Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 29. Tứ giác nội tiếp có đáp án
11 câu hỏi
Chọn phương án đúng.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn với \(\widehat A = 70^\circ ,\)\(\widehat B = 100^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.\(\widehat C = 110^\circ .\)
B. \(\widehat C = 80^\circ .\)
C. \(\widehat D = 110^\circ .\)
D. \(\widehat B - \widehat C = 30^\circ .\)
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180° nên xét tứ giác nội tiếp ABCD, ta có:
\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ \) hay \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ ;\)
\(\widehat B + \widehat D = 180^\circ \) hay \(\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ .\)
Vậy khẳng định A là khẳng định đúng.
Chọn phương án đúng.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, BC = 4 cm và nội tiếp đường tròn (O; R). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. O là trung điểm của AC.
B. O là trung điểm của BD.
C. R = 5 cm.
D. R = 2,5 cm.
Đáp án đúng là: C
Tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.
Suy ra điểm O là giao điểm của AC và BD, hay O là trung điểm mỗi đường.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật bằng một nửa độ dài đường chéo suy ra \(R = \frac{{AC}}{2}.\)
Theo định lí Pythagore, ta có: AC2 = AB2 + BC2 hay \(AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)(cm).
Do đó \(R = \frac{5}{2} = 2,5\) cm.
Vậy khẳng định C là khẳng định sai.
Chọn phương án đúng.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Có vô số đường tròn khác nhau cùng ngoại tiếp một hình vuông.
B. Mỗi đường tròn ngoại tiếp đúng một hình vuông.
C. Hai hình vuông có cạnh bằng nhau thì cùng nội tiếp một đường tròn.
D. Hai hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn thì có diện tích bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Một hình vuông chỉ có thể nội tiếp một đường tròn.
Mỗi đường tròn ngoại tiếp có thể ngoại tiếp nhiều hình vuông.
Hai hình vuông có cạnh bằng nhau thì chưa chắc đã cùng nội tiếp một đường tròn.
Hai hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn tức là có cùng bán kính hay có cạnh bằng nhau, suy ra hai hình vuông đó có diện tích bằng nhau.
Vậy khẳng định D là khẳng định đúng.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a) \[\widehat A = 60^\circ ,\]\[\widehat B = 80^\circ .\]
b) \[\widehat B = 70^\circ ,\]\[\widehat C = 90^\circ .\]
c) \[\widehat C = 100^\circ ,\]\[\widehat D = 60^\circ .\]
d) \[\widehat D = 110^\circ ,\]\[\widehat A = 80^\circ .\]
a) \[\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ,\]
\[\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ;\]
b) \[\widehat A = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ ,\]
\[\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ ;\]
c) \[\widehat A = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ ,\]
\[\widehat B = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ;\]
d) \[\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ,\]
\[\widehat B = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ .\]
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng \[\widehat {IBD} = \widehat {ICA},\] \[\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\] và IA.IB = IC.ID.
Do tổng các góc nội tiếp của tứ giác nội tiếp ABCD bằng 360° nên:
\[\widehat {IBD} = 180^\circ - \widehat {ACD} = \widehat {ICA},\] \[\widehat {IDB} = 180^\circ - \widehat {CAB} = \widehat {IAC}.\]
Mặt khác, từ các đẳng thức trên ta suy ra ∆IBD ᔕ ∆ICA (g.g).
Do đó \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{ID}}{{IA}},\) hay IA.IB = IC.ID.
Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Do hình bình hành ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối diện với nhau bằng 180°.
Do đó \(\widehat A = \widehat C = \frac{{\widehat A + \widehat C}}{2} = 90^\circ .\)
Do vậy hình bình hành ABCD có hai góc vuông nên là hình chữ nhật.
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Do hình thang ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối diện với nhau bằng 180°.
Do đó \[\widehat A = 180^\circ - \widehat C = \widehat B.\]
Do vậy ABCD là hình thang cân.
Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.
Gọi hình chữ nhật đó là ABCD với AB = 2BC.
Khi đó AC = 2.2,5 = 5 (cm).
Theo định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại B, ta có:
AC2 = 25 = AB2 + BC2 = 5BC2.
Do đó \(BC = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \) (cm); \(AB = 2BC = 2\sqrt 5 \) (cm).
Hình chữ nhật ABCD có diện tích là:
\({S_{ABCD}} = AB.BC = \sqrt 5 .2\sqrt 5 = 10\) (cm2).
Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như hình bên. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.
Khung cổng là một nửa của hình chữ nhật với kích thước 6 m × 4 m và nội tiếp một đường tròn với một nửa là khung thép trên.
Đường chéo của hình chữ nhật với kích thước 6 m × 4 m là \(\sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} \) (m).
Vậy bán kính đường tròn đó là \(R = \frac{{2\sqrt {13} }}{2} = \sqrt {13} \) (m).
Chiều dài đoạn thép để làm khung nửa đường tròn bằng với độ dài của nửa đường tròn trên và bằng \(\frac{{2\sqrt {13} \pi }}{2} = \sqrt {13} \pi \approx 11,32\) (m).
Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O) với AB = 4 cm. Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của (O).
Theo định lí Pythagore, ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {16 + 16} = 4\sqrt 2 \) (cm).
Vậy đường tròn (O) có bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \) (cm).
Hình tròn tâm O bán kính R có diện tích là
\({S_1} = \pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \) (cm2).
Hình vuông ABCD có diện tích là \({S_2} = {4^2} = 16\) (cm2).
Vì bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lần lượt cùng với bốn cung nhỏ AB, BC, CD, DA giới hạn bốn hình viên phân bằng nhau nên mỗi hình này có diện tích là:
\(S = \frac{1}{4}\left( {{S_1} - {S_2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {8\pi - 16} \right) = 2\pi - 4\) (cm2).
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {EFH} = \widehat {HBC};\)\(\widehat {FEH} = \widehat {HCB};\)
b) \(\widehat {BHF} = \widehat {BAC} = \widehat {CHE}.\)
a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ .\)
Do vậy các tam giác vuông BFC và BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Vì \(\widehat {EFC}\) và \(\widehat {EBC}\) là hai góc nội tiếp của tứ giác này và cùng chắn cung CE nên \(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}.\)
Suy ra \(\widehat {EFH} = \widehat {EFC} = \widehat {EBC} = \widehat {HBC}.\)
Tương tự ta có: \(\widehat {FEH} = \widehat {HCB}.\)
b) Ta có: \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ .\)
Do vậy các tam giác vuông AEH và AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Suy ra tứ giác AEFH nội tiếp đường tròn đường kính AH. Do \(\widehat {EHF}\) và \(\widehat {EAF}\) là hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp AEHF nên: \(\widehat {EHF} + \widehat {EAF} = 180^\circ .\)
Suy ra \[\widehat {BHF} = 180^\circ - \widehat {BHC} = 180^\circ - \widehat {EHF} = \widehat {BAC}.\]
Tương tự \(\widehat {CHE} = \widehat {BAC}.\)
Vậy \(\widehat {BHF} = \widehat {BAC} = \widehat {CHE}.\)
