Giải SGK Toán 9 Cánh diều Bài 4. Góc ở tâm. Góc nội tiếp có đáp án

Xét ∆AOB có: OA = OB = AB = R nên ∆AOB là tam giác đều, do đó $\widehat{AOB}=60°.$

Mà $\widehat{AOB}$   là góc ở tâm và $\widehat{ACB}$  là góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O). Do đó $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\cdot \widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Vậy  $\widehat{ACB}=30°.$

a) Ta có $\widehat{AIB}$   và  $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}.$

b) Ta có  $\widehat{AKB}$và  $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}.$

c) Ta có: $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$  (theo câu a) và $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$   (theo câu b)

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{AKB}.$

Xét đường tròn chứa cung AB ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}.$  là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}.$

Xét ∆AIC và ∆BID có:

 $\widehat{ACI}=\widehat{BDI}$(do $\widehat{ACB}=\widehat{BDA});$

$\widehat{ACI}=\widehat{BDI}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆AIC ᔕ ∆BID (g.g).

Suy ra  $\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{ID}$(tỉ số các cạnh tương ứng) nên IA.ID = IB.IC.

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: $\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{BOC},\widehat{BOD},\widehat{COD}.$

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc:  $\widehat{ABC},\widehat{ADC},\widehat{BAD},\widehat{BCD}.$

a) Xét đường tròn (O: R) có A, B thuộc đường tròn nên OA = OB = R.

Xét ∆AOB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = OA² + OB² = R² + R² = 2R².

Do đó: $AB=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}.$

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{AOB}$  là góc ở tâm chắn cung ANB nên  $sđ\stackrel{⏜}{ANB}=\widehat{AOB}=90°.$

Ta có:   $sđ\stackrel{⏜}{AMB}=360°-sđ\stackrel{⏜}{ANB}=360°-90°=270°.$

Vì  $\widehat{ANB}$là góc nội tiếp chắn cung AMB nên $\widehat{ANB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AMB}=\frac{1}{2}\cdot 270°=135°.$

Vì  $\widehat{AMB}$là góc nội tiếp chắn cung ANB nên $\widehat{AMB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

a) Xét ∆OAB có OA = OB = AB nên ∆OAB là tam giác đều, do đó $\widehat{AOB}=60°.$

b) Số đo cung nhỏ AB là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=60°.$

Số đo cung lớn AB (cung AIB) là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AIB}=360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=60°-60°=300°.$

c) Góc MIN hay chính là góc AIB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB nên $\widehat{MIN}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

d) Xét đường tròn (I) có góc MIN là góc ở tâm chắn cung nhỏ MN (cung MON) nên số đo cung nhỏ MN là $\text{sđ}\stackrel{⏜}{MON}=\widehat{MIN}=30°.$

Số đo cung lớn MN (cung MKN) là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{MKN}=360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{MON}=360°-30°=330°.$

e) Xét đường tròn (I) có góc MKN là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MN nên $\widehat{MKN}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{MN}=\frac{1}{2}\cdot 30°=15°.$

Gọi các điểm A, B, C trên đường tròn (O) như hình vẽ.

⦁ Do thành phần việt quất chiếm 60% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AB bằng 60% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{AB}=360°\cdot \frac{60}{100}=216°.$

⦁ Do thành phần táo chiếm 30% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ BC bằng 30% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{BC}=360°\cdot \frac{30}{100}=108°.$

⦁ Do thành phần mật ong chiếm 10% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AC bằng 10% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°\cdot \frac{10}{100}=36°.$

Ta có:

⦁ $\widehat{ABC}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

⦁ $\widehat{ABD}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)).

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=90°+90°=180°$   hay $\widehat{CBD}=180°.$

Do đó ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bước 1. Vẽ đường tròn tâm O, kẻ đường kính BC.

Bước 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B, C). Ta được tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, xét đường tròn (O) có đường kính BC, điểm A thuộc (O) nên  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vậy tam giác ABC vuông tại A.