Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án
16 câu hỏi
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số m(t) = 15e−0,012t. Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?
Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn limt→+∞15e−0,012t.
Ta có limt→+∞15e−0,012t=0 nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.
Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.
Cho hàm số y=fx=2x+1x có đồ thị (C). Với x > 0, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = 2 (H.1.19).
a) Tính khoảng cách MH.
a) Ta có MH = f(x) – 2 =2x+1x−2=1x.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞.
b) Ta có limx→+∞1x=0.
Do đó khoảng cách MH sẽ tiến dần tới 0 khi x → +∞.
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=fx=2x−1x−1.
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn limt→+∞15e−0,012t.
Ta có limt→+∞15e−0,012t=0 nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.
Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.
Cho hàm số y=fx=xx−1 có đồ thị (C). Với x > 1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng x = 1 (H.1.22).
a) Tính khoảng cách MH.
a) Ta có MH = x – 1.
b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M.
b) Khoảng cách MH dần đến 0 tức là x dần đến 1+.
Khi đó limx→1+fx=limx→1+xx−1=+∞.
Nghĩa là khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M tiến dần đến vô cùng.
Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=fx=2x+1x−4 .
Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là Cp=45p100−p (triệu đồng), với 0 £ p < 100. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.
Ta có limp→100+Cp=limp→100+45p100−p=−∞;limp→100−Cp=limp→100−45p100−p=+∞.
Vậy p = 100 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Khi p tiến đến 100, ta thấy rằng giá trị của C(p) sẽ tăng lên gần tới vô cùng, điều này thể hiện sự tăng lên của chi phi khi phần trăm loại bỏ tảo độc gần tiệm cận 100%. Điều này rất có ý nghĩa trong việc quản lí tài nguyên và lập kế hoạch chi phí trong quá trình loại bỏ tảo độc khỏi hồ nước.
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=fx=x2−4x+21−x.
Hình 1.26 là đồ thị của hàm số y=fx=2x2x2−1. Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: limx→−∞fx;limx→+∞fx;limx→1−fx;limx→−1+fx.
a) limx→−∞fx=2;limx→+∞fx=2;limx→1−fx=−∞;limx→−1+fx=−∞.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
b) y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x = 1 và x = −1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x2+2x−3x−1 không?
Ta có limx→1+y=limx→1+x2+2x−3x−1=limx→1+x−1x+3x−1=limx→1+x+3=4.
Tương tự limx→1−y=limx→1−x2+2x−3x−1=limx→1−x−1x+3x−1=limx→1−x+3=4.
Do đó đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x2+2x−3x−1.
Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x) = 2x + 50 (triệu đồng).
Khi đó fx=Cxx là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và limx→+∞fx=2. Tính chất này nói lên điều gì?
Có fx=Cxx=2x+50x=2+50x.
Có f'x=−50x2<0. Do đó hàm số f(x) giảm.
Có limx→+∞fx=limx→+∞2+50x=2.
Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m2. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).
a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) mét của mảnh vườn.
a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là 144x (m) (x > 0).
Chu vi mảnh vườn là Px=2x+144x=2x2+288x (m) x > 0).
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).
