Giải SGK Toán 12 CTST Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án
22 câu hỏi
Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức m=mv=m01−v2c2, trong đó m0 là khối lượng nghỉ của hạt c = 300 000 km/s là tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi như thế nào? Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số m = m(v) ở hình bên như thế nào?
Dựa vào đồ thị ta có:
Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.
Trên hình điều này được thể hiện đường cong biểu diễn m(v) sẽ tiến dần đến vô cùng khi v → c. Điều này cho thấy rằng khối lượng của hạt sẽ tăng tới vô cùng khi tốc độ di chuyển của nó tiến gần tốc độ ánh sáng.
Cho hàm số y=1x−1 có đồ thị như Hình 1.
a) Tính limx→1+1x−1;limx→1−1x−1.
a) limx→1+1x−1=+∞;limx→1−1x−1=−∞.
b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → 1+; x → 1−.
b) Có MN = |x – 1|.
Có limx→1+=limx−1=limx−1=0.
limx→1−=limx−1=lim1−x=0.
Nhận xét MN tiến dần về 0 khi x → 1+; x → 1−.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:
a) y=fx=2x+3−x+5;
a) Tập xác định: D = ℝ\{5}.
Có limx→5+fx=limx→5+2x+3−x+5=−∞;limx→5−fx=limx→5−2x+3−x+5=+∞.
Vậy x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:
b) y=gx=x2−2xx−1.
b) Tập xác định: D = ℝ\{1}.
Có limx→1+gx=limx→1+x2−2xx−1=−∞;limx→1−gx=limx→1−x2−2xx−1=+∞.
Vậy x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số y=x+1x có đồ thị như Hình 4.
a) Tìm limx→+∞x+1x;limx→−∞x+1x.
a) limx→+∞x+1x=limx→+∞1+1x1=1;limx→−∞x+1x=limx→−∞1+1x1=1.
b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.
b) Ta có MN = |f(x) – 1| = x+1x−1=1x.
limx→+∞1x=0;limx→−∞1x=0.
Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x → +∞ hoặc x → −∞.
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) y=fx=x−14x+1;
a) limx→+∞fx=limx→+∞x−14x+1=limx→+∞1−1x4+1x=14;
limx→−∞fx=limx→−∞x−14x+1=limx→−∞1−1x4+1x=14.
Vậy y=14 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
b) y=gx=xx+2.
b) limx→+∞gx=limx→+∞xx+2=limx→+∞11+2x=1;
limx→−∞gx=limx→−∞xx+2=limx→−∞11+2x=1.
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho đồ thị của hàm số y=x2+1x và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).
a) Tính limx→−∞x2+1x−x và limx→+∞x2+1x−x.
b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.
b) Ta có MN = |f(x) – x| =1x.
Có limx→−∞1x=0; limx→+∞1x=0.
Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x → +∞ hoặc x → −∞.
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=2x2−3xx+5.
Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: Cx=50x+2000x.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).
Có limx→0+Cx=limx→0+50x+2000x=+∞;limx→0−Cx=limx→0−50x+2000x=−∞.
Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có limx→+∞Cx=limx→+∞50+2000x1=50;limx→−∞Cx=limx→−∞50+2000x1=50.
Vậy y = 50 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
a) y=4x−52x−3;
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
b) y=−2x+74x−3;
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
c) y=5x3x−7.
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
a) y=x2+22x−4;
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
b) y=2x2−3x−6x+2;
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
c) y=2x2+9x+112x+5.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) Dựa vào đồ thị ta có:
x = 1; x = 2 là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Dựa vào đồ thị ta có:
x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
c) Dựa vào đồ thị ta có:
y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức yt=5−15t9t2+1, với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ³ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn.
Có limt→+∞yt=limt→+∞5−15t9t2+1=limt→+∞5−15t9+1t2=5;
limt→−∞yt=limt→−∞5−15t9t2+1=limt→−∞5−15t9+1t2=5.
Do đó y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.
Nhận xét:
Khi thời t trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về giá trị cố định là 5 mg/l. Điều này có thể được hiểu sau một thời gian dài, môi trường trong hồ sẽ đạt đến một trạng thái ổn định nồng độ oxygen không thay đổi nhiều.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt m=mv=m01−v2c2 trong hoạt động khởi động (trang 19).
Tập xác định: D = (0; c].
Có limv→c+mv=limv→c+m01−v2c2=+∞;limv→c−mv=limv→c−m01−v2c2=+∞.
Do đó v = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Hàm số không có tiệm cận ngang.
