20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(0 < P\left( A \right) < 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\].
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) - P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Cho hai biến cố A và B, với \[P\left( B \right) = 0,4;P\left( {A|B} \right) = 0,5;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,3\]. Tính \(P\left( A \right)\).
0,38.
0,2.
0,12.
0,8.
0,1875.
0,48.
0,33.
0,95.
0,112.
0,5231
0,3613.
0,063.
Ta có \(P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 1 - 0,63 = 0,37\).
Khi đó \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = 0,03.0,08 + 0,97.0,37 = 0,3613\).Cho hai biến cố A và B. Biết rằng \(P\left( B \right) = 0,8;P\left( {A|B} \right) = 0,7;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,45\). Tính \(P\left( {B|A} \right)\).
0,25.
0,65.
\(\frac{{56}}{{65}}\).
0,5.
Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% còn trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Gặp ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. Xác suất người đó mắc bệnh A là
0,0325.
0,018.
0,092.
0,0525.
Gọi A là biến cố “Người đó đã tiêm vắc xin phòng bệnh A”;
B là biến cố “Người đó mắc bệnh A”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,65;P\left( {\overline A } \right) = 0,35;P\left( {B|A} \right) = 0,05;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,17\).
Xác suất người đó mắc bệnh A là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\) \( = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = 0,092\).
Một lô hàng có tỉ lệ sản phẩm tốt là 80%. Trước khi đưa ra thị trường người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra chất lượng để loại sản phẩm xấu. Thiết bị kiểm tra nhận biết đúng sản phẩm tốt với xác suất 0,95 và nhận đúng sản phẩn xấu với xác suất là 0,99. Tỷ lệ sản phẩm được đưa ra thị trường là
080%.
81,2%.
76,2%.
75%.
Gọi A là biến cố “Sản phẩm là sản phẩm tốt”; B là biến cố “Sản phẩm được đưa ra thị trường”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,8;P\left( {\overline A } \right) = 0,2;P\left( {B|A} \right) = 0,95;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,99\).
Ta có \(P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,99 = 0,01\).
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,8.0,95 + 0,2.0,01 = 0,762 = 76,2\% \).
\(\frac{{20}}{{23}}\).
\(\frac{{19}}{{21}}\).
\(\frac{{19}}{{23}}\).
\(\frac{{20}}{{21}}\).
Gọi A là biến cố “người được chọn là đàn ông”; B là biến cố “người được chọn bị mù màu”.
Theo đề có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,05;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0025\).
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,5.0,05 + 0,5.0,0025 = 0,02625\).
Khi đó \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,5.0,05}}{{0,02625}} = \frac{{20}}{{21}}\).\(\frac{7}{{13}}\).
\(\frac{6}{{13}}\).
\(\frac{4}{{13}}\).
\(\frac{9}{{13}}\).
Gọi A là biến cố “Người được chọn mắc bệnh phổi”.
B là biến cố “Người được chọn nghiện thuốc lá”;
Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,2;P\left( {\overline B } \right) = 0,8;P\left( {A|B} \right) = 0,7;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\).
Xác suất để người được chọn mắc bệnh phổi là
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\).
Xác suất người đó nghiện thuốc là khi biết bị bệnh phổi là
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,2.0,7}}{{0,26}} = \frac{7}{{13}}\).0,4.
0,35.
0,7.
0,65.
Gọi A là biến cố “Em được chọn bị hen phế quản”;
B là biến cố “Em được chọn là nam”.
Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,6;P\left( {\overline B } \right) = 0,4;P\left( {A|B} \right) = 0,08;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,05\).
Xác suất em được chọn bị hen phế quản là
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = 0,6.0,08 + 0,4.0,05 = 0,068\).
Xác suất chọn được em nam bị hen phế quản là
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,6.0,08}}{{0,068}} \approx 0,7\).
Một công ty xây dựng có 2 kỹ sư điều hành. Kỹ sư 1 thực hiện 60% công việc của công ty. Kỹ sư 2 thực hiện 40% công việc của công ty. Kinh nghiệm trước đây cho thấy xác suất xảy ra sai sót khi kỹ sư 1 thực hiện công việc là 0,03, trong khi xác suất xảy ra sai sót trong công việc của kỹ sư 2 là 0,04.
Xác suất để một công việc do kỹ sư 1 thực hiện và không xảy ra lỗi là 0,388.
Xác suất để xảy ra một lỗi trong công việc là 0,034.
Giả sử xảy ra một lỗi trong công việc, xác suất để lỗi đó do kỹ sư 1 thực hiện là \(\frac{8}{{17}}\).
Giả sử xảy ra một lỗi trong công việc, thì xác suất xảy ra lỗi của kỹ sư 1 lớn hơn khả năng xảy ra lỗi của kỹ sư 2.
Gọi A là biến cố “Công việc đó do kỹ sư 1 thực hiện”;
B là biến cố “Công việc đó xảy ra sai sót”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4;P\left( {B|A} \right) = 0,03;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,04\).
a) Ta có \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) = P\left( A \right).\left[ {1 - P\left( {B|A} \right)} \right] = 0,6.\left( {1 - 0,03} \right) = 0,582\).
b) \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,6.0,03 + 0,4.0,04 = 0,034\).
c) \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,03}}{{0,034}} = \frac{9}{{17}}\).
d) \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).
Có \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) \( \Rightarrow P\left( {A|B} \right) > P\left( {\overline A |B} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Điểm kiểm tra cuối kì môn Toán của một học sinh phụ thuộc vào việc học sinh đó có chăm chỉ làm bài tập về nhà hay không. Nếu bạn An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là 0,9. Còn nếu bạn An không chăm chỉ làm bài tập về nhà thì xác suất đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là 0,85. Xác suất An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán là 0,75.
Nếu An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm không tốt kiểm tra cuối kì là 0,1.
Nếu An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm tốt kiểm tra cuối kì là 0,2.
Xác suất để An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là 0,35.
Xác suất để An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là 0,7125.
Gọi A là biến cố “An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán”;
B là biến cố “An đạt điểm tốt trong bài kiểm tra cuối kì”
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,75;P\left( {\overline A } \right) = 0,25\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,9;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,85\).
a) \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1\).
b) \(P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,85 = 0,15\).
c) \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)\)\( = 0,75.0,1 + 0,25.0,85 = 0,2875\).
d) \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,75.0,9 + 0,25.0,15 = 0,7125\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một tiệm photocopy có hai máy I và II. Máy I photo 40% số lượng sản phẩm và máy II photo 60% số lượng sản phẩm. Có 4% sản phẩm do máy I photo bị lỗi và 5% sản phẩm do máy II photo bị lỗi. Một sản phẩm được lấy ra ngẫu nhiên để kiểm tra.
Nếu sản phẩm được photo bởi máy I thì xác suất sản phẩm đó bị lỗi là 0,04.
Xác suất để sản phẩm lấy ra được photo bởi máy II và không bị lỗi là 0,384.
Xác suất để sản phẩm lấy ra không bị lỗi là 0,046.
Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi, xác suất để nó được photo bởi máy II bằng \(\frac{{15}}{{23}}\).
Gọi A là biến cố “Sản phẩm đó photo bởi máy I”;
B là biến cố “Sản phẩm đó photo bị lỗi”.
a) \(P\left( {B|A} \right) = 0,04\)\( \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,04 = 0,96\).
b) \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\) \( \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).
c) \(\overline B \) là biến cố “Sản phẩm lấy ra không bị lỗi”.
Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)\)\( = 0,4.0,96 + 0,6.0,95 = 0,954\).
d) \(P\left( B \right) = 1 - 0,954 = 0,046\).
Tính \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,05}}{{0,046}} = \frac{{15}}{{23}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Khảo sát thị lực của 50 học sinh, ta thu được kết quả như sau:
Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 50 học sinh trên
Biết rằng bạn đó là học sinh nam. Xác suất để bạn đó có tập khúc xạ là \(\frac{{23}}{{50}}\).
Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ. Xác suất để bạn đó là học sinh nam là \(\frac{3}{{10}}\).
Xác suất để học sinh được chọn bị tật khúc xạ là \(\frac{{12}}{{25}}\).
Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ. Xác suất để bạn đó là học sinh nữ là \(\frac{7}{{10}}\).
Gọi A là biến cố “Học sinh đó là nam”; B là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ”.
a) \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\).
b) \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{15}}{{28}}\).
c) Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{50}} = \frac{2}{5} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{5}\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{4};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{13}}{{30}}\).
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{2}{5}.\frac{3}{4} + \frac{3}{5}.\frac{{13}}{{30}} = \frac{{14}}{{25}}\).
d) \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{5}.\frac{{13}}{{30}}}}{{\frac{{14}}{{25}}}} = \frac{{13}}{{28}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Xác suất người đó được điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ, biết rằng người đó hồi phục là 0,6.
Xác suất người đó không hồi phục, biết rằng người đó được điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ là 0,4.
Xác suất người đó hồi phục, biết rằng người đó không được điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ là \(\frac{1}{{25}}\).
Việc đưa bệnh nhân vào bệnh viện để điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ làm tăng tỉ lệ hồi phục lên \(\frac{{10}}{3}\) lần.
Gọi A là biến cố “Bệnh nhân đó hồi phục sau đột quỵ”;
B là biến cố “Bệnh nhân đó được điều trị trong 6 giờ đầu”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,35;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {AB} \right) = 0,3\).
a) \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,35}} \approx 0,86\).
b) \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4 - 0,3}}{{0,4}} = \frac{1}{4}\).
c) \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,35 - 0,3}}{{0,6}} = \frac{1}{{12}}\).
d) Có \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4.\frac{1}{{12}}}} = 9\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Có hai đội thi đấu môn bắn cung. Đội X có 12 vận động viên, đội Y có 16 vận động viên. Xác suất bắn trúng vòng 10 của mỗi vận động viên đội X và đội Y tương ứng là 0,7 và 0,65. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Tính xác suất để vận động viên được chọn không bắn trúng vòng 10 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi A là biến cố: “Vận động viên thuộc đội X”;
B là biến cố “Vận động viên bắn trúng vòng 10”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{28}} = \frac{3}{7};P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{7}\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,7;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,65\).
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{3}{7}.0,7 + \frac{4}{7}.0,65 = \frac{{47}}{{70}}\).
Suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{{47}}{{70}} = \frac{{23}}{{70}} \approx 0,33\).
Trả lời: 0,33.
Trong một trường THPT thì tỉ lệ học sinh nữ là 48%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia thực hiện nhiệm vụ thanh niên xung kích lần lượt là 18% và 15%. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh đó có tham gia làm nhiệm vụ thanh niên xung kích. Tính xác suất học sinh đó là nam (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi A là biến cố “Học sinh đó là nam”;
B là biến cố “Học sinh đó tham gia nhiệm vụ thanh niên xung kích”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,52;P\left( {\overline A } \right) = 0,48\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,15;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,18\).
Xác suất để học sinh đó tham gia nhiệm vụ thanh niên xung kích là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,52.0,15 + 0,48.0,18 = 0,1644\).
Khi đó \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,52.0,15}}{{0,1644}} \approx 0,47\).
Trả lời: 0,47.
Gọi A là biến cố “Bóng đèn đó do phân xưởng I sản xuất”;
B là biến cố “Bóng đèn đó không đạt chất lượng”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( {\overline A } \right) = 0,8;P\left( B \right) = 0,02;P\left( {B|A} \right) = 0,01\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( \Leftrightarrow 0,02 = 0,2.0,01 + 0,8.P\left( {B|\overline A } \right)\)\( \Rightarrow P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{9}{{400}}\).
Khi đó \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,8.\frac{9}{{400}}}}{{0,02}} = 0,9\).
Trả lời: 0,9.
Gọi A là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”;
B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”.
Theo đề ta có \(P\left( B \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{2}\); \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{6}{{11}}\).
Khi đó xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) \( = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).
Suy ra \(a = 13;b = 22 \Rightarrow a + b = 35\).
Trả lời: 35.
Gọi A là biến cố “Áo thời trang đó thuộc chi nhánh I”; B là biến cố “Áo đó đạt chất lượng cao”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,56;P\left( {\overline A } \right) = 0,44;P\left( {B|A} \right) = 0,75;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,68\).
Xác suất chọn được áo chất lượng cao là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,56.0,75 + 0,44.0,68 \approx 0,72\).
Trả lời: 0,72.
