Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án
16 câu hỏi
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 45 (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là fx=Cxx. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?
Cho hàm số y = x2 – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Tính y' và tìm các điểm tại đó y' = 0.
a) Ta có y' = 2x – 4; y' = 0 Û x = 2.
b) Xét dấu y' để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.
a) Ta có y' = 2x – 4; y' = 0 Û x = 2.
b) +) y' > 0 ⇔ 2x – 4 > 0 ⇔ x > 2. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
+) y' < 0 ⇔ 2x – 4 < 0 ⇔ x < 2. Hàm số nghịch biên trên khoảng (−∞; 2).
Ta có x = 2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và yCT = −1.
Hàm số không có cực đại.
c) Tính limx→−∞y,limx→+∞y và lập bảng biến thiên của hàm số.
c) limx→−∞y=limx→−∞x2−4x+3=+∞,limx→+∞x2−4x+3=+∞
Bảng biến thiên
d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
d) Đồ thị hàm số y = x2 – 4x + 3
+) Ta có: y = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
Đồ thị giao với Ox tại (1; 0) và (3; 0).
+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −1).
Đồ thị nhận đường thẳng x = 2 là trục đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −2x3 + 3x2 – 5x.
Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với x ³ 1.
Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.
a) Thể tích nước có trong bể sau t phút là: V(t) = 200 + 40t (lít).
Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút là: M(t) = 20t (gam).
Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: 20t200+40t (gam/lít).
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo y nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
c) Vì y'=4000200+40t2>0,∀t≥0và limt→+∞20t200+40t=12 nên nồng độ chất khử trùng tăng theo y nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=−x2+3x−1x−2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = −x3 + 3x + 1;
a) y = −x3 + 3x + 1
1. Tập xác định của hàm số là ℝ.
2. Sự biến thiên
+) y' = −3x2 + 3; y' = 0 Û −3x2 + 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.
+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu yCT = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = 3.
+) Giới hạn tại vô cực: limx→+∞−x3+3x+1=limx→+∞−x31+3x2+1x3=−∞;
limx→−∞−x3+3x+1=limx→−∞−x31+3x2+1x3=+∞.
+) Bảng biến thiên
3. Đồ thị
+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).
+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).
+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y = x3 + 3x2 – x – 1.
Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).
a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: 30.100 + 8.x = 3000 + 8x (mg).
Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: 30 + x (ml).
Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là Cx=3000+8x30+x (mg/ml).
b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R1 và R2 thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức R=R1R2R1+R2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở 8 W được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu x (W) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.
Ta có y=Rx=8x8+x,x>0.
1. Tập xác định D = (0; +∞).
2. Sự biến thiên
+) Có y'=88+x−8x8+x2=648+x2>0,∀x>0.
+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).
+) Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
limx→+∞y=limx→+∞88x+1=8.
Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).
+) Bảng biến thiên
3. Đồ thị
+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).
+) Đồ thị hàm số đi qua 1;89;2;85
a) Vì y'=648+x2>0,∀x>0 nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.
b) Vì y'=648+x2>0,∀x>0 và limx→+∞y=8 nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.
