Giải VTH Toán 7 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm Hình học và Đo lường có đáp án
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.
Chứng minh rằng ∆ADM = ∆BDC. Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC
∆ADM và ∆BDC có:
AD = DB (do D là trung điểm của AB)
\[\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {B{\rm{D}}C}\] (hai góc đối đỉnh)
DM = DC (giả thiết)
Nên ∆ADM = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra AM = BC (hai cạnh tương ứng) và \[\widehat {MAD} = \widehat {CBD}\] (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.
Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng AN // BC.
∆AEN và ∆CEB có:
AE = CE (E là trung điểm của AC)
\[\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\] (hai góc đối đỉnh)
EN = EB (theo giả thiết)
Nên ∆AEN = ∆CEB (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\] (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.
Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.
Ta có AM // BC (chứng minh trên),
AN // BC (chứng minh trên) nên AM và AN trùng nhau (theo tiên đề Euclid).
Từ đó suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Ta lại có AM = BC (chứng minh trên), AN = BC (chứng minh trên – do ∆AEN = ∆CEB),
do đó AM = AN.
Từ đó suy ra A là trung điểm của đoạn MN.
Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.
Chứng minh AH ⊥ BC.
∆ABC cân tại A (giả thiết)
Mà AH là trung tuyến (H là trung điểm của BC).
Nên AH là đường cao của ∆ABC (tính chất tam giác cân).
Vậy AH ⊥ BC.
Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng ∆ABM = ∆ACN.
Ta có \[\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù),
\[\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] nên \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\].
∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (∆ABC cân tại đỉnh A).
\[\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\] (chứng minh trên).
BM = CN (theo giả thiết).
Nên ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).
Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.
Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI ⊥ AM; CK ⊥ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.
Ta có: ∆ABM = ∆ACN (chứng minh trên) suy ra \[\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\] (hai góc tương ứng) và AM = AN (hai cạnh tương ứng).
∆BIM \(\left( {\widehat {BIM} = 90^\circ } \right)\) và ∆CKN \(\left( {\widehat {CKN} = 90^\circ } \right)\) có:
BM = CN (giả thiết),
\[\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\] (chứng minh trên).
Nên ∆BIM = ∆CKN (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra MI = NK (hai cạnh tương ứng).
Mà AM = AN (chứng minh trên – do ∆ABM = ∆ACN) nên AI = AK, suy ra ∆AIK cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Ta có AM = AN (chứng minh trên) nên ∆AMN cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Suy ra \[\widehat {AMN} = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}\].
Ta có ∆AIK cân tại A (chứng minh trên) nên \[\widehat {AIK} = \frac{{180^\circ - \widehat {IAK}}}{2}\].
Từ đó \[\widehat {AIK} = \widehat {AMN}\] \[\left( { = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}} \right)\].
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // MN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:
∆ABH = ∆DBH.
∆ABH và ∆DBH có:
BA = BD (theo giả thiết),
BH là cạnh chung,
AH = DH (H là trung điểm của AD).
Nên ∆ABH = ∆DBH (c.c.c).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:
Tam giác AED cân.
∆ABH = ∆DBH (chứng minh trên), suy ra \[\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\] (hai góc tương ứng).
∆BAE và ∆BDE có:
BA = BD (giả thiết),
\[\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\] (chứng minh trên),
BE là cạnh chung.
Nên ∆BAE = ∆BDE (c.g.c) suy ra EA = ED (hai cạnh tương ứng).
Nên ∆AED cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:
EM > ED.
∆BAE = ∆BDE (chứng minh trên) nên \(\widehat {BDE} = \widehat {BAE} = 90^\circ \).
∆EAM và ∆EDC có:
\(\widehat {EAM} = \widehat {EDC} = 90^\circ \),
EA = ED (chứng minh trên),
\(\widehat {AEM} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh).
Nên ∆EAM = ∆EDC (g.c.g). Suy ra EM = EC.
∆EDC vuông tại D nên EC > ED (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).
Mà EC = EM (chứng minh trên) nên EM > ED.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:
Tam giác BCM là tam giác đều và CE = 2EA, biết \[\widehat {ABC}\] = 60°.
Ta có ∆EAM = ∆EDC (chứng minh trên), suy ra AM = DC (hai cạnh tương ứng).
Mà BA = BD (giả thiết) nên BM = BC.
∆BMC có: BM = BC (chứng minh trên).
Nên ∆BMC cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Mà \[\widehat {ABC}\] = 60° (giả thiết). Nên ∆BMC là tam giác đều.
Mặt khác CA ⊥ BM nên CA là đường cao nên cũng là đường trung tuyến của ∆BMC,
MD ⊥ BC nên MD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến của ∆BMC.
Từ đó suy ra E là trọng tâm của ∆BMC nên CE = 2EA.
