Giải SGK Toán 12 CD Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes có đáp án
16 câu hỏi
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55% tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm 45% tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 90%, của nhà máy II là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.
Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Xét hai biến cố sau:
A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;
B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.
Khi đó, ta có:
P(B) = 0,55; P(
) = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45;
P(A | B) = 0,9; P(A | ) = 0,87.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.
Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A ∩ B, 
(Hình 1).
Ω = {1; 2; 3; …; 24}.
A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}.
B = {4; 8; 12; 16; 20; 24}.
A ∩ B = {12; 24}.
= {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19; 21; 22; 23}.
A ∩ = {3; 6; 9; 15; 18; 21}.
So sánh: n(A) và n(A ∩ B) + n(
).
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P(A) = P(A ∩ B) + P().
Từ câu a), suy ra n(A) = 8, n(A ∩ B) = 2, n(A ∩ 
) = 6.
Do 8 = 2 + 6 nên n(A) = n(A ∩ B) + n(
).
Khi đó, P(A) = 
= 
= 
+ 
.
Mà P(A ∩ B) = ; P() = .
Vậy P(A) = P(A ∩ B) + P().
So sánh: P(A ∩ B) và P(B) ∙ P(A | B);
P() và P() ∙ P(A | ).
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ).
Ta có P(B) ∙ P(A | B) = P(B) ∙ 
= P(A ∩ B).
P(
) ∙ P(A | ) = P() ∙ 
= P(
).
Vì hai biến cố A ∩ B và là hai biến cố xung khắc và (A ∩ B) ∪ () = A nên theo công thức xác suất ta có
P(A) = P(A ∩ B) + P() = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ).
Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra là: 55% ∙ 10 000 = 5 500 (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra là: 45% ∙ 10 000 = 4 500 (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 90% ∙ 5 500 = 4 950 (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 5 500 – 4 950 = 550 (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 87% ∙ 4 500 = 3 915 (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 4 500 – 3 915 = 585 (linh kiện).
Từ đó ta có bảng thống kê như sau (đơn vị: linh kiện)
Tiêu chuẩn Linh kiện | Đạt tiêu chuẩn | Không đạt tiêu chuẩn |
Nhà máy I sản xuất | 4 950 | 550 |
Nhà máy II sản xuất | 3 915 | 585 |
Xét hai biến cố sau:
A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;
B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.
Khi đó, ta có:
P(B) = 0,55; P(
) = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45; P(A | B) = 0,9; P(A | ) = 0,87.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.
Xét hai biến cố sau:
A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;
B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.
Khi đó, ta có:
P(B) = 0,55; P(
) = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45; P(A | B) = 0,9; P(A | ) = 0,87.
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.
Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.
Tính: P(A), P(B), P(A | B) và P(B | A).
Ta có: P(A) = 
= 
; P(B) = 
= 
;
P(A | B) = 
; P(B | A) = 
.
.
= P(B | A). Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(B | A) = 0,3. Tính P(A | B).
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P(A | B) = 
.
Xét hai biến cố:
A: “Người được chọn là đàn ông”;
B: “Người được chọn bị mù màu”.
Theo bài ra ta có: P(B | A) = 0,05; P(B | 
) = 0,0025.
Vì số đàn ông bằng số phụ nữ nên ta có P(A) = 0,5 và P() = 1 – 0,5 = 0,5.
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là: P(A | B) = 
≈ 0,9524.
Cho hai biến cố A, B với P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7 và P(A | 
) = 0,4. Khi đó, P(A) bằng:
A. 0,7.
B. 0,4.
C. 0,58.
D. 0,52.
Đáp án đúng là: C
Ta có P(B) = 0,6. Suy ra P(
) = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,6 ∙ 0,7 + 0,4 ∙ 0,4 = 0,58.
Xét hai biến cố:
A: “Viên bi được lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là màu trắng”;
B: “Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng”.
Theo bài ra ta có: P(A) = 
; P(
) = 1 – P(A) = 
.
P(B | A) = 
; 
.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(B) = P(A) ∙ P(B | A) + P() ∙ P(B | ) = 
.
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là 
.
Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là: P(A | B) = 
.
Vậy nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là 
.
Xét hai biến cố:
A: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;
B: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất”.
Vì lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên P(B) = 
, suy ra 
.
Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3% nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là 96%; 97%.
Do đó P(A | B) = 0,96 và P(A | 
) = 0,97.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,4 ∙ 0,96 + 0,6 ∙ 0,97 = 0,966.
Xét biến cố C: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”.
Khi đó, ta có C = 
. Suy ra P(C) = P() = 1 – P(A) = 1 – 0,966 = 0,034.
Theo bài ra ta có: P(C | B) = 4% = 0,04.
Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: P(B | C) = 
.
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: P(
| C) = 1 – P(B | C) = 
.
Vì 
nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Xét hai biến cố:
A: “Con bò được chọn ra không bị mắc bệnh bò điên”.
B: “Con bò được chọn ra có phản ứng dương tính”.
Vì tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con nên tỉ lệ bò mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là P(
) = 0,000013.
Suy ra P(A) = 1 – 0,000013 = 0,999987.
Trong số những con bò không bị mắc bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%, suy ra P(B | A) = 0,1.
Khi con bò mắc bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70% nên P(B | ) = 0,7.
Ta thấy xác suất mắc bệnh bò điên của một con bò ở Hà Lan xét nghiệm có phản ứng dương tính với xét nghiệm A chính là P( | B). Áp dụng công thức Bayes, ta có:
.
Vậy khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là 0,000091.
