” xảy ra ⇔a;b=−1;1 hoặc a;b=1;−1

Vậy Miny=−2 tại a;b=−1;1 hoặc a;b=1;−1

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử =>có C202 tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử =>có C204tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử =>có C2020 tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có ∑i=110C202i=219−1 trường hợp.

Đáp án B

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.

Cách giải: Xét hàm số: y=x3−3x2+5x−2 trên R

Có y'=3x2−6x+5=3x−12+2≥2.

Dấu “=” xảy ra

Với x=1⇒y=1

Vậy đường thẳng cần tìm là:

y−1=2x−1⇔y=2x−1

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông ⇒I∈OO'.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.

Cách giải:

Ta có: IB=OI2+OB2=9a24+9a2=3a52

⇒AB=BI.2=3a102

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq=πRl

Cách giải:

Có: l=2R2=a22

Sxq=πRl=π.a2.a22=πa224

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là Sxq=πRh với h là đường cao của hình nón.

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: y=x3+3x2+1C trên R

Ta có: y'=3x2+6x;y'=0⇔3x2+6x=0⇔x=0x=−2

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: a=1>0→B0;1 là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: AB→=3;0⇒AB//Ox

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi d:y=kx+a với: k>0;k,a∈R

Ta lại có 

A−3;1∈d⇒1=−3k+a⇔a=1+3k

⇒d:y=kx+3k+1

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: kx+3k+1=x3+3x2+11có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình 1⇔x+3x2−k=0⇔x=−3x=±kvì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy k>0;k≠9 thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đths y=fx nếu limx→−∞y=y0 hoặc limx→+∞y=y0

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đths y=fx nếu limx→x0+y=±∞ hoặc limx→x0−y=±∞ .

Cách giải:

limx→∞y=limx→∞y3x1+2x=32

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=3x1+2x là đường thẳng y=32

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án D

Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho để tính 3x+3−x, từ đó thay vào biểu thức A

Cách giải:

Ta có: 9x+9−x=23

⇔3x+3−x2=25⇔3x+3−x=5 vì 3x+3−x>0,∀x∈R

⇒A=5+3x+3−x1−3x−3−x=5+51−5=−52=ab

Vậy ab=−10

Chú ý khi giải:

HS thường phân vân ở chỗ tính 3x+3−x vì đến đó các em không biết nhận xét 3x+3−x>0,∀x dẫn đến một số em có thể chọn nhầm đáp án.

Đáp án A

Sử dụng các công thức biến đổi logarit như: logab=1logba;logabc=logab+logac

Cách giải:

Ta có: logabc3=215

⇒log3abc=152

⇔log3a+log3b+log3c=152

⇔1loga3+1logb3+log3c=152

⇔log3c=152−1loga3−1logb3=152−12−4=3

⇔log3c=13.

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức logarit của một tích, hoặc đến bước cuối tính logc3 lại kết luận nhầm log3c=3 dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án C

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét dựa trên dáng đồ thị các hàm số đa thức bậc 3, bậc 4.

Cách giải:

Đồ thị hàm số nhận (0;0) là điểm cực tiểu nên loại A, B, D.

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng . 0

- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm.

- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn a;b

Cách giải:

Xét hàm số: y=x2−lnx trên 2;3

Có y'x=2−lnx−1=1−lnx

y'x=0⇔1−lnx=0⇔lnx=1⇔x=e∈2;3

Ta có bảng biến thiên:

Vậy max2;3y=ye=e

Chú ý khi giải:

HS thường tính sai bước đạo hàm và nhầm lẫn khi xét dấu đọa hàm dẫn đến sai kết quả.

Đáp án A

Phương pháp:

Biến đổi VT để xuất hiện loga2019

Sử dụng công thức 13+23+33+...+n3=n2n+124

Cách giải:

Ta có: 

VT=12.loga2019+22loga2019+...n2.logan2019

Vậy. =13.loga2019+23loga2019+...+n3.loga2019

=13+23+...+n3.loga2019

VT=10102.20192.loga2019

Có VT=VP

⇔13+23+...+n3loga2019=10102.20192.loga2019

⇔n2n+124=10102.20192

⇔n2+n2=2020.20192

⇔n2+n=2020.2019 vì n2+n>0,∀n>0

⇔n=2019∈0;+∞n=−2020∉0;+∞

Vậy n=2019

Chú ý khi giải:

HS thường không biết áp dụng công thức 13+23+33+...+n3=n2n+124 dẫn đến không tìm ra kết quả bài toán.

Đáp án A

Phương pháp:

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Cách giải:

Ta có hàm số: y=ax2+bx2+cx+d

Từ chiều biến thiên của đồ thị ta có a > 0.

Có: y0=d>0

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

=> phương trình: y=3ax2+2bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Chọn x1<x2

Mà x1<0<x2⇒ac<0⇔c<0

Từ đồ thị ta có: x1−0<x2−0⇒a+b<0⇔b<−a<0

Vậy: a,d>0;b,c<0

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về 2log5x2−2x−3=log2x2−2x−4 và đặt ẩn phụ t=log5x2−2x−3 đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm ft và tìm nghiệm của ft=0 từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1): log5x2−2x−3=2log2x2−2x−4

Điều kiện: x2−2x−3>0x2−2x−4>0⇔x2−2x−4>0

Vì x2−2x−<x2−2x−3,∀x∈R

1⇔2log5x2−2x−3=log2x2−2x−4*

Đặt t=log5x2−2x−3

⇒x2−2x−3=5t⇒x2−2x−4=5t−1>0⇔t>0

Phương trình (*) trở thành:

2t=log25t−1⇔5t−4t−1=0

Xét hàm số yt=5t−4t−1 trên 0;+∞

Có y't=5tln5−4tln4

Vì 5t>4t,∀t∈0;+∞;ln5>ln4 nên yt=5tln−4tln>0,∀t∈0;+∞

⇒ft đồng biến trên 0;+∞

Bảng biến thiên:

Mà ft=0⇒t=1 là nghiệm duy nhất phương trình ft=0

Với t=1⇒log5x2−2x−3=1

⇔x2−2x−3=5⇔x2−2x−8=0

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: x1+x2=2.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Đáp án A

Phương pháp:

Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Công thức tính thể tích khối chóp: V=13S.h

Cách giải:

Ta có: SA⊥ABCD⇒SA⊥CD

Mà AD⊥CD⇒CD⊥SAD⇒CD⊥SD.

Vì SCD∩ABCD=CDAD⊥CDSD⊥CDnên góc giữa (SCD) và (ABCD) là SDA=60°

Ta có: h=a.tan60°=a3

SABMD=SABCD−SΔDCM=a2−12a.a2=3a24

⇒VS.ABMD=13SABMD.h=13.3a24.a3=a334

Chú ý khi giải:

HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng dẫn đến đáp số sai.

Đáp án D

Phương pháp:

Tính y' và tìm điều kiện của để y'>0,∀x∈R

Điều kiện để tam thức bậc hai ax2+bx+c>0,∀x∈R là a>0Δ≤0

Cách giải:

Xét hàm số: y=13x3−m−1x2+2m−1x−2

Có y'x=x2−2m−2x+2m−1

Hàm số đã cho tăng trên R⇔y'x>0,∀x∈R

⇔Δ'=m−12−2m−1≤0 vì a=1>0

⇔m2−4m+3≤0

1≤0≤3

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm, luôn dương dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án C

Phương pháp:

Xét các hàm số ở từng đáp án, tìm khoảng nghịch biến của chúng và đối chiếu điều kiện đề bài.

Cách giải:

*TH1: Đáp án A:

Hàm số: y=x2+x−1x−1  xác định trên D=R\1 nên loại A vì 1∈0;2

*TH2: Đáp án B:

Xét hàm số: y=2x−5x+1 xác định trên R\−1

Có y'=7x+12,∀x∈R\1

=> Hàm số y=2x−5x+1  đồng biến trên R\−1(loại).

*TH3: Đáp án C:

Hàm số y=12x4−2x2+3  liên tục trên 0;2

Có y'x=2x3−6x<0,∀x∈0;2

Hàm số: y=12x4−2x2+3 nghịch biến trên 0;2

*TH4: Đáp án D:

Hàm số: y=32x3−4x2+9x+9 xác định trên R

Có y'x=92x2−8x+6=92x−892+229>0,∀x∈R (loại).

Vậy đáp án C thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng a;b là f'x<0,∀x∈a;b.

Đáp án B

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho x+1>0 và đặt ẩn phụ t=x−14x+14 .

- Từ điều kiện x≥1 ta tìm được điều kiện của t là 0≤t<1.

- Từ phương trình ẩn t, rút −m=ft và xét hàm ft trên 0;1 , từ đó suy ra điều kiện của

Cách giải:

Phương trình: 3x−1+mx+1=2x2−14 (Điều kiện: x≥1)

3x−1+mx+1=2x−14.x+14*

Ta có với x≥1 Chia hai vế phương trình (*) cho  ta có: 3x−1x+1+m=2x−14x+141

Đặt t=x−14x+14⇒t4=x−1x+1

Với x≥1 thì hàm số 0≤x−1x+1=1−2x+1<1⇒0≤t4<1⇔0≤t<1

Phương trình (1) trở thành: 3t2−2t+m=02

Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm: 0≤t<1

Xét hàm y=ft=3t2−2t trên 0;1ta có:

f't=6t−2=0⇔t=13∈0;1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình 3t2−2t+m=0 có nghiệm trong 0;1 thì đường thẳng y=−mphải cắt đồ thị hàm số y=ft=3t2−2t tại ít nhất 1 điểm.

Do đó −13≤−m<1⇔−1<m≤13

Vậy −1<m≤13 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.

Chú ý khi giải:

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3  

Đáp án A

Phương pháp:

Xét tính đúng sai của các đáp án dựa vào các kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định.

Cách giải:

*2 sai vì với c1<c2 bất kỳ nằm trong a;b ta chưa thể so sánh được fc1 và fc2

*3 sai. Vì y' bằng 0 tại điểm đó thì chưa chắc đã đổi dấu qua điểm đó. VD hàm số y=x3

*4 sai: Vì thiếu điều kiện tại f'x=0 hữu hạn điểm.VD hàm số y=1999 có y'=0≥0 nhưng là hàm hằng.

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn:

- Khẳng định số 4 vì không chú ý đến điều kiện bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Khẳng định số 3 vì không chú ý đến điều kiện đổi dấu qua nghiệm.

Đáp án B

Phương pháp:

Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức V=43π.R3 và suy ra kết luận.

Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.

Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.

Vì BAC=2β=60°,AM=9cm.

⇒BM=MC=33AB=AC=63=BC⇒ΔABC đều.

Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên IH=IM=AM3=3

Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì ΔABC đều nên dẫn đến ΔAB'C'  đều.

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp:

JK=JG=AG3=AM9=1

Vậy tổng thể tích là:

V1+V2=43π.IH3+43π.JK3=112π3

Chú ý khi giải:

Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các khối cầu.

Đáp án D

Phương pháp:

Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp

V=13S.h để suy ra chiều cao hạ từ C đến mp (SAB).

Cách giải:

Gọi khoảng cách từ C đến (SAB) là h.

Theo công thức thể tích khối chóp, ta có:

V=13h.SSAB=13.h.2a2=a33→h=a2

Chú ý khi giải:

HS cần áp dụng đúng công thức tính thể tích.

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính thể tích khối nón có được khi quay tam giác ACH quanh AB (hay AH) bằng công thức V=13Sd.h  với đáy là hình tròn tâm H bán kính CH và chiều cao là AH.

- Tìm GTLN của thể tích dựa vào phương pháp xét hàm, từ đó tìm được AH.

Cách giải: Thể tích khối nón khi quay ΔACH quay quanh AB:

V=13AH.π.CH2=13AH.π.AH.AB−AH2=2Rπ3.AH2−π3AH3

Chú ý khi giải:

Ở bước kết luận nhiều HS sẽ kết luận sai góc α là góc 45° dẫn đến chọn sai đáp án. 

Đáp án D

Phương pháp:

Phương trình đã cho có nghiệm <=> đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=fx=3+x+6−x−3+x6−x tại ít nhất 1 điểm nên ta xét hàm f(x), từ đó tìm ra điều kiện của m.

Cách giải:

Xét hàm số: fx=3+x+6−x−3+x6−x trên −3;6

f'x=0⇔6−x−3+x+2x−3=0⇔3−2x6−x−3+x−3−2x=0⇔x=32∈−3;66−x−3+x=1*

*⇔9+26−x3+x=1⇔26−x3+x=−8 (loại)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để phương trình f(x) có nghiệm thì: −9+622≤m≤3

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối nón: V=13S.h với S là diện tích hình tròn đáy và h là đường cao.

Cách giải:

Gọi A’ đối xứng với A qua BC. Khi quay tam giác quanh trục BC ta sẽ được hai khối nón có đáy là hình tròn tâm H bán kính R và lần lượt có chiều cao là BH và CH.

Ta có:

AC=BC2−AB2=4a2−a2=a3

⇒AH=AB.ACBC=a.a32a=a32

V=13πAH2.BH+13πAH2.CH=13.πAH2.BC=13πa322.2a=πa32

Đáp án B

Phương pháp:

Tính thể tích mỗi viên bi hình cầu: V=43πR3⇒5 viên có thể tích

Tính thể tích lượng nước ban đầu (cột nước hình trụ): V2=Vn=πR2h.

Tính tổng thể tích cả bi và nước lúc sau V=V1+V2 , từ đó suy ra chiều cao cột nước lúc sau và khoảng cách từ mặt nước đến miệng cốc.

Cách giải:

Chú ý khi giải:

Các em có thể sẽ quên không tính thể tích của 5 viên bi, hoặc nhầm lẫn đường kính 6cm thành bán kinh 6cm dẫn đến các thể tích bị sai.

Đáp án B

- Ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến là một đường tròn có cùng bán kính.

- Xác định tâm đường tròn mới qua phép tịnh tiến rồi viết phương trình đường tròn mới có tâm vủa tìm được và bán kính là bán kính đường tròn đã cho.

- Điểm I'x';y' là ảnh của Ix;y qua phép tịnh tiến theo véc tơ v→=a;b nếu x'=x+ay'=y+a

Cách giải:

Ta có: C:x−12+y+22=9

Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là: I1;−2

Suy ra ảnh I’ của I qua  là I4;1 .

⇒C:x−42+y−12=9

Chú ý khi giải:

HS thường hay nhầm lẫn biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến dẫn đến tìm sai tọa độ điểm I’

Đáp án B

Phương pháp:

- Gọi là một điểm cực trị của hàm số y=fx , khi đó y'x0=0y0=x03+3mx02−3x0

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua x0;y0 .

Cách giải:

Có: yx=x3+3mx2−3x⇒y'x=3x2+6mx−3

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên x0;y0∈d thỏa mãn:

y'x0=0y0=x03+3mx02−3x0⇔3x02−6mx−3=0y0=x0x02+2mx0−3x0+mx02

x02+2mx0=1y0=−2x0+mx02⇔x02=−2mx0+1y0=−2x0+m−2mx0+1

⇒y0=−2m2+1x0+m

Chú ý khi giải:

Các em cũng có thể giải bài toán bằng cách khác:

- Tính y'.

- Thực hiện phép chia y cho y' ta sẽ tìm được đa thức dư là kết quả bài toán.

Đáp án A

Phương pháp:

Đáp án A

Phương pháp:

Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để AM+MN+NP+PQ  là nhỏ nhất.

Cách giải:

Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên:

Như hình vẽ ta tháy, để tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng AQ.

Lúc này, xét ΔSAQ có:

ASM=MSN=NSP=PSQ=15°

SA=600m,SQ=300m

⇒k=AM+MNNP+PQ=ANNQ=SASQ=2

(Vì ANNQ=SASQ do tính chất của đường phân giác SN).

Đáp án D

Phương pháp:

Điểm x=x0 là điểm cựa tiểu của hàm số bậc ba y=fx nếu f'x0=0f''x0>0

Cách giải:

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x2−4mx+m2→y''=6x−4m

Để x=1 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số x3 dương thì:

y'1=0y''1>0⇔m2−4m+3=06−4m>0⇔m=1;m=3m<32⇔m=1

Chú ý khi giải:

Nhiều HS sẽ nhầm lẫn điều kiện để điểm x0 là điểm cực tiểu là f''x0>0 dẫn đến chọn đáp án m=3 là sai

Đáp án B

Phương pháp:

- Chứng minh ΔABC vuông tại B, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

- Sử dụng công thức R2=h24+r2 với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp, h là chiều cao, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Cách giải:

Ta có: cos60°=12=a2a→cosBAC=ABAC

⇒ΔABC vuông tại B.

Gọi M là trung điểm AC.

⇒M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

⇒MA=MA=AC2=a

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

h là chiều cao hình chóp.

Ta có công thức sau:

R2=h24+r2⇒R2=a24+a2=a52

⇒V=43πR3=5a56

Chú ý khi giải:

HS cần linh hoạt trong việc chứng minh ΔABC vuông tại B và biết sử dụng công thức liên hệ giữa R, r, h.

Đáp án D

Phương pháp:

Chọn điểm cụ thể x=2 rồi suy ra logc2>loga2>logb2 , từ đó chọn được đáp án.

Cách giải:

Theo như đồ thị hàm số, chọn x=2, ta có:

logc2>loga2>logb2⇒1logb2<0<1logc2<1loga2⇒log2b<0<log2c<log2a⇒b<c<a

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định góc 60° bằng phương pháp xá định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Thể tích khối chóp V=13S.h

Cách giải:

ΔABC vuông cân tại B có AC=a⇒BC=BA=a2

Mà ΔSAB vuông tại A có SBA=60°

⇒SA=AB.tanSBA=a2tan60°=a62

V=13SA.SABC=13SA.12BC.BA

=13.a62.12.a2.a2=a3624

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với cosx , đặt cosx=t và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú ý

Cách giải:

Ta có: y=2sin2x−cosx+1

=21−cos2x−cosx+1=−2cos2x−cosx+3

Đặt t=cosx−1≤t≤1

yt=−2t2−t+3⇒y't=−4t−1

y'0=0⇔t=−14∈−1;1

⇒M=maxy=y−14=258;m=miny=y1=0⇒M+m=258

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, hoặc ở bước đặt ẩn phụ quên không đặt điều kiện cho ẩn mới.

Đáp án C

Phương pháp:

- Vẽ đồ thị hàm số y=fx từ đồ thị hàm số y=fx: giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới qua trục hoành.

- Điều kiện để phương trình fx=2m2−m+3 có 6 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=2m2−m+3 cắt đồ thị hàm số y=fx tại 6 điểm phân biệt.

Cách giải:

Ta có đồ thị hàm số y=fx.

Lúc này, để phương trình fx=2m2−m+3 có 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=2m2−m+3 cắt đồ thị hàm số y=fx tại 6 điểm phân biệt.

Chú ý khi giải:

HS thường nhầm lẫn cách vẽ các đồ thị hàm số y=fx và y=fx, hoặc ở bước giải bất phương trình kết hợp nghiệm sai dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án B

Phương pháp:

Điều kiện để hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên là cơ số phải dương.

Cách giải:

Vì π là số vô tỉ nên điều kiện là cơ số lớn hơn 0.

⇒2x−x2>0⇔x<2⇔x∈0;2

Chú ý khi giải:

HS rất hay nhầm lẫn khi tìm điều kiện xác định của hàm số lũy thừa, đó là cho cơ số có thể bằng 0 dẫn đến chọn nhầm đáp án D.

Đáp án A

Phương pháp:

- Coi hai ông Trum và Kim là một người thì bài toán trở thành xếp 9 người vào dãy ghế.

- Lại có 2 cách đổi chỗ hai ông Trum và Kim nên từ đó suy ra đáp số.

Cách giải:

Kí hiệu 10 vị nguyên thủ là a, b, c, d, e, f, g, h, i, k.

Và hai ông Trum, Kim lần lượt là a, b.

Nếu ông Trum ngồi lên bên trái ông Kim, tương đương xếp ab¯,c,d,e,f,g,h,i,kvào 9 vị trí. Ta có A99cách.

Vậy tổng hợp lại, có A99+A99=2.9!cách.

Đáp án B

Phương pháp:

Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TH1: m=0→y=x−1 Hàm số không có cực trị.

TH2: TXĐ: D=R

Ta có: y=mx33−mx2+x−1⇒y'=mx2−2mx+1

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt Δ'=m2−m>0⇔m<0m>1

Đáp án D

Tính y’ và tìm nghiệm của y'=0 .

- Biện luận các trường hợp điểm x=3 nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.

Cách giải:

TXĐ: D=R

y'=3x2−6mx

Ta có: y'=0⇔x=0→y=6x=2m→y=−4m3+6

Xét TH1: m=0 . Hàm số đồng biến trên 0;3. ⇒Min0;3y=y0=6→ loại.

Xét TH2: m≥32⇒2m>3>0. Khi đó, hàm số nghịch biến trên 0;3⊂0;2m

⇒Min0;3y=y3=33−27m=2→m=3127<32(loại)

Xét TH3: 32>m>0⇒3>2m>0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là 0;6 và điểm cực tiểu là 2m,−4m3+6.

Khi đó , GTNN trên 0;3 là y2m=−4m3+6

⇒−4m3+6=2⇔m3=1⇔m=1 (thỏa mãn)

Xét TH4: m<0→0;6là điểm cực tiểu và trên 0;3hàm số đồng biến.

⇒ymin=6→loại.

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.

Đáp án D.

Chú ý khi giải:

HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận m=3127mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là m≥32