Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án
15 câu hỏi
Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có tọa độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ không?
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Vì A'(240; 450; 0) nên khoảng cách từ A' đến các trục Ox, Oy lần lượt là 450 cm và 240 cm.
Suy ra A'A = 450 cm và A'O' = 240 cm.
Từ giả thiết ta có =A'B'→=−120;0;300.
Do đó A'B'=A'B'→=−1202+0+3002=6029≈323 cm.
Vì O'O = A'A = 450 cm và O' nằm trên trục Oy nên O' (0; 450; 0).
Do đó O'B'→=120;0;300 và O'B'=O'B'→=1202+0+3002=6029≈323 cm.
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm và mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.
Nếu tọa độ của vectơ a→ là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của a→ là gì?
Vectơ đối của a→ là -a→ có tọa độ là (−x; −y; −z).
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ u→=1;8;6; v→=−1;3;−2 và w→=0;5;4. Tìm tọa độ của vectơ u→−2v→+w→.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 9; −1), B(9; 4; 5) và G(3; 0; 4). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
xC=3xG−xA−xByC=3yG−yA−yBzC=3zG−zA−zB⇒xC=3.3−2−9yC=3.0−9−4zC=3.4+1−5⇒xC=−2yC=−13zC=8.
Vậy C(−2; −13; 8).
Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; −2; 1) và C(−2; 5; 7).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính BAC^.
Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).
Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc α.
Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.
Theo Ví dụ 7, tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là A(2; 1; 0,5).
Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là (−1; −1,5; 0,8).
Khi đó ta có OA=OA→=4+1+0,25=212; OB=OB→=1+1,52+0,82=38910; .
Vì 212>38910 nên OA > OB.
Do đó khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1).
a) Tìm tọa độ của các vectơ MN→,MP→, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
a) MN→=4+4;−4−3;2−3=8;−7;−1,MP→=3+4;6−3;−1−3=7;3;−4.
Hai vectơ MN→ và MP→ không cùng phương nên ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ NM→+NP→, từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.
Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).
Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.
Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.
Do đó xI=6+02yI=8+02zI=3+32⇔xI=3yI=4zI=3.
Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).
Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; −10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.
Để xác định xem ra đa có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm.
Theo đề ta có tọa độ của ra đa là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).
Khi đó khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là:
d=25−02+15−02+−10−02=538≈30,82.
Vì phạm vi theo dõi của ra đa là 30 km mà khoảng khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là 30,82 km nên ra đa không phát hiện được tàu thám hiểm.
