Đáp án đúng là: D

Hai góc nội tiếp bằng nhau nhưng chưa chắc đã cùng chắn một cung.

Chẳng hạn, trong hình vẽ dưới đây, $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}=50°$ cùng là hai góc nội tiếp của đường tròn (O) nhưng hai góc này không cùng chắn một cung.

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 2 cm) và (O; 4 cm) là: S = π(R² – r²) = π(4² – 2²) = 12π (cm²).

a) Các góc ở tâm là: $\widehat{AOB};\widehat{AOC};\widehat{AOD};\widehat{BOC};\widehat{BOD};\widehat{COD}.$

b) Ta có: $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}+\widehat{BOD}=\widehat{AOC}+\widehat{COD}.$ Suy ra:

⦁ $\widehat{AOB}=\widehat{AOD}-\widehat{BOD}=120°-90°=30°;$

⦁ $\widehat{COD}=\widehat{AOD}-\widehat{AOC}=120°-90°=30°.$

Ta có $\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}.$ Suy ra $\widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}=90°-30°=60°.$

Vậy $\widehat{AOB}=30°;\widehat{AOC}=90°;\widehat{AOD}=120°;\widehat{BOC}=60°;\widehat{BOD}=90°;\widehat{COD}=30°.$

c) Ta có:

⦁ $\widehat{AOB}=\widehat{COD}=30°$ hay $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}.$

⦁ $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}=90°$ hay $sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{BD}$ nên $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}.$

a) Ta có OO’ = OB + BO’ nên đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại B.

b) Xét ∆ODE có OD = OE (cùng là bán kính của đường tròn (O) đường kính AB) nên ∆ODE cân tại O. Do đó đường cao OH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác hay H là trung điểm của DE.

Xét tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên ADCE là hình bình hành.

Lại có DE ⊥ AC tại H nên hình bình hành ADCE là hình thoi.

c) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính, $\widehat{ADB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ADB}=90°,$ do đó AD ⊥ DB.

Lại có AD // CE (do ADCE là hình thoi) nên DB ⊥ CE.

Xét ∆CDE có DB, CH là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại B (do DB ⊥ CE và CH ⊥ DE) nên B là trực tâm của ∆CDE. Suy ra EF ⊥ CD. (1)

Xét đường tròn (O’) có BC là đường kính, $\widehat{BFC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BFC}=90°,$ do đó BF ⊥ CD. (2)

Từ (1) và (2) ta có EF, BF là hai đường thẳng cùng đi qua điểm F và vuông góc với CD nên là hai đường thẳng trùng nhau, hay ba điểm E, B, F thẳng hàng.

Gọi R là bán kính Trái Đất, khi đó R ≈ 6 400 km.

Đổi 65 m = 0,065 km; 5 m = 0,005 km.

Ta có: OA = R + 0,065 ≈ 6 400 + 0,065 = 6 400,065 (km).

           OB = R + 0,005 ≈ 6 400 + 0,005 = 6 400,005 (km).

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OH² + AH²

Suy ra AH² = OA² – OH² ≈ 6 400,065² – 6 400² = 832,004225.

Do đó $AH=\sqrt{832,004225}\approx 28,84\text{ (km).}$

Xét ∆OHB vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OB² = OH² + BH²

Suy ra BH² = OB² – OH² ≈ 6 400,005² – 6 400² = 64,000025.

Do đó $AH=\sqrt{64,000025}\approx 8,00\text{ (km).}$

Ta có AB = AH + HB ≈ 28,84 + 8 = 36,84 (km).

Vậy với khoảng cách khoảng 36,84 kilômét thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn của hải đăng.