Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 1)
50 câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có các cạnh a, khi đó AB→.EG→ bằng
a2
a22
a222
a23
Đáp án là A.
Ta có:
AB→.EG→=AB.EG.cosAB→;EG→^=AB.AC.cosBAC^=a22.22=a2.
Phương trình 2cos2x+cosx−3=0 có nghiệm là
kπ
π2+k2π
π2+kπ
k2π
Đáp án là D
Ta có:
2cos2x+cosx−3=0⇔cosx=1⇔x=k2π, k∈ℤcosx=−32ptvn
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
2448
3600
2324
2592
Đáp án là A.
Gọi số cần lập có dạng: a1a2a3a4a5¯
• Chọn 2 số lẻ thuộc nhóm 1;3;5;7⇒C42
• Chọn 3 số chẳn trong nhóm 0;2;4;6⇒C43
• Hoán vị 2 nhóm trên có 5! cách
* Các số có số a1=0
• Chọn 2 số lẻ thuộc nhóm 1;3;5;7⇒C42
• Chọn 2 số chẳn trong nhóm 0;2;4;6⇒C32
• Hoán vị 2 nhóm trên có 4! cách
Vậy các số cần tìm: C42.C43.5!−C42.C32.4!=2448 số
Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà là
16
15
130
115
Đáp án là D.
• Số phần tử không gian mẫu nΩ=6!
• Gọi biến cố A" đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà".
+ Xếp 2 người đàn bà ngồi 2 bên đứa bé có: 2! cách
+ Xem 2 người đàn bà và đứa bé là 1 vị trí sắp xếp với 3 người đàn ông còn lại có: 4! cách
+ Số phần tử của A:nA=2!.4!
Xác suất cần tìm PA=2!.4!6!=115.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a3 và vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng
60°
45°
30°
acrsin35
Đáp án là A
Ta có: SD;ABCD^=SD;AD^=SDA^.
Trong tam giác SAD có:
tanSDA^=SAAD=a3a=3⇒SDA^=600.
Cho các hàm số sau:
y=1x−3 I;y=x3−3x+2 II;y=−x4+2x2 III.
Trong các hàm số đã cho hàm không có cực trị là:
Chỉ (II)
Chỉ (III)
Chỉ (I)
(I)và (II)
Đáp án là C
• Hàm số (I) là hàm nhất biến nên không có cực trị.
• Hàm số (II) có phương trình y'=2 có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 cực trị.
Hàm số (III) có a.b=-2<0 nên có 3 cực trị.
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Để số tiền chi phí thấp nhất mà công ty phải thì khoảng cách từ A đến D là bao nhiêu km, biết rằng chi phí để hoàn thành mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260 triệu đồng.
8 km
5 km
7,5 km
6,5 km
Đáp án là D.
Đặt CD=x,x∈0;9. Ta có BD=x2+36
Chi phí xây dựng đường ống fx=1009−x+260x2+36
Ta có:
f'x=−100+260xx2+36, cho f'x=0⇔5x2+36=13x⇔x=52
f0=2460; f52=2340; f9≈2812,33
Chi phí thấp nhất x=52. Khoảng cách từ A đến D là: 6,5km
Tìm m C=2.Với C=limx→1x2−mx+m−1x2−1 để:
m=2
m= -2
m=1
m= -1
Đáp án là B
Ta có:
C=limx→1x−1x+1−mx−1x−1x+1=limx→1x+1−mx+1=2−m2
mà C=2⇒m=−2.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số ?
261
120
102
216
Đáp án là D
Gọi số cần lập có dạng abc¯
• a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn; c có 6 cách chọn.
• Vậy có 6.6.6=216 số.
Phương trình sin2x+cosx=0 có tổng các nghiệm trong khoảng 0;2π bằng
2π
3π
5π
6π
Đáp án là C.
pt⇔cosx2sinx+1=0⇔cosx=0sinx=−12⇔x=π2+kπx=−π6+k2πx=7π6+k2π;k∈ℤ
x∈0;2π⇒x∈π2;3π2;−π6;7π6.
Tổng các nghiệm 5π
Hàm số y=x3+3x2−21x−1có 2 điểm cực trị là x1,x2 thì tích x1.x2 bằng
–2
–7
2
7
Đáp án là B
Ta có y'=3x2+6x−21 .
Hàm số có 2 cực trị x1;x2⇒x1.x2=ca=−7.
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
a>0,b<0,c<0,d>0
a<0,b<0,c>0,d<0
a<0,b>0,c>0,d<0
a<0,b>0,c<0,d<0
Đáp án là C
• y'=3ax2+2bx+c
• Từ đồ thị ta có a<0 mà xCD+xCT=−2b3a>0⇒b>0
Mặt khác: xCD.xCT=c3a<0⇒c>0.
Các khoảng đồng biến của hàm số y=x4−8x2−4 là
−2;0 và 0;2
−∞;−2 và 2;+∞
−∞;−2 và 0;2
−2;0 và 2;+∞
Đáp án là D.
• y'=4x3−16x=0⇔x=0x=±2
• Xét dấu y'.
Một học sinh khảo sát sự biến thiên của hàm số như sau:
I. Tập xác định: D=ℝ
II. Sự biến thiên: y'=x2−x−2;y'=0⇔x=−1x=2
limx→−∞y=−∞;limx→+∞y=+∞
III. Bảng biến thiên:
IV. Vậy hàm số đồng biến trên nghịch biến trên khoảng −∞;−1∪2;+∞, nghịch biến trên khoảng −1;2
Lời giải trên sai từ bước nào?
Bước IV
Bước I
Bước II
Bước III
Đáp án là D.
• Sai ở bước III (bảng biến thiên)
Đạo hàm của hàm số y=2−x2+3x33 tại x0=1 bằng
−83
73
83
103
Đáp án là B
y'=3x2−23x⇒y'1=73.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=12t4+3t2, t được tính bằng giây, s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t=4( giây) bằng
0 m/s
200m/s
150m/s
140m/s
Đáp án là D.
• v=s'=2t3+3t⇒v4=140m/s.
Khối chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B với SB=2a, BC=a và thể tích khối chóp là a3. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng
a34
6a
3a2
3a
Đáp án là D.
SΔSBC=12SB.BC=122a.a=a2.
Gọi h=dA;SBC⇒h=3VS.ABCSSBC=3a3a2=3a.
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a3. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Khoảng cách giữa SA và CD bằng
2a3
a3
a2
23a
Đáp án là D.
• Ta có:
CD//ABAB⊂SAB⇒CD//SAB⇒dSA;CD=dCD;SAB=dC;SCD
• Gọi h=dC;SAB⇒h=3VS.ABCSΔSAB=32a3a234=2a3
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số y=tanxnghịch biến trên khoảng 0;π2
Hàm số y=sinxđồng biến trên khoảng 0;π
Hàm số y=cotx nghịch biến trên khoảng 0;π
Hàm số y=cosx đồng biến trên khoảng 0;π
Đáp án là C.
• Xét A: y'=1cos2x>0,∀x∈0;π2. Do đó loại A.
• Làm tương tự chọn C.
Hàm số y=mx+1x+m đồng biến trên khoảng 1;+∞ khi
−1<m<1
m>1
m∈ℝ\−1;1
m≥1
Đáp án là B.
• Hàm số đồng biến trên 1;+∞ khi và chỉ khi:
y'>0,∀x∈1;+∞−m∉1;+∞⇔m2−1>0−m≤1⇔m<−1m>1m≥−1⇔m>1.
Cho khai triển nhị thức Newton của 2−3x2n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn C2n+11+C2n+13+C2n+15+...+C2n+12n+1=1024..
Hệ số của x7 bằng
-2099520
-414720
2099520
414720
Đáp án là A
• Xét khai triển:
x+12n+1=C2n+10x2n+1+C2n+11x2n+...+C2n+12n+1.
Cho x=1, ta được: 22n+1=C2n+10+C2n+11+...+C2n+12n+1. (1)
Cho x=−1, ta được: 0=−C2n+10+C2n+11−...+C2n+12n+1. (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
22n+1=2C2n+11+C2n+13+...+C2n+12n+1⇔22n+1=2.1024⇔n=5
• Xét: 2−3x10=∑010C10k210−k.−3xk=∑010−3k.210−k.C10k.xk
Hệ số của x7 là: −37.23.C107=−2099520.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3+x2−5x trên đoạn 0;2 lần lượt là
1;0
2;-3
3;1
2;1
Đáp án là B.
• Ta có: y'=3x2+2x−5, cho y'=0⇔x=1∈0;2x=−53∉0;2
• y0=0; y2=2; y1=−3
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:
y=xx−1
y=−xx−1
y=xx+1
y=x−1x
Đáp án là A.
Từ đồ thị ta thấy x=1 và y=1 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nên chọn A.
Giá trị cực đại của hàm số y=x3−3x2−9x+2 là
-1
7
11
3
Đáp án là B
• y'=3x2−6x−9, cho y'=0⇔x=−1x=3
• BBT:
Từ BBT, suy ra: yCD=7
Cho hàm số y=x3−3x2+2 C. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là:
y=−3x+3
y=0
y=−5x+10
y=−3x−3
Đáp án là A.
• Gọi Mx0;y0∈C là toạ độ tiếp điểm.
• Ta có: y'x0=3x02−6x0=3x0−12−3≥−3.
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x0=1.
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi x0=1⇒y0=0
• Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y=−3x+3
Tất cả các giá trị của m để hương trình cosx−m=0 vô nghiệm là
−1≤m≤1
m>1
m<−1m>1
m<−1
Đáp án là C
phương trình đã cho vô nghiệm khi m>1
Với giá trị nào của m thì hàm số y=x3−3mx2+3m2−1+m đạt cực đại tại x=1
m=1
m=−1
m=2
m=−2
Đáp án là C.
• y'=3x2−6mx+3m2−1; y''=6x−6m
• Hàm số đạt cực đại tại x=1 thì:
y'1=0y''1<0⇔3m2−6m=06−6m<0⇔m=0 v m=2m>1⇒m=2.
Khối đa diện nào dưới đây có công thức tính thể tích là V=13B.h ( với B là điện tích đáy; h là chiều cao).
Khối chóp
Khối lăng trụ
Khối lập phương
Khối hộp chữ nhật
Đáp án là A
Giá trị của lim2n+1 bằng
0
1
+∞
−∞
Đáp án là C
lim2n+1=+∞
Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?
y=−x3−3x2−3x−1
y=x3−3x2+3x+1
y=+x3+3x2+3x+1
y=x3+3x2+9x+1
Đáp án là C
Từ đồ thị, ta có a>0x=−1⇒y=0 .
Cho n∈ℕ* dãy un là một cấp số cộng với u2=5 và công sai d=3. Khi đó u81 bằng
239
245
242
248
Đáp án là C
u1=u2−d=2; u81=u1+80d=242.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=x2−3x+24−x2 là
3
2
1
4
Đáp án là B
Hàm số được viết lại: y=x−1x−22−x2+x=1−xx+2.
Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: x=−2;y=−1
Đồ thị hàm số y=2x+1−x+2 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
x=2;y=2
x=2;y=−2
x=−2;y=−2
x=−2;y=2
Đáp án là B.
Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: x=2;y=−2.
Cho hàm số y=x−1x+1, khẳng định nào sau đây đúng?
Nghịch biến trên ℝ\−1
Đồng biến trên −∞;−1 và −1;+∞.
Nghịch biến trên −∞;−1 và −1;+∞.
Đồng biến trên ℝ\−1.
Đáp án là B
y'=2x+12>0;∀x≠−1.
Biết đồ thị hàm số y=x4+bx2+c chỉ có một điểm cực trị là điểm có tọa độ 0;−1 thì b và c thỏa mãn điều kiện nào?
b≥0 và c=−1
b<0 và c=−1
b≥0 và c>0
b≥0 và c tùy ý
Đáp án là A
y'=4x3+2bx, cho y'=0⇔x=0x2=−b2*
Đồ thị chỉ có một điểm cực trị nên phương trình (*) có một nghiệm hoặc vô nghiệm, suy ra: b≥0.
mà điểm 0;−1 là điểm cực trị của đồ thị nên c=−1
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x+1x−1 song song với đường thẳng Δ:2x+y+1=0 là
2x+y=0
2x+y+7=0
2x+y−7=0
−2x−y−1=0
Đáp án là C
y'=−2x−12. Gọi Mx0;y0∈C là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=−2x−1 nên:
−2x0−12=−2⇔x0−12=1⇔x0=2⇒y0=3x0=0⇒y0=−1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 2x+y−7=0.
Tập xác định của hàm số y=1−cosxsinx−1 là
ℝ\π2+k2π
ℝ\π2+kπ
ℝ\k2π
ℝ\kπ
Đáp án là A
Điều kiện: sinx≠1⇔x≠π2+k2π
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho SA'=13SA. Một mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D'. Khi đó thể tích của khối chóp S.A'B'C'D'tính theo a bằng
V3
V9
V27
V81
Đáp án là C
VS.A'B'C'VS.ABC=127⇒VS.A'B'C'=127VS.ABC⇒VS.ABCD=2VS.A'B'C'=227.12VS.ABCD=V27.
Cho khối chóp H có thể tích là 2a3, đáy là hình vuông cạnh bằng a2. Độ dài chiều cao của khối chóp H bằng
4a
3a
2a
a
Đáp án là B
h=3VHShv=3a
Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết cạnh của khối lập phương bằng a . Thể tích khối tám mặt đều đó bằng
a36
a312
a34
a38
Đáp án là A
Cạnh của hình bát diện đều bằng:
a22⇒Sday=a222=a22
Thể tích cần tính: V=23h.Sday=23a2a22=a36
Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh?
3
8
5
4
Đáp án là D
Cho hàm số y=fx xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2
Hàm số đặt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=1
Hàm số có đúng một cực trị
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -3
Đáp án là B
Từ BBT ta thấy, hàm số đạt cực đại tại x=0 đạt cực tiểu tại x=1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC⏜=60°, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bới hai mặt phẳng SAC và ABCD là 60°. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD theo a bằng
3a27
9a27
a27
3a7
Đáp án là A.
dB;SCD=32dG;SCD
Tính được: GH=a33; SG=a2;GK=a7.
Vậy dB;SCD=32dG;SCD=32.a7=3a27.
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Thể tích của khối chóp C'ABC bằng
13V
12V
2V
16V
Đáp án là A.
VC'.ABCV=13⇒VC',ABC=13V.
Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a. Thể tích khối lăng trụ tính theo a bằng
a33
2a323
a334
2a33
Đáp án là C
V=a.a234=a334.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA=SB=SC=a, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD bằng
a38
a32
3a38
a34
Đáp án là D.
Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC = x.
Gọi O=AC∩BD.
Vì SA=SB=SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
⇒H∈BO
Ta có: OB=a2−x22=4a2−x24=4a2−x22
SABC=12OB.AC=12x.4a2−x22=x4a2−x24
HB=R=a.a.x4SABC=a2x4.x4a2−x24=a24a2−x2
SH=SB2−BH2=a2−a44a2−x2=a3a2−x24a2−x2
SH=SB2−BH2=a2−a44a2−x2=a3a2−x24a2−x2
=13ax.3a2−x2≤13ax2+3a2−x22=a32
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện của cả hai con súc sắc đều là số chẵn bằng
14
112
136
16
Đáp án là A
Số phần tử không gian mẫu nΩ=36
Gọi biến cố " Số chấm xuất hiện trên mặt của hai con súc sắc là số chẳn".
Ta có các khả năng xảy ra:
2;2;2;4;2;6;4;4;4;6;6;6;4;2;6;2;6;4⇒nA=9
Xác suất cần tính: PA=14
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD=BA=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a bằng
3a3155
3a31515
a3155
3a3515
Đáp án là A
Tính được: IB=a5;IC=a2; BC=a5;
SABCD=3a2;IK=3a5; SI=3a155
Vậy: VS.ABCD=13SI.SABCD=3a3155.
Cho hàm số y=x4−2x2+m−3 C.Tất cả các giá trị của m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
−4<m<−3
3<m<4
−4≤m<3
3<m≤4
Đáp án là B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục: x4−2x2+m−3=0
Đặt t=x2≥0⇒t2−2t+m−3=0 *
(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.
Δ'>0S>0P>0⇔−m+4>0m−3>0⇔3<m<4.
Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên tập K. Gọi x0∈K, khi đó x=x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y=fx nếu
f'x đổi dấu khi x đi qua giá trị x=x0.
f'x=0
f'x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua giá trị x=x0.
f'x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua giá trị x=x0.
Đáp án là D
