Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 29. Tứ giác nội tiếp có đáp án

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên

Do đó bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính bằng nửa đường chéo AC.

Xét ∆ABC vuông tại B (do ABCD là hình vuông nên có:

AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 32 = 18.

Suy ra

Do đó

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng

Ta đã biết, một hình vuông luôn có một đường tròn ngoại tiếp có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo hình vuông.

Giả sử dựng được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Lúc này, đường chéo AC là đường kính của (O).

Mặt khác, hình vuông ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD nên

Do đó, từ một điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), ta xác định được duy nhất một đường kính AC. Khi đó, ta cũng xác định được duy nhất một điểm B và một điểm D cùng nằm trên đường tròn (O) thỏa mãn

Vậy với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có duy nhất một hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O).

⦁ Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // AC và

Chứng minh tương tự đối với ∆ACD, ta cũng có PQ // AC và

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ và MN = PQ.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. (3)

Xét ∆ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD. (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra MN ⊥ MQ hay

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.

⦁ Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có tâm là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD và AB = CD.

Lại có M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AM = MB = CP = PD và AM // CP.

Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MP.

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ có tâm là điểm O và bán kính là OM.

Xét ∆ABC có M, O lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MO là đường trung bình của tam giác. Do đó

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 1,5 cm.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.

Vì AECF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, E, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.

Do đó các điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên đường kính AC.

Vậy các đỉnh của hai hình chữ nhật có chung một đường chéo thì các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn đường kính là đường chéo chung đó.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó và

Ta có:

⦁  hay

⦁  hay

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó và

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó và

– Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:

⦁ 

Mà (hai góc kề bù) nên hay

⦁ 

Mà  (hai góc kề bù) nên  hay

– Xét ∆IAC và ∆IDB, có:

 (chứng minh trên) và  là góc chung

Do đó ∆IAC ᔕ ∆IDB (g.g)

Suy ra  (tỉ số đồng dạng) nên IA . IB = IC . ID.

Vì hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:  

Vì ABCD là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau, do đó

Từ (1) và (2) suy ra

Hay do đó

Hình bình hành ABCD có nên là hình chữ nhật.

Vậy ABCD là hình chữ nhật.

Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó

Từ (1) và (2) suy ra

Hình thang ABCD có nên là hình thang cân.

Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC, BD và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo AC, hay AC là đường kính của đường tròn (O).

Do đó AC = 2 . 2,5 = 5 (cm).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC2 = AB2 + BC2

Suy ra 52 = (2BC)2 + BC2

Do đó 25 = 4BC2 + BC2

Hay 5BC2 = 25, suy ra BC2 = 5, nên

Khi đó,

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:

Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).

Gọi H là trung điểm của CD.

Khi đó và H nằm trên đường trung trực của BC.

Vì B, C cùng nằm trên nửa đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên OH ⊥ BC.

Mà BC // AD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OH ⊥ AD.

Xét tứ giác ABHO có nên ABHO là hình chữ nhật.

Do đó OH = AB = 3 (m).

Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB2 = OH2 + HB2 = 32 + 22 = 13.

Do đó

Nửa chu vi đường tròn (O) là:

Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: