Giải VTH Toán 7 KNTT Luyện tập chung trang 82 có đáp án
9 câu hỏi
Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
Ta có AM vừa là đường trung tuyếnvừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
Xét hai tam giác vuông ABM và ACM, ta có:AM chung, BM = CM
nên∆ABM = ∆ACM (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC.
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.
Gọi giao của BN và CM là F thì NF ⊥ MC tại F.
Trong tam giác MNC có CA\[ \bot \] MN (vì d ⊥ AB tại A),NF\[ \bot \] MC, AC giao với NF tại B nên B là trực tâm của tam giác MNC.
Suy ra BM là đường cao của tam giác MNC hay BM vuông góc với đường thẳng CN.
Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của tia AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.
Gọi tia đối của tia AC là Am. Ta có tia At chia góc mAB thành hai góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{A_2}}\), \(\widehat {A{ & _1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vì At // BC nên ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {ABC}\). Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A.
Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh SGBC = \[\frac{1}{3}\]SABC.
Gợi ý. Sử dụng GM = \[\frac{1}{3}\]AM để chứng minh SGBM = \[\frac{1}{3}\]SABM, SGCM = \[\frac{1}{3}\]SACM.
Ta có SGBC = SBGM + SCGM.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM = \(\frac{1}{3}\)AM,
suy ra SBGM = \[\frac{1}{3}\]SBAM, SCGM = \[\frac{1}{3}\]SACM.
Suy ra SGBC = SBGM + SCGM = \[\frac{1}{3}\]SBAM + \[\frac{1}{3}\]SACM = \(\frac{1}{3}\)(SBAM + SACM) = \[\frac{1}{3}\]SABC.
Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
Chứng minh SGCA = SGAB = \[\frac{1}{3}\]SABC.
Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: SGBC = SGCA = SGAB = \(\frac{1}{3}\)SABC điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Tương tự GN = \(\frac{1}{3}\)BN nên
SGAC = SCGN + SAGN = \[\frac{1}{3}\]SBCN + \[\frac{1}{3}\]SABN = \(\frac{1}{3}\)(SBCN + SABN) = \[\frac{1}{3}\]SABC.
Vì GP = \(\frac{1}{3}\)CP nên
SGAB = SBGP + SAGP = \[\frac{1}{3}\]SBCP + \[\frac{1}{3}\]SAPC = \(\frac{1}{3}\)(SBCP + SAPC) = \[\frac{1}{3}\]SABC.
Vậy SGBC = SGCA = SGAB = \(\frac{1}{3}\)SABC.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).
Chứng minh ∆AHB = ∆AHC.
Xét hai tam giác vuông ∆AHB và ∆AHC có:
AH chung, AB = AC (tam giác ABC cân tại A) nên ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).
Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh AD = DH.
Từ câu a) ∆AHB = ∆AHC , suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).
Ta có AC // HD, suy ra \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{H_1}}\) (so le trong), từ đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{H_1}}\) nên ∆ADH cân tại D, suy ra AD = DH. (1)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).
Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.
Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {ABH} = 90^\circ \) (vì tam giác AHB vuông tại H), \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (AH vuông góc với BC tại H). Vì \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{H_1}}\) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {{H_2}}\), suy ra tam giác BHD cân tại D, do đó BD = DH. (2)
Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của AB.
Tam giác ABC có CD, AH là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác.
Khi đó BG là trung tuyến, M là trung điểm của AC nên BG đi qua M, tức B, G, M thẳng hàng.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).
Chứng minh chu vi ∆ABC lớn hơn AH + 3BG.
Trên tia BM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của BK, khi đó 2BM = BK.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 3BG = 2BM. Từ đó BK = 2BM = 3BG.
Ta chứng minh được ∆BMC = ∆KMA (c.g.c), suy ra BC = AK.
Trong tam giác ABK, ta có:
AK + AB > BK hay BC + AB > BK, mà BK = 2BM = 3BG nên BC + AB > 3BG. (3)
Trong tam giác vuông AHC, ta có AC > AH. (4)
Từ (3) và (4) suy ra BC + AC + AB > AH + 3BG.
