Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án
20 câu hỏi
Một ô tô đang di chuyển với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức v(t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4). Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 Û t = 4.
Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:
(m).
Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
a)
Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Khi đó C(3; 4), D(1; 2).
Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.
Do đó \(S\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).
b)
Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).
Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.
Do đó \(S\left( x \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\), x ≥ 1.
c) Có \(S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)\).
Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên
\(F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C} \).
Do đó \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\).
Suy ra \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{{15}}{2} + C - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).
Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = ex, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).
Ta có hàm số y = ex liên tục, dương trên đoạn [0; 1] .
Ta có . Suy ra một nguyên hàm của hàm số y = ex là F(x) = ex.
Do đó diện tích hình thang cong cần tính là:
S = F(1) – F(0) = e – 1.
Cho hàm số f(x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tùy ý F(x) và G(x) của f(x), rồi tính F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.
Ta có .
Giả sử F(x) = x2 – x; G(x) = x2 – x + 1 là hai nguyên hàm của f(x).
Ta có F(3) – F(0) = 6; G(3) – G(0) = 7 – 1 = 6.
Do đó F(3) – F(0) = G(3) – G(0).
Tính các tích phân sau:
a) ; b) ; c) .
a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 9 - 1 = 8\).
b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} = \left. { - {\mathop{\rm cost}\nolimits} } \right|_0^\pi = 1 + 1 = 2\).
c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} \)\( = \left. {{e^u}} \right|_0^{\ln 2}\)\( = {e^{\ln 2}} - {e^0} = 2 - 1 = 1\).
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ , trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.
a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10.
a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)} dt\)\( = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5\)\( = 23,75\) m.
Quãng đường xe đi được sau 10 giây là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)} dt\)\( = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 90\) m.
b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10 là:
\(\frac{1}{{10 - 0}}\int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \)\( = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} \)\( = \left. {\frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 9\) m/s.
a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x5. Từ đó, tính .
b) Tính .
c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J.
a) Ta có \(\int {6{x^5}dx} = {x^6} + C\).
Do đó F(x) = x6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x5.
Ta có \(\int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = 64\).
b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}dx} = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^2 = \frac{{64}}{6}\).
c) Ta có I = 6J = 64.
Tính các tích phân sau:
a) ; b) ; c) .
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} \)\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1\)\( = \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} \)\( = - \frac{3}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx} \)\( = \left. { - \frac{3}{{10}}\ln \left| x \right|} \right|_{ - 2}^{ - 1}\)\( = \frac{3}{{10}}\ln 2\).
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}} dx\)\( = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}} dx\)\( = \left. {\frac{1}{{10}}.\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^2\)\( = \frac{{24}}{{10\ln 5}}\).
a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x2 + ex. Từ đó, tính .
b) Tính .
c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
a) Ta có \(\int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx = } \int {{x^2}dx + \int {{e^x}dx = } } \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 + ex.
Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1\)\( = \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3}\).
b) \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {{e^x}} \right|_0^1\)\( = \frac{1}{3} + e - 1 = e - \frac{2}{3}\).
c) Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)\( = e - \frac{2}{3}\).
Tính các tích phân sau:
a) ; b) ; c) .
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} \)
\( = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {\frac{1}{x}} \right|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 + \frac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}\).
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^\pi {2dx} - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \)
\( = \left. {2x} \right|_0^\pi - \left. {\sin x} \right|_0^\pi = 2\pi \).
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \left( {4x - {x^2}} \right)} \right]} dx\)
\( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{x^2} - 4x + 4 + \left( {4x - {x^2}} \right)} \right]} dx\)\( = \int\limits_{ - 2}^1 4 dx\)\( = \left. {4x} \right|_{ - 2}^1\)\( = 12\).
Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x), gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩn bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P'(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100. Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán x sản phẩm trong tuần là:
\(P\left( x \right) = \int {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} \)\( = 16x - 0,01{x^2} + C\)
Vì P(0) = −25 nên 16.0 – 0,01.02 + C = −25 Þ C = −25.
Do đó P(x) = −0,01x2 + 16x – 25.
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần là:
P(90) = −0,01.902 + 16.90 – 25 = 1334 triệu đồng.
Cho hàm số f(x) = 2x. Tính và so sánh kết quả: và .
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^2 {2xdx} \)\( = \left. {{x^2}} \right|_0^2\)\( = 4\).
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} \)\( = \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2\)\( = 1 + 4 - 1 = 4\).
Do đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
Tính:
a) ; b) ; c) .
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^4} - 5x} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\( = - 4 - 6 = - 10\).
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3\)\( = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx} \)
\( = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)\( = 1 + 1 = 2\).
Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:
Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^2 {0,5tdt + \int\limits_2^{15} {dt} } + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt} \)
\( = \left. {0,25{t^2}} \right|_0^2 + \left. t \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)
= 1 + 15 – 2 + 40 – 37,5
= 16,5 km.
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);
b) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).
a) Vì y = x2 liên tục và không âm trên [0; 2] nên ta có:
\(S = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\).
b) Vì \(y = \frac{1}{x}\) liên tục và không âm trên [1; 3] nên ta có:
\(S = \int\limits_1^3 {\frac{1}{x}dx} = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3\).
Tính các tích phân sau:
a) ; b) ; c) ; d) .
a) \(\int\limits_1^2 {{x^4}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_1^2 = \frac{{32}}{5} - \frac{1}{5} = \frac{{31}}{5}\).
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \)\( = \int\limits_1^2 {{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}dx} \)\( = \left. {2\sqrt x } \right|_1^2 = 2\sqrt 2 - 2\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)\( = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\)= 1.
d) \(\int\limits_0^2 {{3^x}dx} \)\( = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^2\)\( = \frac{9}{{\ln 3}} - \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{8}{{\ln 3}}\).
Tính các tích phân sau:
a) ; b) ;
c) ; d) .
a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^4 {{x^2}dx} - \int\limits_{ - 2}^4 {dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 2}^4\)\( = \frac{{52}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{{54}}{3} = 18\).
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{x} - 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| - 2x} \right)} \right|_1^2\)
\( = - 2 + \ln 2 + \frac{3}{2} - \ln 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \)\( = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \)\( = \left. {\left( { - 3\cos x - 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)\( = - \pi + 3\).
d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \)
\( = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)\( = \frac{\pi }{2} - 1\).
Tính các tích phân sau
a) ; b) ; c) .
a) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {2x + 2} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \)\( = - 2\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + 2\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} \)
\( = \left. { - \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\( = 1 + 3 + 1 = 5\).
b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^4\)\( = \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} + \frac{{16}}{3} = 16\).
c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\left| {\sin x} \right|dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\sin xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)
\( = \left. {\cos x} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^0 - \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)\( = 1 + 1 = 2\).
Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và .
(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)
Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Nhiệt độ tại điểm A trên thành ống là
\(T\left( x \right) = \int { - \frac{{30}}{x}} dx = - 30\ln \left| x \right| + C\).
Vì T(6) = 150°C nên −30ln6 + C = 150 Þ C = 150 + 30ln6.
Do đó T(x) = −30ln|x| + 150 + 30ln6.
Nhiệt độ ngoài mặt ống là T(8) = −30ln8 + 150 + 30ln6 ≈ 141,37°C.
Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:
Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
Quãng đường chuyển động của thang máy là:
\(s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_0^2 {tdt} + 2\int\limits_2^{20} {dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0,5t} \right)dt} \)
\( = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {\left( {2t} \right)} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|_{20}^{24}\)
\( = 2 + 40 - 4 + 144 - 140\) = 42 m.
Tốc độ trung bình của thang máy là:\({v_{tb}} = \frac{s}{{24}} = \frac{{42}}{{24}} = 1,75\)(m/s).
