Giải SGK Toán 9 CTST Bài 1. Đường tròn có đáp án

⦁ Các bộ phận có dạng đường tròn của chiếc xe đạp trong hình trên là: bánh xe đạp (lốp xe, vành xe), đĩa xe đạp, líp xe đạp.

⦁ Một số hình ảnh về đường tròn trong thực tế: các đường tròn đồng tâm trên tấm bia bắn cung; guồng nước (cọn nước), viền khung mặt đồng hồ hình tròn, …

Nhận xét: Khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O không thay đổi.

a)

i) Vì hai điểm A, A’ cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OA’ = R.

Mà điểm O nằm giữa hai điểm A và A’ nên O là trung điểm của AA’.

ii) Vì O là trung điểm của BB’ nên OB = OB’ (tính chất trung điểm một đoạn thẳng).

Lại có điểm B thuộc đường tròn (O; R) nên OB = R. Do đó OB’ = R.

Vậy điểm B’ thuộc đường tròn (O; R).

b) Nối OM, OM’.

⦁ Trường hợp 1: Điểm M thuộc d thì điểm M’ trùng điểm M.

Mà điểm M thuộc đường tròn (O; R) nên điểm M’ thuộc đường tròn (O; R).

⦁ Trường hợp 1: Điểm M không thuộc d.

Vì đường trung trực d của đoạn thẳng MM’ đi qua điểm O nên O cách đều hai đầu mút hay OM = OM’.

Mà điểm M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R, do đó OM’ = R.

Vậy điểm M’ thuộc đường tròn (O; R).

⦁ Tâm đối xứng O của bánh xe là trục của bánh xe (hình vẽ);

⦁ Trục đối xứng của bánh xe là là các nan vành của bánh xe (hình vẽ).

Vì mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của nó, nên ta sẽ chia bánh thành hai phần bằng nhau bằng cách cắt qua tâm O của chiếc bánh (hình vẽ).

a) Vì hai điểm A, B cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

Mà AB đi qua O hay O nằm giữa A, B nên AB = OA + OB = R + R = 2R.

Vậy AB = 2R.

b) Xét ∆OMN có: OM + ON > MN (bất đẳng thức trong tam giác). (1)

Ta có hai điểm M, N cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OM = ON = R.

Do đó từ (1) ta có R + R > MN hay 2R > MN.

Mà AB = 2R (câu a) nên AB > MN.

Trong đường tròn (I), AB và CD là đường kính đi qua tâm I, EF là dây cung không đi qua I.

Do đó AB = CD và EF < AB, EF < CD.

Vậy EF < AB = CD.

Gọi (O; R) là đường tròn có bán kính 10 cm.

Ta có EF = 20 cm = 2 . 10 cm = 2R.

Do đó, trong ba dây AB, CD và EF thì có dây EF đi qua tâm của đường tròn.

Hình 13a): Hai đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung.

Hình 13b): Hai đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung.

Hình 13c): Hai đường tròn (O) và (O’) có một điểm chung là điểm M.

Hình 13d): Hai đường tròn (O) và (O’) có một điểm chung là điểm M.

Hình 13e): Hai đường tròn (O) và (O’) có hai điểm chung là điểm M và điểm N.

– Trường hợp 1: (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung (Hình 15).

⦁ Hình 15a): OO’ > R + R’; OO’ > R – R’;

⦁ Hình 15b): OO’ < R + R’; OO’ < R – R’.

– Trường hợp 2: (O; R) và (O’; R’) chỉ có một điểm chung (Hình 16).

⦁ Hình 16a): OO’ = R + R’; OO’ > R – R’;

⦁ Hình 16b): OO’ < R + R’; OO’ = R – R’.

– Trường hợp 3: (O; R) và (O’; R’) có đúng hai điểm chung (Hình 17).

OO’ < R + R’; OO’ > R – R’.

a) Ta có 5 = 3 + 2 nên IJ = R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) tiếp xúc ngoài.

b) Ta có 4 = 11 – 7 nên IJ = R – R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) tiếp xúc trong.

c) Ta có: 9 – 4 < 6 < 9 + 4 nên R – R’ < IJ < R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) cắt nhau.

d) Ta có: 10 > 4 + 1 nên IJ > R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) ở ngoài nhau.

Hình 18a): Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Hình 18b): Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Hình 18c): Hai đường tròn cắt nhau.

– Hình 19a):

Bước 1. Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn lớn, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn lớn, ta đo được bán kính của đường tròn lớn.

Bước 2. Vẽ đường tròn với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn lớn.

Bước 3. Kẻ đường kính AB của đường tròn lớn.

Bước 4. Vẽ nửa đường tròn đường kính OA sao cho nửa đường tròn nằm phía trên so với AB.

Bước 5. Vẽ nửa đường tròn đường kính OB sao cho nửa đường tròn nằm phía dưới so với AB.

Bước 6. Xóa tên các điểm vừa đặt, tô màu giống Hình 19a).

– Hình 19b):

Bước 1.

⦁ Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn nhỏ nhất, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn đó, ta đo được bán kính của đường tròn nhỏ nhất.

⦁ Vẽ đường tròn với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn nhỏ nhất.

Bước 2.

⦁ Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn thứ hai, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn đó, ta đo được bán kính của đường tròn thứ hai.

⦁ Vẽ đường tròn có tâm trùng với tâm đường tròn nhỏ nhất, với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn thứ hai.

Bước 3. Thực hiện lặp lại Bước 2 với 4 đường tròn còn lại.

Bước 4. Tô màu giống Hình 19b).

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên $OA=OC=\frac{1}{2}AC;OB=OD=\frac{1}{2}BD.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD.$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AD² + DC² = 18² + 12² = 468.

Do đó $AC=\sqrt{468}=\sqrt{6^2\cdot 13}=6\sqrt{13}\text{ (cm).}$

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{13}=3\sqrt{13}\text{ (cm).}$

a) Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó $B^{\text{'}}O=\frac{1}{2}BC.$

Mà O là trung điểm của BC nên $OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Do đó $B^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có $C^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $B^{\text{'}}O=C^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

b) Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

a) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

a) Ta có 18 > 10 + 6 nên OO’ > R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ở ngoài nhau.

b) Ta có 2 < 9 – 3 nên OO’ < R – R’, suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O’; R’).

c) Ta có 13 = 8 + 5 nên OO’ = R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài.

d) Ta có 15 – 4 < 17 < 15 + 4 nên R – R’ < OO’ = R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau.