Bài tập Luyện tập chung có đáp án
6 câu hỏi
Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
Giả sử tam giác ABC có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.
Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.
Do đó BM = CM.
Xét ΔABM vuông tại M và ΔACM vuông tại M có:
AM chung.
BM = CM (chứng minh trên).
Suy ra ΔABM=ΔACM (2 cạnh góc vuông).
Do đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.
Xét ΔMNC có NB ⊥ MC, CB ⊥ MN.
Mà NB cắt CB tại B nên B là trực tâm của ΔMNC.
Do đó BM ⊥ CN.
Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Xác định ba điểm A, B, C nằm trên rìa mảnh tôn.
Bước 2. Xác định ba đường trung trực của tam giác ABC.
Bước 3. Xác định giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Điểm đó là tâm của mảnh tôn.
Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của tia AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.
Gọi Ax là tia đối của tia AC.
Do At là tia phân giác của BAx^ nên xAt^=tAB^.
Do At // BC nên xAt^=ACB^ (2 góc đồng vị).
Do At // BC nên tAB^=ABC^ (2 góc so le trong).
Mà xAt^=tAB^ nên ABC^=ACB^.
Xét ΔABC có ABC^=ACB^ nên ΔABC cân tại A.
Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh SGBC = 13SABC.
Gợi ý. Sử dụng GM = 13AM để chứng minh SGBM = 13SABM, SGCM = 13SACM.
a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC nên GM = 13AM.
ΔABM và ΔMBG có chung đường cao kẻ từ B đến AM nên tỉ số diện tích giữa ΔMBG và ΔABM bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.
Ta có GM = 13AM nên SMBG = 13SABM.
ΔACM và ΔMCG có chung đường cao kẻ từ C đến AM nên tỉ số diện tích giữa ΔACM và ΔMCG bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.
Ta có GM = 13AM nên SMCG = 13SACM.
Do đó SMBG + SMCG = 13SABM + SACM
hay SGBC = 13SABC.
b) Chứng minh SGCA = SGAB = 13SABC.
Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: SGBC = SGCA = SGAB = 13SABC điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.
b) Ta có AG = 2GM nên SGCA = 2SMCG; SGAB = 2SMBG.
Tam giác BGM và tam giác CGM có chung đường cao kẻ từ G. Hai đáy BM và CM bằng nhau. Do đó, SBGM = SCGM.
Suy ra, SGBC = 2SMCG = 2SMBG.
Do đó SGCA = SGAB = SGBC = 13SABC.
