Giải SGK Toán 9 Cánh diều Bài 4. Góc ở tâm. Góc nội tiếp có đáp án
20 câu hỏi
Bác Ngọc dự định làm khung sắt cho khuôn cửa sổ ngôi nhà có dạng đường tròn như Hình 44. Hai thanh chắn cửa sổ gợi nên một góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Góc có đặc điểm như vậy trong toán học gọi là góc gì?
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp.
Cho đường tròn (O). Hãy vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn đó.
Hình vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn (O) như sau:
Trong Hình 47, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ, kim phút là các tia. Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47a, 47b, 47c, 47d là bao nhiêu?
a) Số đo góc ở tâm là 60°.
b) Số đo góc ở tâm là 90°.
c) Số đo góc ở tâm là 150°.
d) Số đo góc ở tâm là 180°.
Quan sát góc ở tâm AOB (khác góc bẹt) ở Hình 48, cho biết trong hai phần đường tròn được tô màu xanh và màu đỏ, phần nào nằm bên trong, phần nào nằm bên ngoài góc AOB.
Phần đường tròn được tô màu xanh nằm bên trong góc AOB.
Phần đường tròn được tô màu đỏ nằm bên ngoài góc AOB.
Trong Hình 53, tìm số đo của các góc ở tâm BOC^; DOA^.
⦁ Do số học sinh chọn môn Bóng bàn chiếm 15% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ BC bằng 15% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, sđBC⏜=360°⋅15100=54°.
Vì số đo của cung nhỏ BC bằng số đo của góc ở tâm BOC chắn cung đó nên BOC^=54°.
⦁ Do số học sinh chọn môn Bóng đá chiếm 40% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ DA bằng 40% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, sđDA⏜=360°⋅40100=144°.
Vì số đo của cung nhỏ DA bằng số đo của góc ở tâm DOA chắn cung đó nên DOA^=144°.
Trong Hình 55, đỉnh của góc AIB có thuộc đường tròn hay không? Hai cạnh của góc chứa hai dây cung nào của đường tròn?
⦁ Đỉnh của góc AIB là điểm I, điểm I có thuộc đường tròn.
⦁ Hai cạnh của góc AIB chứa hai dây cung IA, IB của đường tròn.
Hãy vẽ một đường tròn và hai góc nội tiếp trong đường tròn đó.
ABC^; DEF^ là hai góc nội tiếp đường tròn (O).
Cho góc AIB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính IK sao cho tâm O nằm trong góc đó (Hình 57).
a) Các cặp góc OAI^ và OIA^; OBI^ và OIB^ có bằng nhau hay không?
b) Tính các tổng AOI^+2OIA^, BOI^+2OIB^.
a) Xét ∆OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O, suy ra OAI^=OIA^.
Xét ∆OBI có OB = OI nên ∆OBI cân tại O, suy ra OBI^=OIB^.
b) Xét ∆OAI có AOI^+OIA^+OAI^=180° (định lí tổng các góc của một tam giác).
Do đó AOI^+2OIA^=180°.
Xét ∆OBI có BOI^+OIB^+OBI^=180° (định lí tổng các góc của một tam giác).
Do đó BOI^+2OIB^=180°.
c) Tính các tổng AOI^+AOK^, BOI^+ BOK^.
d) So sánh AOK^ và 2OIA^ , BOK^ và 2OIB^, AOB^ và 2AIB^ .
c) AOI^+AOK^=180°, BOI^+BOK^=180° (các cặp góc kề bù).
d) Ta có AOI^+2OIA^=180° (theo câu b) và AOI^+AOK^=180° (theo câu c)
Suy ra AOK^=2OIA^.
Ta có BOI^+2OIB^=180°(theo câu b) và BOI^+BOK^=180°(theo câu c)
Suy ra BOK^=2OIB^.
Ta có: AOK^=2OIA^ và BOK^=2OIB^
Suy ra AOK^+BOK^=2OIA^+2OIB^=2OIA^+OIB^
Do đó AOB^=2AIB^.
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R. Điểm C thuộc cung lớn AB,C khác A và B. Tính số đo góc ACB.
Xét ∆AOB có: OA = OB = AB = R nên ∆AOB là tam giác đều, do đó AOB^=60°.
Mà AOB^ là góc ở tâm và ACB^ là góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O). Do đó ACB^=12⋅AOB^=12⋅60°=30°.
Vậy ACB^=30°.
Quan sát Hình 60 và nêu mối liên hệ giữa:
a) AIB^ và sđAmB⏜;
b) AKB^ và sđAmB⏜;
c) AIB^ và AKB^
a) Ta có AIB^ và sđAmB⏜ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên AIB^=12sđAmB⏜.
b) Ta có AKB^ và sđAmB⏜ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên AKB^=12sđAmB⏜.
c) Ta có: AIB^=12sđAmB⏜ (theo câu a) và AKB^=12sđAmB⏜ (theo câu b)
Do đó AIB^=AKB^.
Trong Hình 61, gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA.ID = IB.IC.
Xét đường tròn chứa cung AB ta có: ACB^=ADB^. là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên ACB^=ADB^.
Xét ∆AIC và ∆BID có:
ACI^=BDI^(do ACB^=BDA^);
ACI^=BDI^ (hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆AIC ᔕ ∆BID (g.g).
Suy ra IAIB=ICID (tỉ số các cạnh tương ứng) nên IA.ID = IB.IC.
Quan sát Hình 62, hãy cho biết:
a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D;
b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D.
a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: AOB^, AOC^, AOD^, BOC^, BOD^, COD^.
b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: ABC^, ADC^, BAD^, BCD^.
Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho AOB^=90°. Giả sử M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB (M, N khác A và B).
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
a) Xét đường tròn (O: R) có A, B thuộc đường tròn nên OA = OB = R.
Xét ∆AOB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:
AB2 = OA2 + OB2 = R2 + R2 = 2R2.
Do đó: AB=2R2=R2.
b) Tính số đo các góc ANB và AMB.
b) Xét đường tròn (O) có AOB^ là góc ở tâm chắn cung ANB nên sđANB⏜=AOB^=90°.
Ta có: sđAMB⏜=360°−sđANB⏜=360°−90°=270°.
Vì ANB^ là góc nội tiếp chắn cung AMB nên ANB^=12sđAMB⏜=12⋅270°=135°.
Vì AMB^ là góc nội tiếp chắn cung ANB nên AMB^=12sđANB⏜=12⋅90°=45°.
Trong Hình 63, cho biết AB = OA.
a) Tính số đo góc AOB.
b) Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB của (O).
c) Tính số đo góc MIN.
d) Tính số đo cung nhỏ MN và cung lớn MN của (I).
e) Tính số đo góc MKN.
a) Xét ∆OAB có OA = OB = AB nên ∆OAB là tam giác đều, do đó AOB^=60°.
b) Số đo cung nhỏ AB là: sđAB⏜=AOB^=60°.
Số đo cung lớn AB (cung AIB) là: sđAIB⏜=360°−sđAB⏜=60°−60°=300°.
c) Tính số đo góc MIN.
d) Tính số đo cung nhỏ MN và cung lớn MN của (I).
e) Tính số đo góc MKN.
c) Góc MIN hay chính là góc AIB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB nên MIN^=12sđAB⏜=12⋅60°=30°.
d) Xét đường tròn (I) có góc MIN là góc ở tâm chắn cung nhỏ MN (cung MON) nên số đo cung nhỏ MN là sđMON⏜=MIN^=30°.
Số đo cung lớn MN (cung MKN) là: sđMKN⏜=360°−sđMON⏜=360°−30°=330°.
e) Xét đường tròn (I) có góc MKN là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MN nên MKN^=12sđMN⏜=12⋅30°=15°.
Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình 64 mô tả các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu độ.
Gọi các điểm A, B, C trên đường tròn (O) như hình vẽ.
⦁ Do thành phần việt quất chiếm 60% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AB bằng 60% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, sđAB⏜=360°⋅60100=216°.
⦁ Do thành phần táo chiếm 30% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ BC bằng 30% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, sđBC⏜=360°⋅30100=108°.
⦁ Do thành phần mật ong chiếm 10% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AC bằng 10% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, sđAC⏜=360°⋅10100=36°.
Cho hai đường tròn (O), (I) cắt nhau tại hai điểm A, B. Kẻ các đoạn thẳng AC, AD lần lượt là các đường kính của hai đường tròn (O), (I). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Ta có:
⦁ ABC^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
⦁ ABD^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)).
Suy ra ABC^+ABD^=90°+90°=180° hay CBD^=180°.
Do đó ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Hãy sử dụng compa và thước thẳng để vẽ tam giác ABC vuông tại A và giải thích cách làm.
Bước 1. Vẽ đường tròn tâm O, kẻ đường kính BC.
Bước 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B, C). Ta được tam giác ABC vuông tại A.
Thật vậy, xét đường tròn (O) có đường kính BC, điểm A thuộc (O) nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
