Giải VTH Toán 7 KNTT Bài tập cuối chương 9 có đáp án
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có \[\widehat {BAC}\] là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.43).
Chứng minh DE < BC.
![Cho tam giác ABC có \[\widehat {BAC}\] là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/10/blobid0-1664903015.png)
![Cho tam giác ABC có \[\widehat {BAC}\] là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/10/blobid1-1664903017.png)
Nối B với E. Trong tam giác BDE, góc BDE tù (do \[\widehat {BAC}\] là góc tù), nên DE < BE.
Trong tam giác BEC, góc BEC tù (cũng do \[\widehat {BAC}\] là góc tù) nên BE < BC.
Suy ra DE < BC.
Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.44).
So sánh \[\widehat {A{\rm{D}}E}\] và \[\widehat {A{\rm{ED}}}\].
Tam giác ABD cân tại B (AB = BD) và có góc ngoài tại đỉnh B là \(\widehat {ABC}\)
nên \(\widehat D = \widehat {{A_1}} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).
Tam giác ACE cân tại C (AC = CE) và có góc ngoài tại đỉnh C là \(\widehat {ACB}\)
nên \(\widehat E = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).
Do AB > AC nên \(\widehat {ACB} > \widehat {ABC}\), suy ra \(\frac{1}{2}\widehat {ACB} > \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) hay \(\widehat E > \widehat D\).
Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.44).
So sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Trong tam giác AEDvì\[\widehat {A{\rm{ED}}} > \widehat {A{\rm{D}}E}\] nên AD > AE.
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AI < \[\frac{1}{2}\](AB + AC);
Trong tam giác vuông ABI có AB là cạnh huyền nên AI < AB.
Trong tam giác vuông ACI có AC là cạnh huyền nên AI < AC.
Suy ra 2AI < AB + AC hay AI < \[\frac{1}{2}\](AB + AC).
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AM < \[\frac{1}{2}\](AB + AC).
Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
Xét ∆ABM và ∆DCM có: BM = CM; AM = MD; \(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\),
do đó ∆ABM = ∆DCM (c.g.c). Suy ra AB = CD.
Trong tam giác ACD, ta có AD < CD + AC hay 2AM < AB + AC.
Suy ra AM < \[\frac{1}{2}\](AB + AC).
Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.47). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.
Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE; tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.
\[\Delta ABE\] có C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của \[\Delta ABE\].
BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.
Do đó DC = \[\frac{1}{3}\]BC, BD = \[\frac{2}{3}\]BC.
Trên đường trung tuyến BC có điểm D thỏa mãn BD = \[\frac{2}{3}\]BC nên D là trọng tâm của \[\Delta ABE\].
Do đó AD là đường trung tuyến của \[\Delta ABE\].
\[\Delta ABE\] có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên \[\Delta ABE\] cân tại A.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
Chứng minh ∆ADE cân.
Do ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cùng bù với góc \(\widehat {ABC}\), \(\widehat {ACB}\)).
Xét ∆ABD và ∆ACE có:
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên),
BD = CE (theo giả thiết).
Suy ra ∆ABD = ∆ACE (c.g.c), do đó AD = AE (hai cạnh tương ứng), suy ra tam giác ADE cân tại A.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE và AM ⊥ DE.
Ta có: DM = DB + BM, EM = EC + CM, mà BD = CE (gt), BM = CM (M là trung điểm của BC), suy ra DM = EM.
Xét ∆AMD và ∆AME có:
AM chung,
AD = AE (chứng minh trên),
DM = EM (chứng minh trên).
Do đó ∆AMD = ∆AME (c.c.c), suy ra \(\widehat {DAM} = \widehat {EAM}\) và \(\widehat {DMA} = \widehat {EMA}\), suy ra AM là phân giác của góc DAE.
Mặt khác do \(\widehat {DMA}\) và \(\widehat {EMA}\) là hai góc bù nhau nên \(\widehat {DMA} = \widehat {EMA}\) = 90° hay AM ⊥ DE.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
Từ B và C kẻ BH, CK theo thứ tự vuông góc với AD, AE. Chứng minh: BH = CK.
Vì ∆ABD = ∆ACE (chứng minh trên) nên \(\widehat {DAB} = \widehat {EAC}\).
Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACK, ta có:
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A); \(\widehat {DAB} = \widehat {EAC}\), do đó ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
Chứng minh: HK // BC.
Gọi giao điểm của AM và HK là N.
Xét ∆ANH và ∆ANK, có: AH = AK (do ∆ABH = ∆ACK), \(\widehat {DAM} = \widehat {EAM}\) (chứng minh trên), AN là cạnh chung. Do đó ∆ANH = ∆ANK, suy ra \(\widehat {ANH} = \widehat {ANK}\) (hai góc tương ứng), mà hai góc này bù nhau nên \(\widehat {ANH} = \widehat {ANK}\)= 90°, suy ra AM ⊥ HK.
Ta có AM ⊥ HK, mà AM ⊥ BC (do AM ⊥ DE) nên HK // BC.
