Giải SGK Toán 9 CD Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn có đáp án
25 câu hỏi
Hình 19 minh họa một đường tròn và tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn.
Tứ giác ABCD được gọi là gì?
Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:
Tứ giác ABCD được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Quan sát Hình 20 và cho biết các đỉnh của tứ giác ABCD có thuộc đường tròn (O) hay không.
Ở Hình 20, các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD đều thuộc đường tròn (O).
Dùng thước thẳng và compa vẽ một tứ giác nội tiếp đường tròn theo các bước sau:
– Vẽ một đường tròn;
– Vẽ tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường tròn.
Vẽ đường tròn (O), lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ) thuộc đường tròn (O) và nối các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA thì ta được tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O) (hình vẽ).
Trong Hình 22, cho biết 
Tính số đo của các cung và góc sau theo α:
Xét đường tròn (O) có:
⦁ 
là góc ở tâm chắn cung ADC nên 
⦁ 
là góc nội tiếp chắn cung ADC nên 
Trong Hình 22, cho biết 
Tính số đo của các cung và góc sau theo α:
Xét đường tròn (O) có:
⦁ 
⦁ 
là góc nội tiếp chắn cung ABC nên 
Trong Hình 22, cho biết 
Tính số đo của các cung và góc sau theo α:
Ta có: 
Vậy 
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC và điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và C). Tính số đo góc BMC.
Vì tam giác ABC đều nên 
Vì 4 điểm A, B, M, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên tứ giác ABMC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).
Do đó tổng số đo hai góc đối của tứ giác ABMC bằng 180°.
Suy ra 
Nên 
Vậy 
Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại O (Hình 24). Đặt R = OA và vẽ đường tròn (O; R). Các điểm A, B, C, D có thuộc (O; R) hay không?
Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và AC = BD.
Mà O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.
Suy ra 
và 
Do đó OA = OB = OC = OD = R.
Vậy các điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn (O; R).
Người ta làm một logo có dạng hình tròn, trong đó có một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn với chiều dài và chiều rộng lần lượt là 8 cm và 6 cm. Hình chữ nhật được tô màu xanh còn phần khác của logo được tô màu đỏ. Tính diện tích phần được tô màu đỏ.
Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AB = CD = 6 cm và AD = BC = 8 cm.
Khi đó đường chéo AC là đường kính của đường tròn (O).
Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 82 + 62 = 100.
Suy ra AC = 10 cm.
Do đó bán kính của đường tròn (O) là 
Diện tích hình tròn bán kính R = 5 cm là:
S1 = πR2 = π.52 = 25π (cm2).
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
S2 = AD.DC = 8.6 = 48 (cm2).
Diện tích phần được tô màu đỏ là:
S = S1 – S2 = 25π – 48 (cm2) ≈ 30,5 (cm2) với π ≈ 3,14.
Cho hình vuông ABCD, AC cắt BD tại điểm O (Hình 20).
Mỗi đường chéo của hình vuông ABCD có phải là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó hay không?
Vì hình vuông cũng là hình chữ nhật nên mỗi đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD cũng đều là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.
Cho hình vuông ABCD, AC cắt BD tại điểm O (Hình 20).
Cho biết AB = a, tính OA theo a
Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại trung điểm O của mỗi đường và AC = BD.
Do đó 
Xét ∆OAB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:
AB2 = OA2 + OB2
Suy ra a2 = OA2 + OA2
Hay 2OA2 = a2 nên 
Do đó 
Tính tỉ số giữa chu vi của một hình vuông và chu vi của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn (O).
Khi đó bán kính của đường tròn (O) là 
Chu vi của đường tròn (O) là: 
Chu vi của hình vuông ABCD là: C2 = 4a.
Tỉ số giữa chu vi của hình vuông ABCD và chu vi của đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông đó là: 
Quan sát Hình 28 và cho biết trong hai đường tròn (O) và (I), đường tròn nào ngoại tiếp tứ giác ABCD, đường tròn nào ngoại tiếp tứ giác ABMN.
Ở Hình 28:
⦁ đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD vì đường tròn (O) đi qua các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD;
⦁ đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABMN vì đường tròn (I) đi qua các đỉnh A, B, M, N của tứ giác ABMN.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
và 
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó 
và 
Ta có:
⦁ 
hay 
⦁ 
hay 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
và 
Ta có:
⦁ 
hay 
⦁ 
hay 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
và 
Ta có:
⦁ 
hay 
⦁ 
hay 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
và 
Ta có:
⦁ 
hay 
⦁ 
hay 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) thoả mãn 
Giả sử D là điểm thuộc cung BC không chứa A (D khác B và C). Tính số đo góc BDC.
Xét ∆ABC có 
(tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra 
Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là điểm thuộc cung BC không chứa A nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp, do đó 
Suy ra 
Mặt trên của tấm đệm có dạng hình tròn ở Hình 29 gợi nên hình ảnh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật. Biết hình chữ nhật đó có chiều rộng, chiều dài lần lượt là 3 dm, 5 dm. Tính độ dài đường kính mặt trên của tấm đệm, từ đó tính diện tích mặt trên của tấm đệm.
Giả sử hình chữ nhật ABCD có AD = BC = 3 dm, AB = CD = 5 dm có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp.
Do đó tâm O là giao điểm hai đường chéo và đường chéo AC là đường kính của đường tròn (O).
Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 52 + 32 = 34.
Suy ra 
Do đó bán kính của đường tròn (O) là 
Diện tích hình tròn bán kính 
là:
Vậy mặt trên của tấm nệm có độ dài đường kính là 
dm và diện tích bằng 8,5π dm2.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp
Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: 
Vì ABCD là hình thang có AB // CD nên 
Từ (1) và (2) suy ra 
Hình thang ABCD có 
nên là hình thang cân.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
Hai góc ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Xét đường tròn (O), hai góc ABD và ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên 
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
Chứng minh ∆IAB ᔕ ∆IDC và IA . IC = IB . ID.
Xét ∆IAB và ∆IDC có:
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
(đối đỉnh) và 
(chứng minh trên).
Do đó ∆IAB ᔕ ∆IDC (g.g).
Suy ra 
(tỉ số các cạnh tương ứng)
Nên IA . IC = IB . ID.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30).
Chứng minh:
Xét ∆ABC có hai đường cao AM và CN cắt nhau tại H nên AM ⊥ BC và CN ⊥ AB, do đó 
Xét tứ giác HMBN có:
(tổng các góc của một tứ giác)
Suy ra 
Hay 
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30).
Chứng minh:
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°.
Do đó 
Mà 
(câu a) nên 
Lại có 
(đối đỉnh) nên 
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30).
Chứng minh:
Xét ∆AHN vuông tại N có 
là góc ngoài của tam giác tại đỉnh H nên 
(tính chất góc ngoài của một tam giác).
Mà 
(câu b) nên 
